2009年北京高考文科数学试卷及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_地方卷高考文科数学_北京文科数学08-20

2009 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）（北京卷） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第 I卷1至2页，第Ⅱ卷3至9 页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共40分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用 2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字 母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1 A{x|  x2},B{x x2 1} 1 ． 设 集 合 2 ， 则 A  B  （ ） 1 {x|  x1} {x 1 x2} 2 A． B． {x|x2} {x|1 x2} C． D． 【答案】A 【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运 算的考查. 1 A{x|  x2}, B{x x2 1}x|1 x1 2 ∵ ， A B {x 1 x2}  ∴ ，故选A. a (1,0),b(0,1),ckab(kR),d ab c//d 2．已知向量 ，如果 ，那么 k 1 c d k 1 c d A． 且 与 同向 B． 且 与 反向 k 1 c d k 1 c d C． 且 与 同向 D． 且 与 反向 【答案】D .w【解析】.k.s.5.u.c本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基 本运算的考查.1,0 0,1 1,1 1,1 ∵a ，b ，若 k 1 ，则c  a  b ，d  a  b ， 显然，a与b不平行，排除A、B. 1,1 1,1 若 k 1 ，则c   a  b ，d   a  b ， // 即c d且c与d反向，排除C，故选D (1 2)4 ab 2(a,b ab 3 ． 若 为 有 理 数 ） ， 则 （ ） A．33 B． 29 C．23 D．19 【答案】B .w【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.  4  0  1  2  3  4 1 2 C0 2 C1 2 C2 2 C3 2 C4 2 ∵ 4 4 4 4 4 14 2128 241712 2 ， 1712 2 ab 2 ab171229 由已知，得 ，∴ .故选B. x3 y lg 10 y lgx .k.s.5.u.c 4．为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点（ ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C .w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. y lgx31lg10x3 A． ， y lgx31lg10x3 B． ， x3 y lgx31lg 10 C． ， x3 y lgx31lg 10 D． . 故应选C. 5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C .w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. A1 2 2和4排在末位时，共有 2 种排法， A3 43224 其余三位数从余下的四个数中任取三个有 4 种排法， 22448 于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有 （个）.故选C.  1  cos2 6 2 6．“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A .w【解析】本题主要考查.k本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判 断. 属于基础知识、基本运算的考查.   1  cos2cos  6 3 2 当 时， ， 1   cos2 22k k kZ 2 3 6 反之，当 时，有 ，   22k k kZ 3 6 或 ，故应选A. ABCDABC D AB AC 7．若正四棱柱 1 1 1 1的底面边长为1， 1与底面ABCD成60°角，则 1 1 到底面ABCD的距离为 ( ) 3 3 2 3 A． B． 1 C． D． 【答案】D .w【解析】.k本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离 等概念. 属于基础知识、基本运算的考查. B AB 60 依题意， 1 ，如图， BB 1tan60  3 1 ，故选D. PPP P PPP 8．设 D 是正 1 2 3及其内部的点构成的集合，点 0是 1 2 3的中心，若集合 S {P|PD,|PP ||PP |,i 1,2,3} 0 i ，则集合S表示的平面区域是 ( ) A．三角形区域 B．四边形区域 C． 五边形区域 D．六边形区域【答案】D 【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识..5.u.c.o. 本题主要考查阅读与理解、信息 迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 大光明 如图， A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S 为六边形ABCDEF，其中， P A P A PAi 1,3 0 2 i 即点P可以是点A. 第Ⅱ卷（110分） 注意事项： 1．用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 三 题号 二 总分 15 16 17 18 19 20 分数 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。 4 sin ,tan0 5 cos 9．若 ，则 . 3  5 【答案】 【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算。 属于基础知识、基本运算的考查。 2  4 3 3 cos 1sin2 1        5 5 5 由已知， 在第三象限，∴ ，∴应填 . {a } a 1,a 2a (nN) a  10．若数列 n 满足： 1 n1 n ，则 5 ；前8项 S  的和 8 .（用数字作答） 【答案】16 255 .w【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m 属于基础知识、基 本运算的考查. a 1,a 2a 2,a 2a 4,a 2a 8,a 2a 16 1 2 1 3 2 4 3 5 4 ，28 1 S  255 8 21 易知 ，∴应填255. x y20,  x4,  x,y  x5, s  x y 11．若实数 满足 则 的最大值为 . 【答案】9 【解析】.s.5.u本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. x4,y 5 如图，当 时， s  x y 459 为最大值. 故应填9. 3x, x1, f(x) x, x1, f(x)2 12．已知函数 若 ，则 x . log 2 .w.w.k.s.5【答案】 3 x .w【解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 的值. 属于基础知识、基 本运算的考查. x1 x1   xlog 2  3x 2 3 x2 x2 log 2 由 ， 无解，故应填 3 . x2 y2  1 F,F |PF |4 |PF | 9 2 13．椭圆 的焦点为 1 2，点P在椭圆上，若 1 ，则 2 ； FPF 1 2的大小为 . 2, 120 【答案】 .w【解析】u.c本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定 理. 属于基础知识、基本运算的考查. a2 9,b2 3 ∵ ， c a2 b2  92  7 ∴ ， FF 2 7 ∴ 1 2 ， PF 4, PF  PF 2a 6 PF 2 又 1 1 2 ，∴ 2 ， 2 22 42  2 7 1 cosFPF   1 2 224 2 又由余弦定理，得 ， FPF 120 2, 120 ∴ 1 2 ，故应填 . kA k1A k1A k 14．设A是整数集的一个非空子集，对于 ，如果 且 ，那么称 是 S {1,2,3,4,5,6,7,8,} A的一个“孤立元”，给定 ，由S的3个元素构成的所有集合中， 不含“孤立元”的集合共有 个. 【答案】6 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解 决问题的能力. 属于创新题型. k 什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在 k 集合中有与 相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类： 1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8 因此，符合题意的集合是： 共6个. 故应填6. 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共12分） f(x)2sin(x)cosx 已知函数 . f(x) （Ⅰ）求 的最小正周期；     ,   f(x)  6 2 （Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值. 【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间 上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力． f x2sinxcosx2sinxcosxsin2x （Ⅰ）∵ ， f(x)  ∴函数 的最小正周期为 .    3   x  2x  sin2x1 6 2 3 2 （Ⅱ）由 ，∴ ，    3   ,   f(x)  6 2 2 ∴ 在区间 上的最大值为1，最小值为 . 16．（本小题共14分） PABCD 如 图 ， 四 棱 锥 的 底 面 是 正 方 形 ， PD底面ABCD ，点E在棱PB上.AEC 平面PDB （Ⅰ）求证：平面 ； PD 2AB （Ⅱ）当 且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小. 【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础 知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． （Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， PD底面ABCD ∵ ， ∴PD⊥AC， ∴AC⊥平面PDB， AEC 平面PDB ∴平面 . （Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角， ∴O，E分别为DB、PB的中点， 1 OE  PD 2 ∴OE//PD， ， PD底面ABCD 又∵ ， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO， 1 2 OE  PD AB AO 2 2 在Rt△AOE中， ， AEO45 45 ∴ ，即AE与平面PDB所成的角的大小为 . Dxyz 【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系 ， AB a,PD h, Aa,0,0,Ba,a,0,C0,a,0,D0,0,0,P0,0,h 设 则 ，    AC a,a,0,DP 0,0,h,DB a,a,0 （Ⅰ）∵ ，     ACDP 0,ACDB 0 ∴ ， ∴AC⊥DP，AC⊥BD， ∴AC⊥平面PDB， AEC 平面PDB ∴平面 . PD 2AB （Ⅱ）当 且E为PB的中点时，  1 1 2  P 0,0, 2a ,E a, a, a   2 2 2   ， 1 1 O( a, a,0) ACBDO 2 2 设 ，则 ，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，  1 1 2    2  EA a, a, a,EO0,0, a     2 2 2 2     ∵ ，   EAEO 2 cosAEO    EA  EO 2 ∴ ， AEO45 45 ∴ ，即AE与平面PDB所成的角的大小为 . 17．（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯 1 3 的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用 概率知识解决实际问题的能力. （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件A等于事 件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件 A  1  1 1 4 PA 1  1        3  3 3 27 的概率为 . （Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学生在 B k 0,1,2 k 上学路上遇到 次红灯的事件 k . 4 2 16 PB     0 3 81 则由题意，得 ， 1 3 2 2 1 2 32 1 2 24 PB C1  ,PB C2          1 4 3 3 81 2 4 3 3 81 . 由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”， 8 PB PB PB PB  0 1 2 9 ∴事件B的概率为 . 18．（本小题共14分）f(x) x33axb(a 0) 设函数 . y  f(x) (2, f(2)) y 8 a,b （Ⅰ）若曲线 在点 处与直线 相切，求 的值； f(x) （Ⅱ）求函数 的单调区间与极值点. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综 合分析和解决问题的能力． f 'x3x2 3a （Ⅰ） , y  f(x) (2, f(2)) y 8 ∵曲线 在点 处与直线 相切，  f '20 34a0 a4,     f 28 86ab8 b24. ∴ f 'x3  x2 a a 0 （Ⅱ）∵ , a0 f 'x0 f(x) , f(x) 当 时， ，函数 在 上单调递增，此时函数 没有极值点. f 'x0 x a a0 当 时，由 ，   x , a f 'x0 f(x) 当 时， ，函数 单调递增，   x  a, a f 'x0 f(x) 当 时， ，函数 单调递减，   x a, f 'x0 f(x) 当 时， ，函数 单调递增， x a f(x) x a f(x) ∴此时 是 的极大值点， 是 的极小值点. 19．（本小题共14分） x2 y2 3 C:  1(a0,b0) x a2 b2 3 3 已知双曲线 的离心率为 ，右准线方程为 。 （Ⅰ）求双曲线C的方程； x ym0 （Ⅱ）已知直线 与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆 x2  y2 5 上，求m的值 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的 关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．a2 3    c 3  c   3 a a 1,c 3 （Ⅰ）由题意，得 ，解得 ， y2 x2  1 b2 c2 a2 2 C 2 ∴ ，∴所求双曲线 的方程为 . x ,y ,x ,y  M x ,y  （Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为 1 1 2 2 ，线段AB的中点为 0 0 ， x ym0   y2 x2  1   2 x2 2mxm2 20 0 由 得 （判别式 ）, x x x  1 2 m,y  x m2m 0 2 0 0 ∴ , M x ,y  x2  y2 5 ∵点 0 0 在圆 上， m2 2m2 5 m1 ∴ ，∴ . 20．（本小题共13分） {a } a  pnq(nN,P 0) {b } 设数列 n 的通项公式为 n . 数列 n 定义如下：对于正整数m b a m ， m是使得不等式 n 成立的所有n中的最小值. 1 1 p ,q b 2 3 （Ⅰ）若 ，求 3； p 2,q 1 {b } （Ⅱ）若 ，求数列 m 的前2m项和公式； b 3m2(mN) （Ⅲ）是否存在p和q，使得 m ？如果存在，求p和q的取值范围；如 果不存在，请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分 类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题. 1 1 a  n n 2 3 （Ⅰ）由题意，得 ， 1 1 20 n 3 n 2 3 3 解 ，得 .1 1 n 3 b 7 2 3 ∴ 成立的所有n中的最小正整数为7，即 3 . a 2n1 （Ⅱ）由题意，得 n ， m1 n a m 2 对于正整数m，由 n ，得 . b 根据 m的定义可知 b k  kN* 当 m2k1 时， m ； b k1  kN* 当 m2k 时， m . b b  b b b  b b b  b  ∴ 1 2  2m 1 3  2m1 2 4  2m 123 m234 m1     mm1 mm3   m2 2m 2 2 . mq n pnqm p 0 p （Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式 及 得 . b 3m2(mN) b ∵ m ,根据 m的定义可知，对于任意的正整数m 都有 mq 3m1 3m2 p ， 2pq3p1mpq 即 对任意的正整数m都成立. pq 2pq m m 3p10 3p10 3p1 3p1 当 （或 ）时，得 （或 ），这与上述结论矛 盾！ 1 2 1 p  q0 q 3p10 3 3 3 当 ，即 时，得 ， 2 1  q 3 3 解得 .（经检验符合题意） 1 p b 3m2(mN) 3 ∴ 存在 p 和 q，使得 m ；p 和 q 的取值范围分别是 ，2 1  q 3 3 .