文档内容
2015年江苏省高考数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的
个数为 ．
2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为
．
3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为
．
4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ．
5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2
只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．
6．（5分）（2015•江苏）已知向量 =（2，1）， =（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）
（m，n R），则m﹣n的值为 ．
∈
7．（5分）（2015•江苏）不等式2 ＜4的解集为 ．
8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）= ，则tanβ的值为 ．
9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为
2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的
新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ．
10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx
﹣y﹣2m﹣1=0（m R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．
∈
11．（5分）（2015•江苏）设数列{a }满足a =1，且a ﹣a =n+1（n N*），则数列{ }
n 1 n+1 n
的前10项的和为 ． ∈12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个
动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为 ．
13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）= ，则方
程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为 ．
14．（5分）（2015•江苏）设向量 =（cos ，sin +cos ）（k=0，1，2，…，
12），则 （a •a ）的值为 ．
k k+1
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）
15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．
16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，已知AC⊥BC，
BC=CC ，设AB 的中点为D，B C∩BC =E．
1 1 1 1
求证：
（1）DE∥平面AA
1
C
1
C；
（2）BC 1⊥AB
1
．
17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区
的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公
路为l ，l ，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，
1 2
测得点M到l ，l 的距离分别为5千米和40千米，点N到l ，l 的距离分别为20千米和
1 2 1 2
2.5千米，以l ，l 在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函
2 1
数y= （其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．
①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 + =1（a＞b
＞0）的离心率为 ，且右焦点F到左准线l的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点
P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．
19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b R）．
（1）试讨论f（x）的单调性；
∈
（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取
值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1， ）∪（ ，+∞），求c的值．
20．（16分）（2015•江苏）设a ，a ，a ．a 是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．
1 2 3 4
（1）证明： 依次构成等比数列；
（2）是否存在 ，使得 依次构成等比数列？并说明理由；
（3）是否存在 及正整数 ，使得 依次构成等比数列？并说
明理由。三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定
其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】
21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE
交BC于点D．
求证：△ABD∽△AEB．
【选修4-2：矩阵与变换】
22．（10分）（2015•江苏）已知x，y R，向量 = 是矩阵 的属于特征值﹣2
的一个特征向量，求矩阵A以及它的另∈一个特征值．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2 ρsin（θ﹣ ）﹣4=0，求圆C的半径．
[选修4-5：不等式选讲】
24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．
【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤
25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边
形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD= ，PA=AD=2，AB=BC=1．
（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y ={1，2，3，…，n）（n N*），
n
设S ={（a，b）|a整除b或整除a，a X，B Y }，令f（n）表示集合S 所含元素的个数．
n n n
∈
（1）写出f（6）的值；
∈ ∈
（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．
2015 年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1．（5分）
考 并集及其运算．
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点：
专 集合．
题：
分 求出A∪B，再明确元素个数
析：
解 解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；
答： 所以A∪B中元素的个数为5；
故答案为：5
点 题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题
评：
2．（5分）
考 众数、中位数、平均数．
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点：
专 概率与统计．
题：
分 直接求解数据的平均数即可．
析：
解 解：数据4，6，5，8，7，6，
答：
那么这组数据的平均数为： =6．
故答案为：6．
点 本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．
评：
3．（5分）
考 复数求模．
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点：
专 数系的扩充和复数．
题：
分 直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．
析：
解 解：复数z满足z2=3+4i，
答：
可得|z||z|=|3+4i|= =5，
∴|z|= ．故答案为： ．
点 本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．
评：
4．（5分）
考 伪代码．
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点：
专 图表型；算法和程序框图．
题：
分 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜
析： 8，退出循环，输出S的值为7．
解 解：模拟执行程序，可得
答： S=1，I=1
满足条件I＜8，S=3，I=4
满足条件I＜8，S=5，I=7
满足条件I＜8，S=7，I=10
不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．
故答案为：7．
点 本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基
评： 础题．
5．（5分）
考 古典概型及其概率计算公式．
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点：
专 概率与统计．
题：
分 根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即
析： 可．
解 解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C 、C ，则
1 2
答： 一次取出2只球，基本事件为AB、AC 、AC 、BC 、BC 、C C 共6种，
1 2 1 2 1 2
其中2只球的颜色不同的是AB、AC 、AC 、BC 、BC 共5种；
1 2 1 2
所以所求的概率是P= ．
故答案为： ．
点 本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．
评：
6．（5分）
考 平面向量的基本定理及其意义．
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点：
专 平面向量及应用．
题：
分 直接利用向量的坐标运算，求解即可．
析：
解 解：向量 =（2，1）， =（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）
答：
可得 ，解得m=2，n=5，
∴m﹣n=﹣3．
故答案为：﹣3．
点 本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．
评：
7．（5分）
考 指、对数不等式的解法．
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点：专 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
题：
分 利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．
析：
解
解；∵2 ＜4，
答：
∴x2﹣x＜2，
即x2﹣x﹣2＜0，
解得：﹣1＜x＜2
故答案为：（﹣1，2）
点 本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不
评： 大．
8．（5分）
考 两角和与差的正切函数．
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点：
专 三角函数的求值．
题：
分 直接利用两角和的正切函数，求解即可．
析：
解
解：tanα=﹣2，tan（α+β）= ，
答：
可知tan（α+β）= = ，
即 = ，
解得tanβ=3．
故答案为：3．
点 本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．
评：
9．（5分）
考 棱柱、棱锥、棱台的体积．
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点：
专 计算题；空间位置关系与距离．
题：
分 由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，
析： 由前后体积相等列式求得r．
解
解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为： ．
答：
设新圆锥和圆柱的底面半径为r，
则新圆锥和圆柱的体积和为： ．
∴ ，解得： ．
故答案为： ．
点 本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．
评：
10．（5分）
考 圆的标准方程；圆的切线方程．
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点：
专 计算题；直线与圆．
题：
分 求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．
析：解
答： 解：圆心到直线的距离d= = ≤ ，
∴m=1时，圆的半径最大为 ，
∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．
故答案为：（x﹣1）2+y2=2．
点 本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较
评： 基础．
11．（5分）
考 数列的求和；数列递推式．
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点：
专 等差数列与等比数列．
题：
分
析：
数列{a
n
}满足a
1
=1，且a
n+1
﹣a
n
=n+1（n N*），利用“累加求和”可得a
n
=
．再利用“裂项求和”即可得出．
∈
解 解：∵数列{a }满足a =1，且a ﹣a =n+1（n N*），
n 1 n+1 n
答：
∴当n≥2时，a
n
=（a
n
﹣a
n﹣1
）+…+（a
2
﹣a
1
）+∈a
1
=+n+…+2+1= ．
当n=1时，上式也成立，
∴a = ．
n
∴ =2 ．
∴数列{ }的前n项的和S =
n
=
= ．
∴数列{ }的前10项的和为 ．
故答案为： ．
点 本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公
评： 式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）
考 双曲线的简单性质．
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点：
专 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
题：
分 双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0
析： 的距离．
解 解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，
答： 因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，
所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即 ．
故答案为： ．
点 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
评：13．（5分）
考 根的存在性及根的个数判断．
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点：
专 综合题；函数的性质及应用．
题：
分 ：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结
析： 论．
解 解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．
答： g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；
g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；
所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．
故答案为：4．
点 本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学
评： 生分析解决问题的能力，属于中档题．
14．（5分）
考点： 数列的求和．
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专题： 等差数列与等比数列；平面向量及应用．
分析： 利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周
期性即可得出．
解答：
解： = +
= + + +
+= + +
= + + ，
∴ （a •a ）= + + + + +
k k+1
+ +…+ + + + +
+ +…+
= +0+0
= ．
故答案为：9 ．
点评： 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函
数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）
15．（14分）
考 余弦定理的应用；二倍角的正弦．
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点：
专 解三角形．
题：
分 （1）直接利用余弦定理求解即可．
析： （2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．
解
解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3× =7，
答：
所以BC= ．
（2）由正弦定理可得： ，则sinC= = = ，
∵AB＜BC，∴C为锐角，
则cosC= = = ．
因此sin2C=2sinCcosC=2× = ．
点 本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的
评： 解题的关键．
16．（14分）
考 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．
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点：
专 证明题；空间位置关系与距离．
题：
分 （1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA
1
C
1
C；
析： （2）先由直三棱柱得出CC 1⊥平面ABC，即证AC⊥CC
1
；再证明AC⊥平面BCC
1
B
1
，
即证BC 1⊥AC；最后证明BC 1⊥平面B
1
AC，即可证出BC 1⊥AB
1
．
解 证明：（1）根据题意，得；
答： E为B
1
C的中点，D为AB
1
的中点，所以DE∥AC；
又因为DE 平面AA C C，AC 平面AA C C，
1 1 1 1
⊄ ⊂所以DE∥平面AA
1
C
1
C；
（2）因为棱柱ABC﹣A B C 是直三棱柱，
1 1 1
所以CC 1⊥平面ABC，
因为AC 平面ABC，
所以AC⊥CC
1
；
又因为A ⊂ C⊥BC，
CC 平面BCC B ，
1 1 1
BC 平面BCC B ，
1 1
⊂
BC∩CC =C，
1
⊂
所以AC⊥平面BCC
1
B
1
；
又因为BC 平面平面BCC B ，
1 1 1
所以BC 1⊥AC；
⊂
因为BC=CC ，所以矩形BCC B 是正方形，
1 1 1
所以BC 1⊥平面B
1
AC；
又因为AB 平面B AC，
1 1
所以BC 1⊥AB
1
．
⊂
点 本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象
评： 能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．
17．（14分）
考 函数与方程的综合运用．
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点：
专 综合题；导数的综合应用．
题：
分 （1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=
析：
，建立方程组，即可求a，b的值；
（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f
（t），并写出其定义域；
②设g（t）= ，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l
的长度最短，并求出最短长度．
解 解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），
答：
将其分别代入y= ，得 ，
解得 ，
（2）①由（1）y= （5≤x≤20），P（t， ），
∴y′=﹣ ，
∴切线l的方程为y﹣ =﹣ （x﹣t）
设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（ ，0），B（0， ），
∴f（t）= = ，t [5，20 ；
∈ ]②设g（t）= ，则g′（t）=2t﹣ =0，解得t=10 ，
t （5，10 ）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t （10 ，20）时，g′（t）＞
0，g（t）是增函数，
从∈而t=10 时，函数g（t）有极小值也是最小值，∈
∴g（t） =300，
min
∴f（t） =15 ，
min
答：t=10 时，公路l的长度最短，最短长度为15 千米．
点 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，
评： 正确求导是关键．
18．（16分）
考 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
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点：
专 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
题：
分 （1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关
析： 系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达
定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方
程．
解
解：（1）由题意可得，e= = ，
答：
且c+ =3，解得c=1，a= ，
则b=1，即有椭圆方程为 +y2=1；
（2）当AB⊥x轴，AB= ，CP=3，不合题意；
当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，
则x +x = ，x x = ，
1 2 1 2
则C（ ， ），且|AB|= • =
，
若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；
则k≠0，故PC：y+ =﹣ （x﹣ ），P（﹣2， ），
从而|PC|= ，
由|PC|=2|AB|，可得 = ，解得k=±1，
此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．
点 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方
评： 程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于
中档题．
19．（16分）考 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．
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点：
专 综合题；导数的综合应用．
题：
分 （1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；
析：
（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣ ）= +b，则函
数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣ ）=b（ +b）＜0，进一步转
化为a＞0时， ﹣a+c＞0或a＜0时， ﹣a+c＜0．设g（a）= ﹣
a+c，利用条件即可求c的值．
解 解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，
答： ∴f′（x）=3x2+2ax，
令f′（x）=0，可得x=0或﹣ ．
a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
a＞0时，x （﹣∞，﹣ ）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x （﹣ ，0）时，f′
（x）＜0，
∈ ∈
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣ ），（0，+∞）上单调递增，在（﹣ ，0）上单调
递减；
a＜0时，x （﹣∞，0）∪（﹣ ，+∞）时，f′（x）＞0，x （0，﹣ ）时，f′
（x）＜0，
∈ ∈
∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣ ，+∞）上单调递增，在（0，﹣ ）上单调
递减；
（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣ ）= +b，则函
数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣ ）=b（ +b）＜0，
∵b=c﹣a，
∴a＞0时， ﹣a+c＞0或a＜0时， ﹣a+c＜0．
设g（a）= ﹣a+c，
∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，
）∪（ ，+∞），
∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1， ）∪（ ，+∞）上g（a）＞0均恒成
立，
∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（ ）=c﹣1≥0，
∴c=1，
此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a ，
∵函数有三个零点，
∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根， ]
∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a （﹣∞，﹣3）∪（1， ）∪（ ，+∞），
综上c=1．
∈
点 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨
评： 论的数学思想，难度大．
20．（16分）
考 等比关系的确定；等比数列的性质．
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点：
专 等差数列与等比数列．
题：
分 （1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；
析： （2）利用反证法，假设存在a ，d使得a ，a 2，a 3，a 4依次构成等比数列，推出矛
1 1 2 3 4
盾，否定假设，得到结论；
（3）利用反证法，假设存在a ，d及正整数n，k，使得a n，a n+k，a n+2k，a n+3k依
1 1 2 3 4
次构成等比数列，得到a n（a +2d）n+2k=（a +2d）2（n+k），且（a +d）n+k（a +3d）
1 1 1 1 1
n+3k=（a +2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）
1
+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，
利用零点存在定理，推出假设不成立．
解
答： 解：（1）证明：∵ = =2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，
∴2 ，2 ，2 ，2 依次构成等比数列；
（2）令a +d=a，则a ，a ，a ，a 分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，
1 1 2 3 4
d≠0）
假设存在a ，d使得a ，a 2，a 3，a 4依次构成等比数列，
1 1 2 3 4
则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，
令t= ，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣ ＜t＜1，t≠0），
化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，
t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣ ，
显然t=﹣ 不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在a ，d，使得a ，a 2，a 3，a 4依次构成等比数列．
1 1 2 3 4
（3）假设存在a ，d及正整数n，k，使得a n，a n+k，a n+2k，a n+3k依次构成等比数
1 1 2 3 4
列，
则a n（a +2d）n+2k=（a +2d）2（n+k），且（a +d）n+k（a +3d）n+3k=（a +2d）2
1 1 1 1 1 1
（n+2k），
分别在两个等式的两边同除以=a 2（n+k），a 2（n+2k），并令t= ，（t＞ ，
1 1
t≠0），
则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），
将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），
且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），
化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t） =n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t） ，
且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t） =n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t） ，
再将这两式相除，化简得， ] ]
ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1]+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）]ln（1+t），（**）
令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）= [（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln
（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t） ，
令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），
则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3 ] t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t） ，
令φ （t）=φ′（t），则φ ′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t） ，
1 1
]
令φ
2
（t）=φ
1
′（t），则φ
2
′（t）= ＞0，
]
由g（0）=φ（0）=φ （0）=φ （0）=0，φ ′（t）＞0，
1 2 2
知g（t），φ（t），φ （t），φ （t）在（﹣ ，0）和（0，+∞）上均单调，
1 2
故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，
所以不存在a ，d及正整数n，k，使得a n，a n+k，a n+2k，a n+3k依次构成等比数列．
1 1 2 3 4
点 本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代
评： 数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定
其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】
21．（10分）
考 相似三角形的判定．
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点：
专 推理和证明．
题：
分 直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．
析：
解 证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共
答： 角，
可知：△ABD∽△AEB．
点 本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．
评：
【选修4-2：矩阵与变换】
22．（10分）
考 特征值与特征向量的计算．
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点：
专 矩阵和变换．
题：
分
析： 利用A =﹣2 ，可得A= ，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．
解
答： 解：由已知，可得A =﹣2 ，即 = = ，
则 ，即 ，
∴矩阵A= ，
从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），
∴矩阵A的另一个特征值为1．
点 本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．
评：【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．（2015•江苏）
考 简单曲线的极坐标方程．
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点：
专 计算题；坐标系和参数方程．
题：
分 先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．
析：
解
解：圆的极坐标方程为ρ2+2 ρsin（θ﹣ ）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣
答：
4=0，
化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，
化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，
圆的半径r= ．
点 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，
评： 关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，
[选修4-5：不等式选讲】
24．（2015•江苏）
考 绝对值不等式的解法．
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点：
专 不等式．
题：
分 思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；
析：
思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥ ”“x＜ ”进行讨论求解．
解 解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，
答： 得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），
即x≥ ，或x≤﹣5，
即原不等式的解集为{x|x≥ ，或x≤﹣5}．
解法2：令|2x+3|=0，得x= ．
①当x≥ 时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥ ，
所以x≥ ；
②x＜ 时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，
所以x≤﹣5．
综上，原不等式的解集为{x|x≥ ，或x≤﹣5}．
点 本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用
评： 哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一
些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|
≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．
使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．
【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤
25．（10分）（考 二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．
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点：
专 空间位置关系与距离；空间角．
题：
分 以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．
析： （1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝
对值，计算即可；
（2）利用换元法可得cos2＜ ， ＞≤ ，结合函数y=cosx在（0， ）上的单
调性，计算即得结论．
解 解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如
答： 图，
由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
（1）∵AD⊥平面PAB，∴ =（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，
∵ =（1，1，﹣2）， =（0，2，﹣2），
设平面PCD的法向量为 =（x，y，z），
由 ，得 ，
取y=1，得 =（1，1，1），
∴cos＜ ， ＞= = ，
∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为 ；
（2）∵ =（﹣1，0，2），设 =λ =（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），
又 =（0，﹣1，0），则 = + =（﹣λ，﹣1，2λ），
又 =（0，﹣2，2），从而cos＜ ， ＞= = ，
设1+2λ=t，t [1，3 ，
∈ ]
则cos2＜ ， ＞= = ≤ ，
当且仅当t= ，即λ= 时，|cos＜ ， ＞|的最大值为 ，
因为y=cosx在（0， ）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．
又∵BP= = ，∴BQ= BP= ．
点 本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法
评： 的积累，属于中档题．
26．（10分）
考 数学归纳法．
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专 综合题；点列、递归数列与数学归纳法．
题：
分
（1）f（6）=6+2+ + =13；
析：
（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．
解
解：（1）f（6）=6+2+ + =13；
答：
（2）当n≥6时，f（n）= ．
下面用数学归纳法证明：
①n=6时，f（6）=6+2+ + =13，结论成立；
②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S 在S 的基础上新增加的元素
k+1 k
在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：
1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2+ +
，结论成立；
2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+ + +1=（k+1）+2+
+ ，结论成立；
3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+ + +2=
（k+1）+2+ + ，结论成立；
4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+ + +2=
（k+1）+2+ + ，结论成立；
5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+ + +2=
（k+1）+2+ + ，结论成立；
6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+ + +2=
（k+1）+2+ + ，结论成立．
综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点 本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．
评：
