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2005 年湖南高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟
王新奎新疆屯敞
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共10小，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．设全集U={－2,－1,0,1,2}，A={－2,－1,0}，B={0,1,2}，则 =（ ）
A．{0} B．{－2，－1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．tan600°的值是（ ）
A． B． C． D．
3．函数f(x)＝ 的定义域是 （
）
A． －∞，0] B．[0，＋∞ C．（－∞，0） D．（－∞，＋∞）
4．如图，正方体ABCD－ABCD 的棱长为1，E是AB 的中点，则E到平面AB CD 的距离为
1 1 1 1 1 1 1 1
（ ）
D 1 C 1
A． B．
A B
1 E 1
C． D． D C
A B
5．已知数列 满足 ，则 = （ ）
A．0 B． C． D．
6．设集合A＝｛x| ＜0 ，B＝｛x || x －1|＜a ，若“a＝1”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．设直线的方程是 ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为
A、B的值，则所得不同直线的条数是 （ ）
A．20 B．19 C．18 D．16
8．已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为 （O为原点），则两条渐近线的夹角为 （ ）
A．30º B．45º C．60º D．90º
9．P是△ABC所在平面上一点，若 ，则P是△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
10．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为 L=5.06x－0.15 x
1
2和L=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的
2
最
大利润为（ ）
A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分（第15小题每空2分），共20分，把答案填在
答题卡中对应题号后的横线上.
11．设直线 和圆 相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线
方程是
王新奎新疆屯敞
12．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线.为检查这批产品的
质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样.已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数
组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品
王新奎新疆屯敞
13．在 的展开式中，x 2项的系数是 .（用数字作
答）
14．设函数f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数 ,f (4)＝0，则
＝ .
15．已知平面 和直线，给出条件：① ；② ；③ ；④ ；⑤
.
（i）当满足条件 时，有 ；（ii）当满足条件 时，有
王新奎新疆屯敞
（填所选条件的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知数列 为等差数列，且
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）证明17．（本小题满分12分）
已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的
大小
王新奎新疆屯敞
18．（本小题满分14分）
如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴
OO 折成直二面角，如图2
1 王新奎新疆屯敞
（Ⅰ）证明：AC⊥BO；
1
（Ⅱ）求二面角O－AC－O 的大小. O O
1 D 1 C 1 C
D
O B
A O B
图 1 A 图2
19．（本小题满分14分）
设 ，点P（ ，0）是函数 的图象的一个公共点，
两函数的图象在点P处有相同的切线
王新奎新疆屯敞
（Ⅰ）用 表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数 在（－1，3）上单调递减，求 的取值范围
王新奎新疆屯敞
20．（本小题满分14分）
某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区
中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.
（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；
（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率
王新奎新疆屯敞
21．（本小题满分14分）
已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F、F，离心率为e. 直线
1 2
l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F
1
关于直线l的对称点，设 ＝λ .
（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；
（Ⅱ）若 ，△PFF 的周长为6；写出椭圆C的方程；
1 2
（Ⅲ）确定λ的值，使得△PFF 是等腰三角形
1 2 王新奎新疆屯敞参考答案
一、选择题：1—5：CDABB 6—10： ACDDB
二、填空题：
11． 12．5600 13．35 14．－2 15．③⑤ ②⑤
三、解答题：
16．（I）解：设等差数列 的公差为d.
由 即d=1.
所以 即
（II）证明因为 ，
所以
17．解法一 由
得
所以
即
因为 所以 ，从而
由 知 从而 .
由
即
由此得 所以
解法二：由
由 、 ，所以
即
由 得
所以
即 因为 ，所以
由 从而 ，知B+2C= 不合要求.再由 ，得 所以
18．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO，OB⊥OO.
1 1 z
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， O C
1
即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO
1
所在直线分别为 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， D
如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），
B（0，3，0），C（0，1， ）
O B y
O（0，0， ）.
1
从 而
x A
图3
所以AC⊥BO.
1
（II）解：因为 所以BO⊥OC，
1
由（I）AC⊥BO，所以BO⊥平面OAC， 是平面OAC的一个法向量.
1 1
设 是0平面OAC的一个法向量，
1
由 得 .
设二面角O—AC—O 的大小为 ，由 、 的方向可知 ， >，
1
所以cos ， >=
即二面角O—AC—O 的大小是
1
解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO，OB⊥OO，
1 1
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO，
1
OC是AC在面OBCO 内的射影.
1
因为 ，
所以∠OOB=60°，∠OOC=30°，从而OC⊥BO
1 1 1
由三垂线定理得AC⊥BO. O
1 C
1 F
（II）解 由（I）AC⊥BO，OC⊥BO，知BO⊥平面AOC.
1 1 1
设 OC∩OB=E，过点 E 作 EF⊥AC 于 F，连结 OF（如图
1 1 D E
4），则 EF 是 OF 在平面 AOC 内的射影，由三垂线定理得
1
OF⊥AC.
1
所以∠OFE是二面角O—AC—O 的平面角. O B
1 1
由题设知OA=3，OO= ，OC=1，
1 1
所 以 A 图4，
从而 ， 又OE=OO·sin30°= ，
1 1
所以 即二面角O—AC—O 的大小是
1
19．解：（I）因为函数 ， 的图象都过点（ ，0），所以 ，
即 .因为 所以 .
又因为 ， 在点（ ，0）处有相同的切线，所以
而
将 代入上式得 因此 故 ， ，
（II）解法一 .
当 时，函数 单调递减.
由 ，若 ；若
由题意，函数 在（－1，3）上单调递减，则
所以
又当 时，函数 在（－1，3）上单调递减.
所以 的取值范围为
解法二：
因为函数 在（－1，3）上单调递减，且 是（－1，
3）上的抛物线，
所以 即 解得
所以 的取值范围为
20．解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结
果出现的可能性都相等.
（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为 （从4个部门中任选2个作为1组，
另外2个部门各作为1组，共3组，共有 种分法，每组选择不同的景区，共有
3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A，那么事件A 的概率为
1 1P（A）=
1
（II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为
事件A 和A，则事件A 的概率为P（A）= ，事件A 的概率为
2 3 3 3 2
P（A）=1－P（A）－P（A）=
2 1 3
解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为 （先从3个景区任意选定
2个，共有 种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，
从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同
的景区，共有 种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区
另 外 2 个 部 门 在 另 1 个 景 区 ， 共 有 种 不 同 选 法 ） . 所 以 P （ A ） =
2
21．（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l： 与x轴、y轴的交点，
所以A、B的坐标分别是
王新奎新疆屯敞
所以点M的坐标是（ ）.
由
即 ，
证法二：因为A、B分别是直线l： 与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标
分别是 设M的坐标是
所以因为点M在椭圆上，所以
即
解得
（Ⅱ）当 时， ，所以
由△MFF的周长为6，得
1 2
所以
椭圆方程为
（Ⅲ）解法一：因为PF⊥l，所以∠PFF=90°+∠BAF 为钝角，要使△PFF 为等腰三
1 1 2 1 1 2
角形，必有|PF|=|FF|，即
1 1 2
设点F 到l的距离为d，由
1
得
所以
即当 △PFF为等腰三角形
1 2 王新奎新疆屯敞
解法二：因为PF⊥l，所以∠PFF=90°+∠BAF 为钝角，要使△PFF 为等腰三角形，
1 1 2 1 1 2
必有|PF|=|FF|，
1 1 2
设点P的坐标是 ，
则 ，
由|PF|=|FF|得
1 1 2
两边同时除以4a2，化简得从而
于是 . 即当 时，△PFF 为等腰三角形
1 2 王新奎新疆屯敞
