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2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分，考试用时120
分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定
位置粘贴考试用条形码。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3.本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：
如果时间A，B互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B） .
如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径.
P（A·B）=P（A）·P（B）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合 ， ， ，则
（A） （B） （C） （D）
解析：因为 ，所以 ，选A．
（2）设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
解析：如图，由图象可知目标函数
过点 时 取得最大值， ，
选D．
（3）函数 （ ）的反函数是
（A） （ ） （B）
（ ）
（C） （ ） （D） （ ）
解析：当 时， ，解 得 ，选A．
（4）若等差数列 的前5项和 ，且 ，则
（A）12 （B）13 （C）14 （D）15
解析： ，所以 ，
选B．
（5）设 是两条直线， 是两个平面，则 的一个充分条件是
（A） （B）
（C） （D）
解析：选C，A、B、D的反例如图．
（6）把函数 （ ）的图象上
所有点向左平行移动 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍
（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是
（A） ， （B） ，
（C） ， （D） ，
解析：选C,
．（7）设椭圆 （ ， ）的右焦点与抛物线 的焦点相同，离心
率为 ，则此椭圆的方程为
（A） （B） （C） （D）
解析：抛物线的焦点为 ，椭圆焦点在 轴上，排除A、C，由 排除D，选B．
（8）已知函数 ，则不等式 的解集是
（A） （B） （C） （D）
解析：依题意得 ，选
A．
（9）设 ， ， ，则
（A） （B） （C） （D）
解析： ，因为 ，所以 ，选
D．
（10）设 ，若对于任意的 ，都有 满足方程 ，
这时 的取值集合为
（A） （B） （C） （D）
解析：易得 ，在 上单调递减，所以 ，故 ，选
B．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上
3．本卷共12小题，共100分。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）（11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为
了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25的样本，应抽
取超过45岁的职工________________人．
解析：依题意知抽取超过45岁的职工为 ．
（12） 的二项展开式中， 的系数是________________（用数字作答）．
解析： ， ，所以系数为10．
（13）若一个球的体积为 ，则它的表面积为________________．
解析：由 得 ，所以 ．
（14）已知平面向量 ， ．若 ，则 _____________．
解析：因为 ，所以 ．
（15）已知圆C的圆心与点 关于直线 对称．直线 与圆C
相交于 两点，且 ，则圆C的方程为_______________________．
解 析 ： 圆 心 的 坐 标 为 ， 所 以 ， 圆 的 方 程 为
．
（16）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝
色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于
10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．
解析：数字之和为10的情况有4，4，1，1、 4，3，2，1、 3，3，2，2．
所以共有 种不同排法．
三、解答题（本题共6道大题，满分76分）
（17）（本小题满分12分）
已知函数 （ ）的最小值正周期是 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 的最大值，并且求使 取得最大值的 的集合．
（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数
的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：由题设，函数 的最小正周期是 ，可得 ，所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ．
当 ，即 时， 取得最大值1，所以函数
的最大值是 ，此时 的集合为 ．
（18）（本小题满分12分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 ，且乙投球2次
均未命中的概率为 ．
（Ⅰ）求乙投球的命中率 ；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．
（18）本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用
概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．
由题意得
解得 或 （舍去），所以乙投球的命中率为 ．
解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．
由题意得 ，于是 或 （舍去），故 ．
所以乙投球的命中率为 ．
（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知 ．
故甲投球2次至少命中1次的概率为
解法二：由题设和（Ⅰ）知
故甲投球2次至少命中1次的概率为
（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，
甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两
次均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为
，
，
所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为 ．
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形．已知
．
（Ⅰ）证明 平面 ；
（Ⅱ）求异面直线 与 所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角 的大小．
（19）本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、
二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论
证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：在 中，由题设 可得
于是 .在矩形 中， .又 ，
所以 平面 ．
（Ⅱ）解：由题设， ，所以 （或其补角）是异面直线 与 所成的角.
在 中，由余弦定理得
由（Ⅰ）知 平面 ， 平面 ，
所以 ，因而 ，于是 是直角三角
形，故 ．
所以异面直线 与 所成的角的大小为 ．
（Ⅲ）解：过点P做 于H，过点H做
于E，连结PE
因为 平面 ， 平面 ，所以 .又 ，因而 平面 ，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，
，从而 是二面角 的平面角。
由题设可得，
于是再 中，
所以二面角 的大小为 ．
（20）（本小题满分12分）
在数列 中， ， ，且 （ ）．
（Ⅰ）设 （ ），证明 是等比数列；
（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（Ⅲ）若 是 与 的等差中项，求 的值，并证明：对任意的 ， 是 与
的等差中项．
（20）本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 项和公式，
考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）证明：由题设 （ ），得
，即 ， ．
又 ， ，所以 是首项为1，公比为 的等比数列．
（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）
，
，
……
，（ ）．
将以上各式相加，得 （ ）．所以当 时，
上式对 显然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当 时，显然 不是 与 的等差中项，故 ．
由 可得 ，由 得 ， ①
整理得 ，解得 或 （舍去）．于是 ．
另一方面， ，
．
由①可得 ， ．
所以对任意的 ， 是 与 的等差中项．
（21）（本小题满分14分）
已知函数 （ ），其中 ．
（Ⅰ）当 时，讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若函数 仅在 处有极值，求 的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
（21）本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识
考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解： ．
当 时， ．
令 ，解得 ， ， ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
0 2
－ 0 ＋ 0 － 0 ＋↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函数．
（Ⅱ）解： ，显然 不是方程 的根．
为使 仅在 处有极值，必须 成立，即有 ．
解些不等式，得 ．这时， 是唯一极值．
因此满足条件的 的取值范围是 ．
（Ⅲ）解：由条件 ，可知 ，从而 恒成立．
当 时， ；当 时， ．
因此函数 在 上的最大值是 与 两者中的较大者．
为使对任意的 ，不等式 在 上恒成立，当且仅当 ，即
，在 上恒成立．
所以 ，因此满足条件的 的取值范围是 ．
（22）（本小题满分14分）
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是 ，一条渐近线的方程是 ．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以 为斜率的直线 与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的
垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的取值范围．
（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的
定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算
能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设双曲线 的方程为 （ ）．由题设得
，解得 ，所以双曲线方程为 ．（Ⅱ）解：设直线 的方程为 （ ）．点 ， 的
坐标满足方程组
将①式代入②式，得 ，整理得 ．
此方程有两个一等实根，于是 ，且 ．
整理得 ． ③
由根与系数的关系可知线段 的中点坐标 满足
， ．
从而线段 的垂直平分线方程为 ．
此直线与 轴， 轴的交点坐标分别为 ， ．由题设可得
．整理得 ， ．
将上式代入③式得 ，整理得 ， ．
解得 或 ．
所以 的取值范围是 ．
