2004年重庆高考理科数学真题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_1990-2007年各地高考历年真题_重庆

2004 年重庆高考理科数学真题及答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）函数 的定义域是： A． ， B． C． D． 2．（5分）设复数 ，则 A． B．3 C． D． 3．（5分）圆 的圆心到直线 的距离为： A．2 B． C．1 D． 4．（5分）不等式 的解集是 A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 5．（5分） 等于 A． B． C． D． 6．（5分）若向量 的夹角为 ， ，则向量 的模为 A．2 B．4 C．6 D．12 7．（5分）一元二次方程 ， 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 A． B． C． D． 8．（5分）设 是 的二面角 内一点， 平面 ， 平面 ， ， 为垂足， ， ，则 的长为： A． B． C． D． 9．（5分）若数列 是等差数列，首项 ， ， ． ，则使前 项和 成立的最大自然数 是 A．4005 B．4006 C．4007 D．400810．（5分）已知双曲线 ， 的左，右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上， 且 ，则此双曲线的离心率 的最大值为 A． B． C．2 D． 11．（5分）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有 5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连）， 而二班的2位同学没有被排在一起的概率为： A． B． C． D． 12．（5分）若三棱锥 的侧面 内一动点 到底面 的距离与到棱 的距离相等，则动点 的轨迹与 组成图形可能是： A． B． C． D． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）若在 的展开式中 的系数为 ，则 ． 14．（4分）曲线 与 在交点处的切线夹角是 ．（以弧度数作答） 15．（4分）如图 是一块半径为1的半圆形纸板，在 的左下端剪去一个半径为 的半圆后得到图形 ， 然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形 、 、 、 ，记纸板 的面积为 ，则 ．16．（4分）直线： 与椭圆： 恰有一个公共点，则 取值是 ． 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）求函数 的最小正周期和最小值；并写出该函数在 ， 上 的单调递增区间． 18．（12分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为 ，遇到红灯（禁 止通行）的概率为 ．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进， 表示停车时已经通过的路口 数，求： （Ⅰ） 的概率的分布列及期望 ； （Ⅱ）停车时最多已通过3个路口的概率． 19．（12 分）如图，四棱锥 的底面是正方形， 底面 ， ， ， （1）证明 是异面直线 与 的公垂线； （2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 20．（12分）设函数 ， （1）求导数 并证明 有两个不同的极值点 ， ；（2）若不等式 成立，求 的取值范围． 21．（12分）设 是一常数，过点 的直线与抛物线 交于相异两点 、 ，以线段 为直径作圆 为圆心）．试证抛物线顶点在圆 的圆周上；并求圆 的面积最小时直线 的方程． 22．（14分）设数列 满足： ， ． （Ⅰ）证明： 对 恒成立； （Ⅱ）令 ，判断 与 的大小，并说明理由．2004年重庆市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）函数 的定义域是： A． ， B． C． D． 【解答】解：要使函数有意义： ， 即： 可得 解得 故选： ． 2．（5分）设复数 ，则 A． B．3 C． D． 【解答】解： 复数 ， 故选： ． 3．（5分）圆 的圆心到直线 的距离为： A．2 B． C．1 D． 【解答】解：圆 的圆心 ， 它到直线 的距离： 故选： ．4．（5分）不等式 的解集是 A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 【解答】解：法一： 得 即 可得 可得 或 ． 法二：验证， 、 不满足不等式，排除 、 、 ． 故选： ． 5．（5分） 等于 A． B． C． D． 【解答】解：原式 ． 故选： ． 6．（5分）若向量 的夹角为 ， ，则向量 的模为 A．2 B．4 C．6 D．12 【解答】解： ， ． ． ． 故选： ． 7．（5分）一元二次方程 ， 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 A． B． C． D．【解答】解：一元二次方程 ， 有一个正根和一个负根的充要条件是 ， 即 ， 而 的一个充分不必要条件是 故选： ． 8．（5分）设 是 的二面角 内一点， 平面 ， 平面 ， ， 为垂足， ， ，则 的长为： A． B． C． D． 【解答】解：设平面 与二面角的棱 交于点 ， 连接 、 可得直线 平面 ， 所以 是二面角 的平面角， ， 故 中， ， ， ， 由余弦定理得： ， ， 所以 ， 故选： ． 9．（5分）若数列 是等差数列，首项 ， ， ． ，则使前 项和 成立的最大自然数 是A．4005 B．4006 C．4007 D．4008 【解答】解： 解法1：由 ， ，知 和 两项中有一正数一负数，又 ，则公差为负 数，否则各项总为正数，故 ，即 ， ． ， ， 故4006为 的最大自然数． 故选 ． 解 法 2 ： 由 ， ， ， 同 解 法 1 的 分 析 得 ， ， 为 中的最大值． 是关于 的二次函数，如草图所示， 到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小， 在对称轴的右侧． 根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点 的左侧，4007，4008都在其右侧， 的最大自然数是4006． 故选： ． 10．（5分）已知双曲线 ， 的左，右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上， 且 ，则此双曲线的离心率 的最大值为 A． B． C．2 D． 【解答】解：设 ，由焦半径得 ， ， ，化简得 ， 在双曲线的右支上， ， ，即双曲线的离心率 的最大值为 故选： ． 11．（5分）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有 5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连）， 而二班的2位同学没有被排在一起的概率为： A． B． C． D． 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有： ； 满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的 2位同学没有被排在一起的演讲的顺 序”可通过如下步骤： ①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有 种方法； ②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有 种方法； ③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有种方法． 根据分步计数原理（乘法原理），共有 种方法． 一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连）， 而二班的2位同学没有被排在一起的概率为： ． 故选： ． 12．（5分）若三棱锥 的侧面 内一动点 到底面 的距离与到棱 的距离相等，则动点 的轨迹与 组成图形可能是： A． B． C． D． 【解答】解：设二面角 的大小为 ，如图． 作 面 于 ， 于 ， 于 ，则 ， 且由条件 ， 为小于1的常数， 故选： ． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若在 的展开式中 的系数为 ，则 ． 【解答】解： 展开式的通项为 令 的展开式中 的系数为 展开式中 的系数为 故答案为 14．（4分）曲线 与 在交点处的切线夹角是 ．（以弧度数作答） 【解答】解：由 得 ， ， ． 两曲线只有一个交点． ， ． 又 ， 当 时， ． 两曲线在交点处的切线斜率分别为 、3， ． 夹角为 ． 故答案为： 15．（4分）如图 是一块半径为1的半圆形纸板，在 的左下端剪去一个半径为 的半圆后得到图形 ， 然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形 、 、 、 ，记纸板 的面积为 ，则 ．【解答】解：每次剪掉的半圆形面积构成一个以 为首项，以 为公比的等比数列， 则 故： 故答案为： 16．（4分）直线： 与椭圆： 恰有一个公共点，则 取值是 0 ． 【解答】解：椭圆： 化成标准方程为 直线 恒过 ， 而点 ， 在椭圆上且为上定点， 则直线： 与椭圆： 恰有一个公共点 即 ， 故答案为0． 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）求函数 的最小正周期和最小值；并写出该函数在 ， 上 的单调递增区间． 【解答】解：． 故该函数的最小正周期是 ；最小值是 ；单调递增区间是 ， ， ， ． 18．（12分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为 ，遇到红灯（禁 止通行）的概率为 ．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进， 表示停车时已经通过的路口 数，求： （Ⅰ） 的概率的分布列及期望 ； （Ⅱ）停车时最多已通过3个路口的概率． 【解答】解： 由题意知 的所有可能值为0，1，2，3，4 用 表示“汽车通过第 个路口时不停（遇绿灯）”， 则 独立． 故 ， ， ， 从而 有分布列：即停车时最多已通过3个路口的概率为 ． 19．（12 分）如图，四棱锥 的底面是正方形， 底面 ， ， ， （1）证明 是异面直线 与 的公垂线； （2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 【解答】 证明：因 底面，有 ，又知 ， 故 面 ，推得 ， 又 ，且 ， 证得 是矩形，故 ． 又因 ， ，故 面 ， 而 ，得 面 ， 故 ， 因此 是 与 的公垂线． 解：连接 交 于 ，连接 ，过 作 的垂线 ， 垂足 在 上． 易知 面 ，故 ， 又 ，故 ， 因此 面 ． 连接 ，则 是所要求的线 与面 所成的角 设 ，则 ， ．因 ，故 ， ． 从而在 中 ． 20．（12分）设函数 ， （1）求导数 并证明 有两个不同的极值点 ， ； （2）若不等式 成立，求 的取值范围． 【解答】解：（1） ． 令 得方程 ． 因△ ，故方程有两个不同实根 ， 不妨设 ，由 可判断 的符号如下： 当 时， ； 当 时， ；当 时， 因此 是极大值点， 是极小值点． （2）因 ，故得不等式 ． 即 ． 又由 知 代入前面不等式，两边除以 ，并化简得 ． 解不等式得 或 （舍去） 因此，当 时，不等式 成立． 21．（12分）设 是一常数，过点 的直线与抛物线 交于相异两点 、 ，以线段 为直径作圆 为圆心）．试证抛物线顶点在圆 的圆周上；并求圆 的面积最小时直线 的方程． 【解答】解：由题意，设直线 的方程为 ， 设 ， ， ， ，则其坐标满足消去 的 ， 则 因此 ，故 必在圆 的圆周上， 又由题意圆心 是 的中点，故 ， 由前已证 应是圆 的半径，且 ； 从而当 时，圆 的半径最小，也使圆 的面积最小． 22．（14分）设数列 满足： ， ． （Ⅰ）证明： 对 恒成立； （Ⅱ）令 ，判断 与 的大小，并说明理由． 【解答】解：（1）证法一：当 时， ，不等式成立， 假设 时， 成立（2分）， 当 时， ．（5分）时， 时成立 综上由数学归纳法可知， 对一切正整数成立（6分） 证法二：由递推公式得 ， （2分） 上述各式相加并化简得 （4分） 又 时， 显然成立，故 （6分） （2）解法一： （8分） （10分） 又显然 ，故 成立（12分） 解法二： （8分） （10分） 故 ，因此 （12分） 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/23 23:08:05；用户：15217760367；邮箱：15217760367