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2017 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试
结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知 ，集合 ，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）若复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（3）执行如图所示的程序框图，输出的 值为（A）2 （B）
（C） （D）
（4）若 满足 则 的最大值为
（A）1 （B）3
（C）5 （D）9
（5）已知函数 ，则
（A）是偶函数，且在R上是增函数
（B）是奇函数，且在R上是增函数
（C）是偶函数，且在R上是减函数
（D）是奇函数，且在R上是增函数
（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
（A）60 （B）30
（C）20 （D）10
（7）设m, n为非零向量，则“存在负数 ，使得m=λn”是“m·n<0”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为
1080．则下列各数中与 最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033 （B）1053
（C）1073 （D）1093
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在平面直角坐标系xOy中，角 与角 均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin = ，则
sin =_________．
（10）若双曲线 的离心率为 ，则实数m=__________．
（11）已知 ， ，且x+y=1，则 的取值范围是__________．
（12）已知点P在圆 上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则 的最大值为_________．
（13）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为
______________________________．
（14）某学习小组由学生和学科网&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
（ⅱ）女学生人数多于教师人数；
（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．
②该小组人数的最小值为__________．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）已知等差数列 和等比数列 满足a=b=1,a+a=10,bb=a．
1 1 2 4 2 4 5
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求和： ．
（16）（本小题13分）
已知函数 .
（I）求f(x)的最小正周期；
（II）求证：当 时， ．
（17）（本小题13分）
某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽
取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下
频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数学.科网不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估
计总体中男生和女生人数的比例．
（18）（本小题14分）如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为
线段PC上一点．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．
（19）（本小题14分）
已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点
E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．
（20）（本小题13分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值和最小值．2017 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）答案
一、
（1）C （2）B （3）C （4）D
（5）B （6）D （7）A （8）D
二、
（9） （10）2
（11） （12）6
（13） （答案不唯一） （14）6 12
三、
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列{a}的公差为d.
n因为a+a=10，所以2a+4d=10.
2 4 1
解得d=2.
所以a=2n−1.
n
（Ⅱ）设等比数列的公比为q.
因为bb=a，所以bqbq3=9.
2 4 5 1 1
解得q2=3.
所以 .
从而 .
（16）（共13分）
解：（Ⅰ） .
所以 的最小正周期 .
（Ⅱ）因为 ，
所以 .
所以 .
所以当 时， .
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70的频率为 ，所以样本
中分数小于70的频率为 .
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于 50 的频率为 ，分数在区间
内的人数为 .
所以总体中分数在区间 内的人数估计为 .（Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为 ，
所以样本中分数不小于70的男生人数为 .
所以样本中的男生人数为 ，女生人数为 ，男生和女生人数的比例为
.
所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为 .
（18）（共14分）
解：（I）因为 ， ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
（II）因为 ， 为 中点，所以 ，
由（I）知， ，所以 平面 .
所以平面 平面 .
（III）因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 .
因为 为 的中点，所以 ， .
由（I）知， 平面 ，所以 平面 .
所以三棱锥 的体积 .
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）设椭圆 的方程为 .由题意得 解得 .
所以 .
所以椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）设 ，则 .
由题设知 ，且 .
直线 的斜率 ，故直线 的斜率 .
所以直线 的方程为 .
直线 的方程为 .
联立 解得点 的纵坐标 .
由点 在椭圆 上，得 .
所以 .
又 ，
，
所以 与 的面积之比为 .
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）因为 ，所以 .又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（Ⅱ）设 ，则 .
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减.
所以对任意 有 ，即 .
所以函数 在区间 上单调递减.
因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
