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2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）复数 =（ ）
A．i B．﹣i C．12﹣13i D．12+13i
2．（5分）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
3．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=x﹣2y 的最大值为（
）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a }，a a a =5，a a a =10，则a a a =
n 1 2 3 7 8 9 4 5 6
（ ）
A． B．7 C．6 D．
5．（5分）（1+2 ）3（1﹣ ）5的展开式中x的系数是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
6．（5分）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选 3
门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．30种 B．35种 C．42种 D．48种
7．（5 分）正方体 ABCD﹣A B C D 中，BB 与平面 ACD 所成角的余弦值为（
1 1 1 1 1 1
）
A． B． C． D．
8．（5分）设a=log 2，b=ln2，c= ，则（ ）
3
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
9．（5 分）已知 F 、F 为双曲线 C：x2﹣y2=1 的左、右焦点，点 P 在 C 上，
1 2∠F PF =60°，则P到x轴的距离为（ ）
1 2
A． B． C． D．
10．（5分）已知函数 f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b
的取值范围是（ ）
A． B． C．（3，+∞） D．[3，+∞）
11．（5分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，
那么 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四
面体ABCD的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）不等式 的解集是 ．
14．（5分）已知α为第三象限的角， ，则 = ．
15．（5 分）直线 y=1 与曲线 y=x2﹣|x|+a 有四个交点，则 a 的取值范围是
．
16．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延
长线交C于点D，且 ，则C的离心率为 ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求
内角C．18．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位
初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；
若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复
审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审
的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．
（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，
AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．
20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．21．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C
相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设 ，求△BDK的内切圆M的方程．
22．（12分）已知数列{a }中，a =1，a =c﹣ ．
n 1 n+1
（Ⅰ）设c= ，b = ，求数列{b }的通项公式；
n n
（Ⅱ）求使不等式a ＜a ＜3成立的c的取值范围．
n n+1
