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2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅰ） A． B． C． D．
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 10．（5分）已知函数 f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（
）
1．（5分）复数 =（ ）
A． B． C．（3，+∞） D．[3，+∞）
A．i B．﹣i C．12﹣13i D．12+13i
11．（5分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么 的最
2．（5分）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（ ）
小值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
A． B． C． D．
12．（5分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积
的最大值为（ ）
3．（5分）若变量x，y满足约束条件 ，则z=x﹣2y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
4．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a }，a a a =5，a a a =10，则a a a =（ ）
n 1 2 3 7 8 9 4 5 6
13．（5分）不等式 的解集是 ．
A． B．7 C．6 D．
5．（5分）（1+2 ）3（1﹣ ）5的展开式中x的系数是（ ）
14．（5分）已知α为第三象限的角， ，则 = ．
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
15．（5分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是 ．
6．（5分）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课
16．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且
程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
，则C的离心率为 ．
A．30种 B．35种 C．42种 D．48种
7．（5分）正方体ABCD﹣A B C D 中，BB 与平面ACD 所成角的余弦值为（ ）
1 1 1 1 1 1
A． B． C． D． 三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．
8．（5分）设a=log 2，b=ln2，c= ，则（ ）
3
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
9．（5分）已知F 、F 为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F PF =60°，则P到x
1 2 1 2
轴的距离为（ ）18．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，
则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则 21．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，
再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能 点A关于x轴的对称点为D．
通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审． （Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（Ⅱ）设 ，求△BDK的内切圆M的方程．
（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
19．（12 分）如图，四棱锥 S﹣ABCD 中，SD⊥底面 ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，
DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小． 22．（12分）已知数列{a
n
}中，a
1
=1，a
n+1
=c﹣ ．
（Ⅰ）设c= ，b = ，求数列{b }的通项公式；
n n
（Ⅱ）求使不等式a ＜a ＜3成立的c的取值范围．
n n+1
20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．
