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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，
考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
第Ⅰ卷
一、选择题 （本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 是虚数单位，复数
A. B. C. D.
2.设变量 、 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为
A. B. C. D.
3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为
A.15 B.105 C.245 D.945
4.函数 的单调递增区间为
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.已知双曲线 ， 的一条渐近线平行于直线 ： ，双曲
线的一个焦点在直线 上，则双曲线的方程为
x2 y2 x2 y2
A. 1 B. 1
5 20 20 5
3x2 3y2 3x2 3y2
C. 1 D. 1
25 100 100 25
6.如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点 ，交 于点 ，过点的圆的切线与 的延长线交于点 ，在上述条件下，给出下列四个结论：① 平分
CBF ；② ；③ ；④ .则所有正确结论的
序号是
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④
7.设 、 ，则“ ”是“ ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点 、 分别在边 、 上，
， .若 ， ，则
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从
该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、
三年级、四年级的本科生人数之比为 ，则应从一年级本科生中抽取 名学生.
10.一个几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积为 .
11.设 是首项为a ，公差为1的等差数列，S 为其
1 n
前 项和，若 、 、 成等比数列，则 的值为 .
12.在 中，内角 、 、 所对的边分别是 、 、
.已知 ， ，则 的值为
.
13.在以 为极点的极坐标系中，圆 和直线
相交于 、 两点.若 是等边三角形，
则 的值为 .
14.已知函数 ， .若方程
恰有4个互异的实数根，则实数 的
取值范围为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知函数 ， .
⑴求 的最小正周期；
⑵求 在闭区间 ， 上的最大值和最小值.
16.（本小题满分13分）
某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，
其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3
名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
⑴求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
⑵设 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量 的分布列和数学期望.
17.（本小题满分13分）
如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， ，点 为棱 的中点.
⑴证明： ；
⑵求直线 与平面 所成角的正弦值；
⑶若 为棱 上一点，满足 ，求二面角 的余弦值.
18.（本小题满分13分）
设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，右顶点为 ，上顶点为 .已知 .
⑴求椭圆的离心率；
⑵设 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 为直径的圆经过点 ，经过原点 的直线
与该圆相切，求直线 的斜率.
19.（本小题满分14分）
已知 和 均为给定的大于1的自然数，设集合 ， ， ，...， ，集合
... ， ， ， ，...， .
⑴当 ， 时，用列举法表示集合 ；
⑵设 、 ， ... ， ... ，其中 、 ，
， ，...， .证明：若a b ，则 .
n n
20.（本小题满分14分）
设 ， .已知函数 有两个零点 ， ，且 .
⑴求 的取值范围；
⑵证明 随着 的减小而增大；
⑶证明 随着 的减小而增大.
