文档内容
绝密★考试结束前
如果事件 互斥 ，那么
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（文科）
一．选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分
150分，考试时间120分钟。 1．设 ，则
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
A． B． C． D．
选择题部分（共50分）
2．“ ”是“ ”的
注意事项：
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
置上。
3．设 （ 是虚数单位），则
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选
涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 A． B． C． D．
参考公式
4．设 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题正确的是
台体的体积公式
A．若 则 B．若 则
C．若 则 D．若 则
其中 , 分别表示台体的上、下面积， 表示台体的高
5．已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)//b,c⊥(a+b),则c=
柱体体积公式
其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高 A．( , ) B．(- ,- ) C．( , ) D．(- ,- )
锥体的体积公式 其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高
6．已知椭圆 + =1（a>b>0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥F轴，直线AB交y轴于
球的表面积公式
点P.若 =2 ,则椭圆的离心率是
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
球的体积公式
A． B． C． D．
其中 表示球的半径
7．某程序框图如图所示，该程序运行输出的k的值是A．4 B．5 C．6 D．7
体积是
8．若函数 = + (a R),则下列结论正确的是
13．若实数 满足不等式组 则 的最小
A． a R, 在 上是增函数
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
B． R, 在 上是减函数 值是 。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
14．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在
C． 是偶函数
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 区间 上的数据的频数为 。
D． 是奇函数
9．已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点的个数最多为 15．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知a是实数，则函数 =1+ 的图像不可能是
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家
庭本月应付的电费为 元（用数字作答）。
16．设等差数列 的前n项和为 ，则 , , , 成等差数列.类比以上结论有：设等比
非选择题部分（共100分）
注意事项：
数列 的前n项积为 ，则 ， ， 成等比数列。
1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色自拟的签字笔或钢笔描黑。
17．有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k+1，其中k=0，1，2，…，19．从这20张卡片中
任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各
二．填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。
位数字之和为9+1+0=10）不小于14”为A，则P(A)=
11．设等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则 = .
三．解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的18．（本题满分14分）在 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 ，
.
（Ⅰ）求 的面积； （Ⅱ）若c=1，求a的值.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
21．(本题满分15分)已知函数f(x)=x +(1-a) x -a(a+2)x+b(a,b R).
19．（本题满分14分）如图，DC 平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2, ACB=120°，P,Q分别为AE,AB （I）若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f(x)在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围.
的中点. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值.
22．（本题满分15分）已知抛物线C：x =2py（p>0）上一点A（m，4）到焦点的距离为 .
（I）求p于m的值；
（Ⅱ）设抛物线C上一点p的横坐标为t（t>0）,过p的直线交C于另一点Q，交x轴于M点，过点Q作PQ的
垂线交C于另一点N.若MN是C的切线，求t的最小值;
20．（本题满分14分）设 为数列 的前n项和， +n，n N ，其中k是常数.
；
（I）求 及
（Ⅱ）若对于任意的m N , a ,a ,a 成等比数列，求k的值.，所以 ，
又 平面ACD ，DC 平面ACD， 所以 平面ACD
（Ⅱ）在 中， ，所以
而DC 平面ABC， ，所以 平面ABC
而 平面ABE， 所以平面ABE 平面ABC， 所以 平面ABE
由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以
所以 平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，
所以直线AD与平面ABE所成角是
在 中， ，
所以
数学（文科）试题参考答案
20．（14分）解析：（Ⅰ）当 ，
（ ）
一．选择题：
经验， （ ）式成立，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D C D D A C C D （Ⅱ） 成等比数列， ，
二．填空题． 即 ，整理得： ，
11． 15 12．18 13．4 14．30 对任意的 成立，
15． 16． 17． 21. （15分）解析：（Ⅰ）由题意得
又 ，解得 ， 或
三．解答题
（Ⅱ）函数 在区间 不单调，等价于
18. （14分）解析：（Ⅰ）
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
导函数 在 既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数
又 ， ，而 ，所以 ，所以 即函数 在 上存在零点，根据零点存在定理，有
， 即：
的面积为：
整理得： ，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，而 ，所以
所以
22．（15分）解析（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程： ，根据抛物线定义
19．（14分）（Ⅰ）证明：连接 ， 在 中， 分别是 的中点，所以 ， 又 点 到焦点的距离等于它到准线的距离，即 ，解得抛物线方程为： ，将 代入抛物线方程，解得
（Ⅱ）由题意知，过点 的直线 斜率存在且不为0，设其为 。
则 ，当 则 。
联立方程 ，整理得：
即： ，解得 或
，而 ， 直线 斜率为
，联立方程 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
整理得： ，即：
1．设 则 （ ）
A． B． C． D．
，解得： ，或
【】是
【测量目标】集合的基本运算（交集与补集）.
【考查方式】集合的表示（描述法），求集合的补集与交集.
【参考答案】B
【试题解析】对于 因此 ．
2．“ ”是“ ”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
而抛物线在点N处切线斜率：
【测量目标】命题的充分，必要条件.
【考查方式】主要考查命题的基本关系以及充分必要条件.
MN是抛物线的切线， ，
【参考答案】A
【试题解析】对于“ ” “ ”；反之不一定成立，因此“ ”是“ ”的充分而不必要条
整理得
件．
，解得 （舍去），或 ，
3．设 （ 是虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【测量目标】复数的代数形式的四则运算.
【考查方式】给出复数的除法乘方形式，考查复数的代数四则运算.
【参考答案】DC． D．
【试题解析】对于
【测量目标】循环结构的程序框图.
4．设 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题正确的是 （ ） 【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环
A．若 则 B．若 则 的值.
【参考答案】A
C．若 则 D．若 则
【试题解析】对于 ，而对于 ，则 ，后面是
【测量目标】直线与平面位置关系，平面与平面的位置关系.
【考查方式】给出线面，面面的部分关系，推导直线与平面的关系. ，不符合条件时输出的 ．
【参考答案】C
8．若函数 ，则下列结论正确的是 （ ）
【试题解析】对于 均可能出现 ，而对于C是正确的．
5．已知向量 ．若向量c满足 ，则 （ ） A． ， 在 上是增函数
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
B． ， 在 上是减函数
A． B． C． D．
C． ， 是偶函数
【测量目标】平面向量的坐标运算.
D． ， 是奇函数
【考查方式】给出平面向量满足的关系式，通过平面向量的平行和垂直关系运算求解.
【测量目标】全称量词、存在量词、函数奇偶性与单调性的判断.
【参考答案】D
【考查方式】给出函数式，通过对量词的考查结合函数的性质进行考查.
【 试 题 解 析 】 不 妨 设 ， 则 ， 对 于 ， 则 有
【参考答案】C
；（步骤1） 【试题解析】对于 时有 是一个偶函数
又 ，则有 ，则有 （步骤2）
9．已知三角形的三边长分别为 ，则它的边与半径为 的圆的公共点个数最多为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，且 轴，直线 交 【测量目标】直线与圆的位置关系.
【考查方式】通过三角形边与圆相切来考虑公共点.
轴于点 ．若 ，则椭圆的离心率是 （ ）
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【参考答案】B
【试题解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一
A． B． C． D．
右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但4以上的交点不能实现．
【测量目标】椭圆的简单几何性质，解析几何与平面向量结合.
10．已知 是实数，则函数 的图象不可能是 （ ）
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【考查方式】考查解析几何与平面向量结合，数形结合求解离心率.
【参考答案】D
【试题解析】对于椭圆，因为 ，则
A B C D
7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是 （
）
【测量目标】三角函数的图象.
A． B．
【考查方式】函数式中设定函数，考查三角函数的图象.【参考答案】D 14．某个容量为 的样本的频率分布直方图如下，则在区间 上的数据的频数为 ．
【测量目标】频率分布直方图.
【试题解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为 （步骤1）
【考查方式】给出频率分布直方图，通过图表解决问题.
而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了 ．（步骤2） 【参考答案】30
【试题解析】对于在区间 的频率/组距的数值为 ，而总数为100，因此频数为30
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
非选择题部分（共100分） 15．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 高峰月用电量 高峰电价 低谷月用电量 低谷电价
（单位：千瓦时） （单位：元/千瓦 （单位：千瓦时） （单位：元/千瓦
11．设等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则 ．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 时） 时）
【测量目标】等比数列的通项，等比数列的前 和. 50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288
【考查方式】给出等比数列的公比，考查等比数列前 和每项的关系. 超过50至200的部 0.598 超过50至200的部分 0.318
【参考答案】15 分
超过200的部分 0.668 超过200的部分 0.388
【试题解析】对于
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为 千瓦时，低谷时间段用电量为 千瓦时，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）．
【测量目标】分段函数模型.
12．若某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则此几何体的体积是 ．
【考查方式】考查识图能力及数据处理能力，求解.
【测量目标】三视图求几何体的体积.
【参考答案】148.4
【考查方式】给出三视图，求几何体的体积.
【试题解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为 ；对于低峰部分为
【参考答案】18
，二部分之和为
【试题解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为 ，上面的长方体体 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
16．设等差数列 的前 项和为 ，则 ， ， ， 成等差数列．类比以上结论有：设
积为 ，因此其几何体的体积为18
等比数列 的前 项积为 ，则 ， ， ， 成等比数列．
13．若实数 满足不等式组 则 的最小值是 ．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【测量目标】等比数列的性质，等差数列的性质.
【考查方式】通过已知条件进行类比推理求解.
【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.
【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的 平面区域，
【参考答案】
求出线性目标函数的最小值.
【参考答案】4
【试题解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列 的前 项积为 ，则 ， ， 成等比数列．
【试题解析】通过画出其线性规划，可知直线 过点 时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
17．有 张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数 ，其中 ．
从这 张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有 的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为 ）不小于 , ， 骤1）
则 ．
又 ，所以 ，又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 （步骤2）
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【测量目标】排列组合及其应用.
（Ⅱ）在 中， ，所以 （步骤3）
【考查方式】给出排列组合的方式，求在一定条件下出现 事件概率.
而 平面 ， ，所以 平面
【参考答案】
而 平面 ， 所以平面 平面 ， 所以 平面 （步骤4）
由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以
【试题解析】对于大于14的点数的情况通过列举可得有5种情况，即 ，而基本事件
所以 平面 ， 所以直线 在平面 内的射影是 ，（步骤5）
有20种，因此
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以直线 与平面 所成角是 （步骤6）
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 在 中， ，
18．（本题满分14分）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ， 所以 （步骤7）
． （I）求 的面积； （II）若 ，求 的值． 20．（本题满分14分）设 为数列 的前 项和， ， ，其中 是常数．
【测量目标】平面向量的线性运算，正弦定理余弦定理，二倍角，同角三角函数的基本关系. （I） 求 及 ；
【考查方式】给出关于向量的等式，根据数量积的公式将其转化为边与角的关系式，进而求 的面积;给
（II）若对于任意的 ， ， ， 成等比数列，求 的值．
出边 ，根据余弦定理求 值.
【测量目标】等差数列的通项和等比数列的性质，等差数列前 项和.
【试题解析】（Ⅰ） （步骤1）
【考查方式】给出 的表达式，求 ； 中部分项呈等比，求解未知数 .
【试题解析】（Ⅰ）当 ，
又 ， ，（步骤2）
（）（步骤1）
而 ，所以 ，
检验， （）式成立， （步骤2）
（Ⅱ） 成等比数列， ，
所以 的面积为： （步骤3）
即 ，（步骤3）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，而 ，所以
整理得： ，对任意的 成立，
所以 （步骤4）
（步骤4）
2
21．（本题满分15分）已知函数 ．
19 ． （ 本 题 满 分 14 分 ） 如 图 ， 平 面 ， ，
（I）若函数 的图象过原点，且在原点处的2切线斜率是 ，求 的值；
， ， 分别为 的中点．（I）证
（II）若函数 在区间 上不单调，求 的取值范围．
明： 平面 ；（II）求 与平面 所成角的正弦值．
【测量目标】利用导数判断或求函数的单调区间，函数零点的应用.
【测量目标】线面平行的判定，线面角的求法.
【考查方式】限定函数的图象过定点处的斜率，解出方程中的未知数;给出函数在区间上的单调性，求未知数的
【考查方式】线线平行推出线面平行;由几何体中的位置关系，进行求解.
取值范围.
【试题解析】（Ⅰ）证明：连接 ，在 中， 分别是 的中点，所以 ， （步
【试题解析】
2 2（Ⅰ）由题意得 （步骤1）
联立方程 ，整理得：
又 ，（步骤2）
即： ，解得 或 （步骤7）
解得 ， 或 （步骤3）
，而 ， 直线 斜率为 （步骤8）
（Ⅱ）由 ,得 （步骤4）
，联立方程
又 在 上不单调,即 或 （步骤5）
整理得： ，即：
，解得： 或 （步骤9）
解得 或
， （步骤10）
所以 的取值范围是 .（步骤6）
22．（本题满分15分）已知抛物线 ： 上一点 到其焦点的距离为 ．
而抛物线在点N处切线斜率： （步骤11）
（I）求 与 的值；
（II）设抛物线 上一点 的横坐标为 ，过 的直线交 于另一点 ，交 轴于点 ，过点 作 是抛物线的切线， ， 整理得
的垂线交 于另一点 ．若 是 的切线，求 的最小值．
，解得 （舍去），或 ， （步骤12）
【测量目标】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的定点定
值问题.
【考查方式】给出抛物线上一点到焦点的距离，根据准线方程求方程中未知数;根据直
线与抛物线直线与直线的关系，求 的最小值
【试题解析】（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程： ，（步骤1）
根据抛物线定义点 到焦点的距离等于它到准线的距离，即 ，解得 （步骤2）
抛物线方程为： ，（步骤3）
将 代入抛物线方程，解得 （步骤4）
2
（Ⅱ）由题意知，过点 的直线 斜率存在且不为0，设其为 .（步骤5）
则 ，当 则 .（步骤6）
