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2008 年辽宁高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1至2页，第Ⅱ卷3至4
页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
参考公式：
如果事件 互斥，那么 球的表面积公式
如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么
次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率
其中 表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则集合 ＝（ ）
A． B． C． D．
2． （ ）
A． B． C．1 D．2
3．圆 与直线 没有公共点的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
5．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足 ，则
（ ）A． B． C． D．
6．设P为曲线C： 上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为
，则点P横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡
片上的数字之和为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．将函数 的图象按向量 平移得到函数 的图象，则（ ）
A． B． C． D．
9．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安
排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能
从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
10．已知点P是抛物线 上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线
准线的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．在正方体ABCD ABCD中，E，F分别为棱AA，CC的中点，则在空间中与三条直线
1 1 1 1 1 1
AD、EF、CD都相交的直线（ ）
1 1
A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条
12．设 是连续的偶函数，且当x>0时 是单调函数，则满足 的
所有x之和为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．函数 的反函数是__________．
14．在体积为 的球的表面上有A，B，C三点，AB=1，BC= ，A，C两点的球面距离为 ，则球心到平面ABC的距离为_________．
15．已知 的展开式中没有常数项， ，且 2≤n≤8，则
n=______．
16．已知 ，且 在区间 有最小
值，无最大值，则 ＝__________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知 ， ．
（Ⅰ）若 的面积等于 ，求 ；
（Ⅱ）若 ，求 的面积．
18．（本小题满分12分）
某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100周的统计结果如
下表所示：
周销售量 2 3 4
频数 20 50 30
（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元， 表示该种商品两周销售利润的和（单位：
千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，在棱长为1的正方体 中，AP=BQ=b（00时，恒有| |>| |．
21．（本小题满分12分）
在数列 ， 中，a=2，b=4，且 成等差数列， 成等
1 1
比数列（ ）
（Ⅰ）求a，a，a及b，b，b，由此猜测 ， 的通项公式，并证明你的结论；
2 3 4 2 3 4
（Ⅱ）证明： ．
22．（本小题满分14分）
设函数 ．
（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式 的解集为（0，+ ）？若存在，求
a的取值范围；若不存在，试说明理由．参考答案和评分参考
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果
考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的
一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，共60分．
1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A
7．C 8．A 9．B 10．A 11．D 12．C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函
数有关知识的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得， ，
又因为 的面积等于 ，所以 ，得 ． 4分
联立方程组 解得 ， ． 6分
（Ⅱ）由题意得 ，
即 ， 8分
当 时， ， ， ， ，
当 时，得 ，由正弦定理得 ，
联立方程组 解得 ， ．
所以 的面积 ． 12分
18．本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题
的能力．满分12分．解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． 3分
（Ⅱ） 的可能值为8，10，12，14，16，且
P（ =8）=0.22=0.04，
P（ =10）=2×0.2×0.5=0.2，
P（ =12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，
P（ =14）=2×0.5×0.3=0.3，
P（ =16）=0.32=0.09．
的分布列为
8 10 12 14 16
P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
9分
=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） 12分
19．本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象
能力与逻辑思维能力。满分12分．
解法一：
（Ⅰ）证明：在正方体中， ， ，又由已知可得
， ， ，
D
所以 ， ，
C
H
G
A B
所以 平面 ．
Q
P N D M C
所以平面 和平面 互相垂直． 4分
A F E
B
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面
PQEF和截面PQGH面积之和是
，是定值． 8分
（III）解：连结BC′交EQ于点M．
因为 ， ，
所以平面 和平面PQGH互相平行，因此 与平面PQGH所成角与 与平面
所成角相等．与（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面 ，因此EM与 的比值就是所
求的正弦值．
设 交PF于点N，连结EN，由 知
．
因为 ⊥平面PQEF，又已知 与平面PQEF成 角，
所以 ，即 ，
解得 ，可知E为BC中点．
所以EM= ，又 ，
故 与平面PQGH所成角的正弦值为 ． 12分
解法二：
以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D
－xyz由已知得 ，故
， ， ， ，
z
， ， ，
D C
H
G
， ， ． A B
P Q C
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得 D
y
， A F E
B
， x
．
因为 ，所以 是平面PQEF的法向量．
因为 ，所以 是平面PQGH的法向量．
因为 ，所以 ，
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． 4分
（Ⅱ）证明：因为 ，所以 ，又 ，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．
在所建立的坐标系中可求得 ， ，
所以 ，又 ，
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为 ，是定值． 8分
（Ⅲ）解：由已知得 与 成 角，又 可得
，
即 ，解得 ．
所以 ，又 ，所以 与平面PQGH所成角的正弦值为
． 12分
20．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识
考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．
解：
（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以 为焦点，长半
轴为2的椭圆．它的短半轴 ，
故曲线C的方程为 ． 3分
（Ⅱ）设 ，其坐标满足
消去y并整理得 ，
故 ． 5分
若 ，即 ．而 ，
于是 ，
化简得 ，所以 ． 8分
（Ⅲ）
．
因为A在第一象限，故 ．由 知 ，从而 ．又 ，
故 ，
即在题设条件下，恒有 ． 12分
21．本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运
用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．满分12分．
解：
（Ⅰ）由条件得
由此可得
． 2分
猜测 ． 4分
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即
，
那么当n=k+1时，
．
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知 对一切正整数都成立． 7分（Ⅱ） ．
n≥2时，由（Ⅰ）知 ． 9分
故
综上，原不等式成立． 12分
22．本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学
知识分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解：（Ⅰ） ． 2分
故当 时， ，
时， ．
所以 在 单调递增，在 单调递减． 4分
由此知 在 的极大值为 ，没有极小值． 6分
（Ⅱ）（ⅰ）当 时，
由于 ，
故关于 的不等式 的解集为 ． 10分
（ⅱ）当 时，由 知 ，其中 为
正整数，且有
． 12分又 时， ．
且 ．
取整数 满足 ， ，且 ，
则 ，
即当 时，关于 的不等式 的解集不是 ．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在 ，使得关于 的不等式 的解集为 ，且 的
取值范围为 ． 14分
