文档内容
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ
卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用
条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷
和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮
擦干净后, 再选凃其他答案标号.
1.本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.
参考公式:
·如果事件A, B互斥, 那么
P(AB)P(A)P(B)
·棱柱的体积公式V=Sh，
其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱
柱的高.
·如果事件A, B相互独立, 那么
P(AB)P(A)P(B)
4
·球的体积公式V R3.
3
其中R表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则AB
(A) (,2] (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]
(2) 设变量x,
y满足约束条件3x y60,
则目标函数 z
x y20,
y30,
= y－2x的最小值为
(A) －7 (B) －4
(C) 1 (D) 2
(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值
为1, 则输出S的值为
(A) 64 (B) 73
(C) 512 (D) 585
(4) 已知下列三个命题:
1
①若一个球的半径缩小到原来的 , 则其体积缩小到原来
2
1
的 ;
8
②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
1
③直线x + y + 1 = 0与圆x2 y2 相切.
2
其中真命题的序号是:
(A) ①②③ (B) ①②
(C) ①③ (D) ②③
x2 y2
(5) 已知双曲线 1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2 2px(p0)的准线分别交于
a2 b2
A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为 , 则p =
3
3
(A) 1 (B) (C) 2 (D) 3
2
(6) 在△ABC中, ABC ,AB 2,BC 3,则sinBAC =
4
10 10 3 10 5
(A) (B) (C) (D)
10 5 10 5
(7) 函数 的零点个数为
f(x)2x |log x|1
0.5
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
1 1
(8) 已知函数 f(x)x(1a|x|). 设关于x的不等式 f(xa) f(x) 的解集为A, 若 , A,
2 2
则实数a的取值范围是(A) 1 5 (B) 1 3
,0 ,0
2 2
(C) 1 5 1 3 (D) 1 5
,00, ,
2 2 2
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2. 本卷共12小题, 共110分.
二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.
(9) 已知a, b∈R, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = .
6
(10) 1 的二项展开式中的常数项为 .
x
x
(11) 已知圆的极坐标方程为4cos, 圆心为C, 点P的极坐标为4, , 则|CP| = .
3
(12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, BAD60, E为CD的中点.
若 · ＝1, 则AB的长为 .
(13) 如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点
A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB =
AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为 .
1 |a|
(14) 设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, 取得最小值.
2|a| b
三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分13分)
已知函数 f(x) 2sin2x 6sinxcosx2cos2x1,xR.
4
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ) 求f(x)在区间 0, 上的最大值和最小值.
2(16) (本小题满分13分)
一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别
为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.
(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.
(17) (本小题满分13分)
如图, 四棱柱 ABCD－ABC D 中, 侧棱 AA⊥底面
1 1 1 1 1
ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA = AB = 2, E
1
为棱AA 的中点.
1
(Ⅰ) 证明BC ⊥CE;
1 1
(Ⅱ) 求二面角B－CE－C 的正弦值.
1 1
(Ⅲ) 设点M在线段C E上, 且直线AM与平面ADD A
1 1 1
2
所成角的正弦值为 , 求线段AM的长.
6
(18) (本小题满分13分)
x2 y2 3
设椭圆 1(ab0)的左焦点为F, 离心率为 , 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截
a2 b2 3
4 3
得的线段长为 .
3
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若
, 求k的值.
AC·DB AD·CB8
(19) (本小题满分14分)
3
已知首项为 的等比数列{a }不是递减数列, 其前n项和为S (nN*), 且S + a, S + a, S +
2 n n 3 3 5 5 4
a 成等差数列.
4
(Ⅰ) 求数列 的通项公式;
{a }
n
1
(Ⅱ) 设T S (nN*), 求数列{T }的最大项的值与最小项的值.
n n S n
n
(20) (本小题满分14分)
已知函数 .
f(x)x2lnx
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使t f(s).
(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为sg(t), 证明: 当t>e2时, 有
2 lng(t) 1
.
5 lnt 22013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(天津卷)
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
答案：D
解析：解不等式|x|≤2，得－2≤x≤2，所以 A＝{x|－2≤x≤2}，所以 A∩B＝{x|－
2≤x≤1}．故选D.
2．
答案：A
解析：作约束条件 所表示的可行区域，
如图所示，z＝y－2x可化为y＝2x＋z，z表示直线在y
轴上的截距，截距越大z越大，作直线l：y＝2x，平
0
移l过点A(5,3)，此时z最小为－7，故选A.
0
3．
答案：B
解析：由程序框图，得x＝1时，S＝1；x＝2时，S＝
9；x＝4时，S＝9＋64＝73，结束循环输出S的值为
73，故选B.
4．
答案：C
解 析 ： 设 球 半 径 为 R， 缩 小 后 半 径 为 r， 则 r＝ ， 而 V＝ ，V′ ＝
，所以该球体积缩小到原来的 ，故①为真命题；两组数据
的平均数相等，它们的方差可能不相等，故②为假命题；圆x2＋y2＝ 的圆心到直线x＋y＋
1＝0的距离d＝ ，因为该距离等于圆的半径，所以直线与圆相切，故③为真命题．
故选C.
5．
答案：C
解析：设A点坐标为(x，y)，则由题意，得S ＝|x|·|y|＝ .抛物线y2＝2px的准线
0 0 △AOB 0 0
为 ，所以 ，代入双曲线的渐近线的方程 ，得|y|＝ .由
0得b＝ ，所以|y|＝ .所以S ＝ ，解得p＝2或p＝－
0 △AOB
2(舍去)．
6．
答案：C
解析：在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝
＝5，即得AC＝ .由正弦定理 ，即 ，所以
sin∠BAC＝ .
7．
答案：B
解析：函数f(x)＝2x|log x|－1的零点也就是方程2x|log x|－1＝0的根，即2x|log x|＝
0.5 0.5 0.5
1，整理得|log x|＝ .令g(x)＝|log x|，h(x)＝ ，
0.5 0.5
作g(x)，h(x)的图象如图所示．因为两个函数图象有两个交点，
所以f(x)有两个零点．
8．
答案：A
解析：f(x)＝x(1＋a|x|)＝
若不等式f(x＋a)＜f(x)的解集为A，且 ，
则在区间 上，函数y＝f(x＋a)的图象应在函数y＝f(x)的图
象的下边．
(1)当a＝0时，显然不符合条件．
(2)当a＞0时，画出函数y＝f(x)和y＝f(x＋a)的图象大致如图．
由图可知，当a＞0时，y＝f(x＋a)的图象在y＝f(x)图象的上边，故a
＞0不符合条件．
(3)当a＜0时，画出函数y＝f(x)和y＝f(x＋a)的图象大致如图．
由图可知，若f(x＋a)＜f(x)的解集为A，且
，
只需 即可，
则 有 (a＜
0)，整理，得a2－a－1＜0，解得 .
∵a＜0，∴a∈ .
综上，可得a的取值范围是 .
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共12小题，共110分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．答案：1＋2i
解析：由(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，得 解方程组，得a＝1，b＝2，则a
＋bi＝1＋2i.
10．答案：15
解析：二项展开式的通项为 ， 得r＝4，所
以二项展开式的常数项为T＝(－1)4 ＝15.
5
11．答案：
解析：由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C的直角坐标为(2,0)，点P的直角坐标为
(2, )，所以|CP|＝ .
12．答案：
解析：如图所示，在平行四边形ABCD中， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝
＋ .
所以 · ＝( ＋ )· ＝ | |2＋| |2＋ · ＝
| |2＋ | |＋1＝1，解方程得| |＝ (舍去| |＝0)，所以线段AB的长为
.
13．
答案：
解析：∵AE为圆的切线，
∴由切割线定理，得AE2＝EB·ED.
又AE＝6，BD＝5，可解得EB＝4.
∵∠EAB为弦切角，且AB＝AC，
∴∠EAB＝∠ACB＝∠ABC.
∴EA∥BC.又BD∥AC，
∴四边形EBCA为平行四边形．
∴BC＝AE＝6，AC＝EB＝4.由BD∥AC，得△ACF∽△DBF，
∴ .
又CF＋BF＝BC＝6，∴CF＝ .
14．答案：－2
解析：因为a＋b＝2，所以
1＝ ＝
≥ ，
当a＞0时， ， ；
当a＜0时， ， ，当且仅当b＝2|a|时等号成立．
因为b＞0，所以原式取最小值时b＝－2a.
又a＋b＝2，所以a＝－2时，原式取得最小值．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．
解：(1)f(x)＝ sin 2x· ＋3sin 2x－cos 2x
＝2sin 2x－2cos 2x＝ .
所以，f(x)的最小正周期T＝ ＝π.
(2)因为f(x)在区间 上是增函数，在区间 上是减函数．又f(0)＝－2，
， ，故函数f(x)在区间 上的最大值为 ，最小值为－
2.
16．
解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则
P(A)＝ .
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为 .
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝ ， P(X＝2)＝ ， P(X＝3)＝ ， P(X＝4)＝ .
所以随机变量X的分布列是
X 1 2 3 4
P随机变量X的数学期望EX＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ .
17．
解：(方法一)
(1)证明：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得
A(0,0,0) ， B(0,0,2) ， C(1,0,1) ， B(0,2,2) ， C(1,2,1) ，
1 1
E(0,1,0)．
易得 ＝(1,0，－1)， ＝(－1,1，－1)，于是 · ＝
0，
所以BC⊥CE.
1 1
(2) ＝(1，－2，－1)．
设平面BCE的法向量m＝(x，y，z)，
1
则 即
消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．
由(1)，BC⊥CE，又CC⊥BC，可得BC⊥平面CEC，
1 1 1 1 1 1 1 1
故 ＝(1,0，－1)为平面CEC的一个法向量．
1
于是cos〈m， 〉＝ ，
从而sin〈m， 〉＝ .
所以二面角B－CE－C的正弦值为 .
1 1
(3) ＝(0,1,0)， ＝(1,1,1)．
设 ＝λ ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有 ＝ ＋ ＝(λ，λ＋1，λ)．
可取 ＝(0,0,2)为平面ADDA的一个法向量．
1 1
设θ为直线AM与平面ADDA所成的角，则
1 1
sin θ＝|cos〈 ， 〉|＝
＝ .
于是 ，解得 ，
所以AM＝ .
(方法二)
(1)证明：因为侧棱CC⊥底面ABCD，BC 平面ABCD，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以CC⊥BC.
1 1 1
经计算可得BE＝ ，BC＝ ，EC＝ ，
1 1 1 1
从而BE2＝ ，
1
所以在△BEC中，BC⊥CE，
1 1 1 1 1
又CC，CE 平面CCE，CC∩CE＝C，
1 1 1 1 1 1所以BC⊥平面CCE，
1 1 1
又CE 平面CCE，故BC⊥CE.
1 1 1
(2)过B作BG⊥CE于点G，连接CG.
1 1 1
由(1)，BC⊥CE，故CE⊥平面BCG，得CE⊥CG，
1 1 1 1 1
所以∠BGC为二面角B－CE－C的平面角．
1 1 1 1
在△CCE中，由CE＝CE＝ ，CC＝2，可得CG＝ .
1 1 1 1
在Rt△BCG中，BG＝ ，
1 1 1
所以sin∠BGC＝ ，
1 1
即二面角B－CE－C的正弦值为 .
1 1
(3)连接DE，过点M作MH⊥ED于点H，可得MH⊥平面ADDA，连接AH，AM，则∠MAH为直线
1 1 1 1
AM与平面ADDA所成的角．
1 1
设AM＝x，从而在Rt△AHM中，有MH＝ ，AH＝ .
在Rt△CDE中，CD＝1，ED＝ ，得EH＝ .
1 1 1 1 1
在△AEH中，∠AEH＝135°，AE＝1，
由AH2＝AE2＋EH2－2AE·EHcos 135°，得 ，
整理得5x2－ －6＝0，解得x＝ .
所以线段AM的长为 .
18．
解：(1)设F(－c,0)，由 ，知 .过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入
椭圆方程有 ，
解得 ，于是 ，解得 ，
又a2－c2＝b2，从而a＝ ，c＝1，
所以椭圆的方程为 .
(2)设点C(x，y)，D(x，y)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
1 1 2 2
由方程组 消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
求解可得x＋x＝ ，xx＝ .
1 2 1 2
因为A( ，0)，B( ，0)，
所以 · ＋ ·
＝(x＋ ，y)·( －x，－y)＋(x＋ ，y)·( －x，－y)
1 1 2 2 2 2 1 1＝6－2xx－2yy＝6－2xx－2k2(x＋1)(x＋1)
1 2 1 2 1 2 1 2
＝6－(2＋2k2)xx－2k2(x＋x)－2k2
1 2 1 2
＝ .
由已知得 ＝8，解得k＝ .
19．
解：(1)设等比数列{a}的公比为q，
n
因为S＋a，S＋a，S＋a成等差数列，
3 3 5 5 4 4
所以S＋a－S－a＝S＋a－S－a，
5 5 3 3 4 4 5 5
即4a＝a，于是 .
5 3
又{a}不是递减数列且 ，所以 .
n
故等比数列{a}的通项公式为 .
n
(2)由(1)得
当n为奇数时，S随n的增大而减小，所以1＜S≤S＝ ，
n n 1
故 .
当n为偶数时，S随n的增大而增大，所以 ＝S≤S＜1，
n 2 n
故 .
综上，对于n∈N*，总有 .
所以数列{T}最大项的值为 ，最小项的值为 .
n
20．
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)，令f′(x)＝0，得 .
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x) － 0 ＋
f(x) 极小值
所以函数f(x)的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
(2)证明：当0＜x≤1时，f(x)≤0.设t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．
由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．
h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tln et－t＝t(e2t－1)＞0.
故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．
(3)证明：因为s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，从而
，
其中u＝ln s.
要使 成立，只需 .
当t＞e2时，若s＝g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．
所以s＞e，即u＞1，从而ln u＞0成立．
另一方面，令F(u)＝ ，u＞1.F′(u)＝ ，令F′(u)＝0，得u＝2.
当1＜u＜2时，F′(u)＞0；当u＞2时，F′(u)＜0.
故对u＞1，F(u)≤F(2)＜0.
因此 成立．
综上，当t＞e2时，有 .
