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2007 年重庆高考理科数学真题及答案
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1、若等差数列 的前3项和 且 ，则 等于（ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
2、命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ）
A、若 ≥ ，则 ≥ 或 ≤ B、若 ，则
C、若 或 ，则 D、若 ≥ 或 ≤ ，则 ≥
3、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）
A、5部分 B、6部分 C、7部分 D、8部分
4、若 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A、10 B、20 C、30 D、120
5、在 中， ，则 等于（ ）
A、 B、 C、2 D、
6、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至
少有2张价格相同的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
7、若 是 与 的等比中项，则 的最大值为（ ）
12b
A、 B、 C、 D、
8、设正数 满足 等于（ ）
A、0 B、 C、 D、1
9、已知定义域为R的函数 在 上为减函数，且函数 为偶函数，
则（ ）A、 B、 C、 D 、
D
C
10、如右图，在四边形ABCD中， ，
， ，
A
B
则 的值为（ ）
A、2 B、 C、4 D、
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填写在答卷相应位置上.
11、复数 的虚部为_______________.
12、已知 满足 则函数 的最大值是____________.
13、若函数 的定义域为R，则 的取值范围为___________________.
14、设 为公比 的等比数列，若 和 是方程 的两根，则
_____________.
15、某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的
选课方案有__________种.（以数字作答）
16、过双曲线 的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于P、Q两点，
则 的值为_____________.
三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分）
设 .
（Ⅰ）求 的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角 满足 ，求 的值.
18（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，
对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一
次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生
事故相互独立.求一年内该单位在此保险中：
（Ⅰ）获赔的概率；
（Ⅱ）获赔金额 的分布列与期望.
19（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）
如右图，在直三棱柱 中， ；点 、
分别在 上，且 ，四棱锥 与直三棱柱的体积之比为 .
（Ⅰ）求异面直线 与 的距离；
（Ⅱ）若 ，求二面角 的平面角的正切值.
A 1 C 1
B
1
E
D
A CC
B
20（本小题满分13分，其中（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）小问分别为6、4、3分）已知函数 在 处取得极值 ，其中a、b为
常数.
（Ⅰ）试确定a、b的值；
（Ⅱ）讨论函数 的单调区间；
（Ⅲ）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
21（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 的 前 项 和 满 足 ， 且
.
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 ，并记 为 的前 项和，求证：
.
22（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
如右图，中心在原点O的椭圆的右焦点为 ，右准线 的方程为： .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点 ，使 ，证明：
y
为定值，并求此定值.
l
P
P 1
2
x
O F
P
3参考答案（理工科）
一、选择题
ADCBA CBBDC
二、填空题：
11、 12、7 13、
14、18 15、25 16、
三、解答题：
17、解：（Ⅰ）
故 的最大值为 ； 最小正周期 .
（Ⅱ）由 得 ，故 .
又由 得 ，故 ，解得 .
从而 .
18、解：设 表示第 辆车在一年内发生此种事故， .
由题意知 独立，且 .
（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
.
（Ⅱ） 的所有可能值为 .
,，
，
.
综上知， 的分布列为
0 9000 18000 27000
8
P
11
求 的期望有两种解法：
解法一：由 的分布列得
（元）
解法二：设 表示第 辆车一年内的获赔金额， ，
则 有分布列
0 9000
P
故 .
同理得 .
综上有
（元）.
19、解法一：
（Ⅰ）因 ，且 ，故 面AABB，从而BC⊥BE，又
1 1 1 1 1
BE⊥DE，故BE是异面直线BC 与DE的公垂线.
1 1 1 1
设BD的长度为 ，则四棱椎 的体积 为.
而 直 三 棱 柱 的 体 积 为
.
由已知条件 ，故 ，解得 . A 1 C 1
B
1
从而BD . F
1
E
D
又直角三角形 中，
,
A CC
B
又因 .
故 .
（Ⅱ）如右图，过B 作BF⊥CD，垂足为F，连接AF.因AB⊥BC，AB⊥BD，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
故AB⊥面BDC，由三垂线定理知CD⊥AF，故∠AFB 为所求二面角的平面角.
1 1 1 1 1 1 1 1
在直角 中， ，
又因 ，故
，所以 .
20、解：（Ⅰ）由题意知 ，因此 ，从而 .
又对 求导得 .
由题意 ，因此 ，解得 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 .令 ，解得 .
当 时， ，此时 为减函数；
当 时， ，此时 为增函数.
因此 的单调递减区间为 ，而 的单调递增区间为 .（Ⅲ）由（Ⅱ）知， 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小值.
要使 恒成立，只需 .
即 ，从而 .
解得 或 .
所以 的取值范围为
21、（Ⅰ）解：由 ，解得 或 .由假设
，因 此 .
又由 ，得
，即 或 .
因 ，故 不成立，舍去.
因此 ，从而 是公差为3，首项为2的等差数列，故 的通项
为
.
（Ⅱ）证法一：由 可解得
从而 .
因此 .
令 ，则
.
因 ，故 .
特别地 ，从而 ，
即 .证法二：同证法一求得 及 .
由二项式定理知，当 时，不等式 成立.
由此不等式有
.
证法三：同证法一求得 及 .
令 .
因 ，因此 .
从而
证法四：同证法一求得 及 .
下面用数学归纳法证明： .
当 时， ，因此 ，
结论成立.
假设结论当 时成立，即 ，则当 时，
.
因 ，故 .
从而 .这就是说当 时结论也成立.
综上 对任何 成立.
22、解：（Ⅰ）设椭圆方程为 .
y
l
P
P 1 Q 1
2
x
O F A
P
3因焦点为 ，故半焦距 .又右
准线 的方程为 ，从而由已知
l
，
因此 .
故所求椭圆方程为 .
（Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设 ，不失一般性，假设
，且 .
又设 在l上的射影为 ，因椭圆的离心率 ，
从 而 有
.
解得 . 因此
，
而
，
故 为定值.
