文档内容
2007 年辽宁高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3
至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件 互斥，那么 球的表面积公式
如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么
次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若函数 的反函数图象过点 ，则函数 的图象必过点（ ）
A． B． C． D．
3． 角为（ ）
A．0 B． C． D．
4．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
5．若 ，则复数 在复平面内所对应的点在（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若函数 的图象按向量 平移后，得到函数 的图象，则向量（ ）
A． B． C． D．
7．若 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
8．已知变量 满足约束条件 则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其
余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1个球的号码是偶数的概
率是（ ）
A． B． C． D．
10．设 是两个命题： ，则 是 的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．设 为双曲线 上的一点， 是该双曲线的两个焦点，若
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知 与 是定义在 上的连续函数，如果 与 仅当 时的函数
值为0，且 ，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A．0是 的极大值，也是 的极大值B．0是 的极小值，也是 的极小值
C．0是 的极大值，但不是 的极值
D．0是 的极小值，但不是 的极值
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．已知函数 在点 处连续，则 ．
14．设椭圆 上一点 到左准线的距离为10， 是该椭圆的左焦点，若点
满足 ，则 = ．
15．若一个底面边长为 ，棱长为 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球
的体积为 ．
16．将数字 1，2，3，4，5，6 拼成一列，记第 个数为 ，若 ，
， ， ，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数 （其中 ）
（I）求函数 的值域；
（II）若对任意的 ，函数 ， 的图象与直线 有且仅有
两个不同的交点，试确定 的值（不必证明），并求函数 的单调增区间．
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别为棱
的中点， 为棱 上的点，二面角 为 ．
（I）证明： ；
（II）求 的长，并求点 到平面 的距离．A C
1 1
B
M
1
C
A
E
D
B
19．（本小题满分12分）
某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本 与产量 的函数关系式为
该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格
与产量 的函数关系式如下表所示：
市场情形 概率 价格 与产量 的函数关系式
好 0.4
中 0.4
差 0.2
设 分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量 ，表示当产量为 ，而市
场前景无法确定的利润．
（I）分别求利润 与产量 的函数关系式；
（II）当产量 确定时，求期望 ；
（III）试问产量 取何值时， 取得最大值．
20．（本小题满分14分）已知正三角形 的三个顶点都在抛物线 上，其中 为坐标原点，设圆 是
的内接圆（点 为圆心）
（I）求圆 的方程；
（II）设圆 的方程为 ，过圆 上任意一点 分别
作圆 的两条切线 ，切点为 ，求 的最大值和最小值．
21．（本小题满分12分）
已知数列 ， 与函数 ， ， 满足条件：
， .
（I）若 ， ， ， 存在，求 的取
值范围；
（II）若函数 为 上的增函数， ， ， ，证明对任意
， （用 表示）．22．（本小题满分12分）
已知函数 ， ．
（I）证明：当 时， 在 上是增函数；
（II）对于给定的闭区间 ，试说明存在实数 ，当 时， 在闭区间
上是减函数；
（III）证明： ．
参考答案
一、选择题：本在题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。
1．C 2．A 3．C 4．D 5．B 6．B
7．C 8．A 9．D 10．D 11．A 12．B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分。
13．1
14．72
15．4 n
16．2
三、解答题
17．（本小题满分12分）
本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查运用
统计的有关知识解决实际问题的能力，满分12分。
（Ⅰ）解：
分 [500 ， [900 ， [1100 ， [1300 ， [1500 ， [1700 ， [1900 ，
组 900］ 1100） 1300） 1500） 1700） 1900） ）
频
48 121 208 223 193 165 42
数
频 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042率
……4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得 0.048+0.121+0.208+0.223＝0.6，所以灯管使用寿命不是
1500小时的频率为0.6.……8分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：1只灯管使用寿命不足1500小时的概率P=0.6.根据在n次独
立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式可得
。
所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648.……12分
18．（本小题满分12分）
本小题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维
能力。满分12分。
（Ⅰ）证明：连结CD，
∵三棱柱ABC-ABC 是直三棱柱。
1 1 1
∴CC⊥平面ABC，
1
∴CD为CD在平面ABC内的射影，
1
∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点。
∴AB⊥CD，
∴AB⊥CD，
1
∵AB∥AB，
1 1
∴AB⊥CD。
1 1 1
（Ⅱ）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.
∵D、E分别为AB、BC的中点。∴DE∥AC。
又∵AF∥CE，CE⊥AC，
∴AF⊥DE。
∵MA⊥平面ABC，
∴AF为MF在平面ABC内的射影。
∴MF⊥DE，
∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。
在Rt△MAF中，AF＝ ,
∴AM=
作AC⊥MF，垂足为G。
∵MF⊥DE,AF⊥DE,
∴DE⊥平面AMF,
∴平面MDE⊥平面AMF.
∴AG⊥平面MDE
在Rt△GAF中，∠GFA＝30°，AF= ,
∴AG= ,即A到平面MDE的距离为 。
∵CA∥DE,∴CA∥平面MDE,
∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为 。
解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF，
∵D、E分别为AB、CB的中点，
DE∥AC,
又∵AF∥CE,CE⊥AC,
∴AF⊥DE,
∵MA⊥平面ABC,
∴AF为MF在平面ABC内的射影，
∴MF⊥DE,∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。
在Rt△MAF中，AF= BC= ,
∴AM= .……8分
设C到平面MDE的距离为h。
∵ ,
∴ ,
,
,
，
∴h= ，即C到平面MDE的距离为 。……12分
19．（本小题满分12分）
本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角
函数有关知识的能力。满分12分。
（Ⅰ）解：
由-1≤ ≤1，得-3≤ ≤1。
可知函数 的值域为［-3,1］
（Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知， 的周其为w，又由w＞
0，得 ，即得w=2。
于是有 ，再由 ，解得。
所以 的单调增区间为［ ］
20．（本小题满分12分）
本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。
（Ⅰ）解：由题设得 ，即
易知{Cn}是首项为a+b=3，公差为2的等差数列，通项公式为
1 1
Cn=2n+1
（Ⅱ）解：由题设得 ，令 ，则
。
易知{d }是首项 ，公比为 的等比数列，通项公式为
d ＝ ……8分
由于 解得
a ＝ 。……10分
求和得
。……12分
21．（本小题满分14分）
本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用
解析几何知识解决问题的能力。满分14分。（Ⅰ）解法一：设A、B两点坐标分别为（ ），（ ），由题设知
，
解得 ，
所以A（6，2 ），B（6，-2 ）或A（6，-2 ），B（6，2 ）。
设圆心C的坐标为（r,0），则 ，所以圆C的方程为
解法二：设A、B两点坐标分别为（x，y），（x，y），由题设知
1 1 2 2
又因为 ，可得 ，即
。
由 ，可知x＝0，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上，
1
设C点的坐标为（r,0），则A点的坐标为（ ），于是有 ，
解得r=4，所以圆C的方程为
。……4分
（Ⅱ）解：设∠ECF＝2a，则
……8分
在Rt△PCE中， ，由圆的几何性质得
所以 由此可得故 的最大值为 ，最小值为—8。
22．（本小题满分12分）
本小题主要考查函数的性质、导数的应用、不等式的解法等知识，考查数形结合能力
以及综合运用基本关系解决问题的能力。满分12分。
解（I）由题设得
得：
即有：
由上式得 ，即 又 ，故 得：
（II）解：由题设知，对任意的m∈[-26，6]恒有
则有
解得：
