文档内容
2013 北京高考理科数学试题
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B= ( )
A.{0} B.{－1，0}
C.{0，1} D.{－1,0,1}
2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )
A.第一象限 B. 第二象限
C.第三象限 D. 第四象限
3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为
A.1 B. C. D.
5.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=
A. B. C. D.
6.若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
A.y=±2x B.y= C. D.
7.直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于A. B.2 C. D.
8.设关于x,y的不等式组 表示的平面区域内存在点P(x ，y)满足x －2y=2，求得m的
0 0 0 0
取值范围是
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6题，每小题5分，共30分.
9.在极坐标系中，点(2， )到直线ρsinθ=2的距离等于
10.若等比数列{a}满足a＋a=20，a＋a=40，则公比q= ；前n项和S=
n 2 4 3 5 n
.
11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，PA=3， ，则PD=
，AB= .
12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张
参观券连号，那么不同的分法种数是 .
13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa＋μb(λ，μ∈R)
，则 =
14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABC D 中，E为BC的中点，点P在线段DE上，点P到直线
1 1 1 1 1
CC 的距离的最小值为 .
1三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演2013年普通高等学校招生统一考试算步骤或证明过程
15. (本小题共13分)
在△ABC中，a=3，b=2 ，∠B=2∠A.
(I)求cosA的值，
(II)求c的值
16.( 本小题共13分)
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100表示空气质量优良，空
气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并
停留2天
（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率
（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望。
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
17. (本小题共14分)
如图，在三棱柱 ABC-ABC 中，AAC C 是边长为 4的正方形.平面 ABC⊥平面 AAC C，AB=3，
1 1 1 1 1 1 1
BC=5.
（Ⅰ）求证：AA⊥平面ABC；
1
（Ⅱ）求二面角A-BC -B 的余弦值；
1 1 1
（Ⅲ）证明：在线段BC 存在点D，使得AD⊥AB，并求 的值.
1 118. (本小题共13分)
设l为曲线C： 在点(1，0)处的切线.
(I)求l的方程；
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方
19. (本小题共14分)
已知A、B、C是椭圆W： 上的三个点，O是坐标原点.
(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.
(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.
20. (本小题共13分)
已知{a}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A ，第n项之后各项 ，
n n
…的最小值记为B，d=A－B
n n n n
(I)若{a}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*， )，写出
n
d，d，d，d 的值；
1 2 3 4
(II)设d为非负整数，证明：d=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{a}为公差为d的等差数列；
n n
(III)证明：若a=2，d=1(n=1,2,3…)，则{a}的项只能是1或2，且有无穷多项为1
1 n n要使可行域存在，必有m<－2m+1，要求可行域内包含直
线 上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线 上方，且(-m，m)在直线
下方，解不等式组 得m＜
