文档内容
2007 年江西高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3
至4页，共150分．
第Ⅰ卷
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题
卡上
粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一
致．
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上
书写作
答．若在试题卷上作答，答案无效．
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A＋B）＝P（A）＋P（B） S＝4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（A·B）＝P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V＝ πR3
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
P(k)＝CP (1一P)
n
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．化简 的结果是
A．2＋i B．－2＋i C．2－i D．－2－i
2．
A．等于0 B．等于l C．等于3 D．不存在
3．若 ，则cot α等于
A．－2 B． C． D．2
4．已知( ＋ )n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等
于A．4 B．5 C．6 D．7
5．若0＜x＜ ，则下列命题中正确的是
A．sin x＜ B．sin x＞ C．sin x＜ D．sin x＞
6．若集合 且 }，则N中元素的个数为
A．9 B．6 C．4 D．2
7．如图，正方体AC的棱长为1，过点A作平面ABD的垂线，垂
1 1
足为点H．则以下命题中，错误的命题是
A．点H是△ABD的垂心
1
B．AH垂直平面CBD
1 1
C．AH的延长线经过点C
1
D．直线AH和BB所成角为45°
1
8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口
半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余
酒的高度从左到右依次为h，h，h，h，则它们的大小关系正确的是
1 2 3 4
A．h＞h＞h B．h＞h＞h C．h＞h＞h D．h＞h＞h
2 1 4 1 2 3 3 2 4 2 4 1
9．设椭圆 的离心率为e＝ ,右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝
0的两个实根分别为x和x，则点P(x,x)
1 2 1 2
A．必在圆x2＋y2＝2内 B．必在圆x2＋y2＝2上
C．必在圆x2＋y2＝2外 D．以上三种情形都有可能
10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为
A． B． C． D．
11．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率
为
A．－ B．0 C． D．5
12．设 在(0，＋∞)内单调递增， ，则p是q的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无
效．
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．
13.设函数y＝4＋log(x－1)(x≥3)，则其反函数的定义域为 ．
2
14.已知数列{a}对于任意p，q ∈N*，有a+a=a ，若a= ，则a＝ ．
n p q p+q 1 36
15.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线
AB、AC于不同的两点M、N,若 ,则m+n的值
为 ．
16.设有一组圆 ．下列四个
命题：
A．存在一条定直线与所有的圆均相切
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数 在区间(0，1)内连续,且 ．
（1）求实数k和c的值；
（2）解不等式
18．（本小题满分12分）
如图,函数 的
图象与y轴交于点(0， )，且在该点处切线的斜
率为一2．
（1）求θ和ω的值；
（2）已知点A( ，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x，y)是PA的中点，当y＝
0 0 0
，x∈[ ，π]时，求x的值．
0 0
19．（本小题满分12分）
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，
当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5， 0.6，
0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．
20．（本小题满分12分）
右图是一个直三棱柱（以ABC为底面）被一平面所截得到
1 1 1
的几何体，截面为ABC．已知AB＝BC＝l，∠ABC＝90°，
1 1 1 1 l l 1
AA＝4，BB＝2，CC＝3．
l l l
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面ABC；
1 1 1
（2）求二面角B—AC—A的大小；
1
（3）求此几何体的体积．
21．（本小题满分12分）
设动点P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d和d，
1 2
∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得ddsin2θ＝λ．
1 2
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两
点,试确定λ的范围,使 · ＝0,其中点
O为坐标原点．
22．（本小题满分14分）
设正整数数列{a}满足：a＝4，且对于任何
n 2
n∈N*，有 ．
（1）求a，a；
1 3
（2）求数列{ a }的通项a．
n n
参考答案
一、选择题
1．C 2．B 3．A 4．C 5．D6．C 7．D 8．A 9．A 10．B
11．B 12．B
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）因为 ，所以 ，
由 ，即 ， ．
又因为 在 处连续，
所以 ，即 ．
（2）由（1）得：
由 得，当 时，解得 ．
当 时，解得 ，
所以 的解集为 ．
18．解：（1）将 ， 代入函数 得 ，
因为 ，所以 ．
又因为 ， ， ，所以 ，
因此 ．
（2）因为点 ， 是 的中点， ，所以点 的坐标为 ．
又因为点 在 的图象上，所以 ．
因为 ，所以 ，
从而得 或 ．
即 或 ．
19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 ， ， ，
（1）设 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
．
（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 ，
所以 ，
故 ．
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 ，则
，
所以 ，
，
，
．
于是， ．
20．解法一：
（1）证明：作 交 于 ，连 ．
则 ．
A
C
C
因为 是 的中点， A O H 2
2
B
C
A 1
1 D
B
1所以 ．
则 是平行四边形，因此有 ．
平面 且 平面 ，
则 面 ．
（2）如图，过 作截面 面 ，分别交 ， 于 ， ．
作 于 ，连 ．
因为 面 ，所以 ，则 平面 ．
又因为 ， ， ．
所以 ，根据三垂线定理知 ，所以 就是所求二面角的平
面角．
因为 ，所以 ，故 ，
即：所求二面角的大小为 ．
（3）因为 ，所以
所求几何体体积为
．
解法二：
（1）如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
A
C
z
则 ， ， ，因为 是 的中点，所以 ， O
B x
y C
A 1
．
1
B
1
易知， 是平面 的一个法向量．因为 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2） ， ，
设 是平面 的一个法向量，则
则 得：
取 ， ．
显然， 为平面 的一个法向量．
则 ,
结合图形可知所求二面角为锐角．
所以二面角 的大小是 ．
（3）同解法一．
21．解法一：（1）在 中， ，即 ，
， 即 （ 常
数），
点 的轨迹 是以 为焦点，实轴长 的双曲线．
方程为： ．
（2）设 ，
①当 垂直于 轴时， 的方程为 ， ， 在双曲线上．
即 ，因为 ，所以 ．
②当 不垂直于 轴时，设 的方程为 ．
由 得： ，由题意知： ，
所以 ， ．
于是： ．
因为 ，且 在双曲线右支上，所以
．
由①②知， ．
解法二：（1）同解法一
（2）设 ， ， 的中点为 ．
①当 时， ，
因为 ，所以 ；
②当 时， ．
又 ．所以 ；
由 得 ，由第二定义得
．
所以 ．
于是由 得因为 ，所以 ，又 ，
解得： ．由①②知 ．
22．解：（1）据条件得 ①
当 时，由 ，即有 ，
解得 ．因为 为正整数，故 ．
当 时，由 ，
解得 ，所以 ．
（2）方法一：由 ， ， ，猜想： ．
下面用数学归纳法证明．
1 当 ， 时，由（1）知 均成立；
2 假设 成立，则 ，则 时
由①得
因为 时， ，所以 ．
，所以 ．
又 ，所以 ．
故 ，即 时， 成立．由1 ，2 知，对任意 ， ．
（2）方法二：
由 ， ， ，猜想： ．
下面用数学归纳法证明．
1 当 ， 时，由（1）知 均成立；
2 假设 成立，则 ，则 时
由①得
即 ②
由②左式，得 ，即 ，因为两端为整数，
则 ．于是 ③
又由②右式， ．
则 ．
因为两端为正整数，则 ，
所以 ．
又因 时， 为正整数，则 ④
据③④ ，即 时， 成立．
由1 ，2 知，对任意 ， ．
