专题1-4一文搞定反比例函数7个模型，13类题型（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料_教师版（含答案解析）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 1-4 一文搞定反比例函数 7 个模型，13 类题型 知识点梳理.......................................................................................................................................... 题型一 |k|模型................................................................................................................................................... 题型二 面积模型................................................................................................................................................ 题型三 垂直模型................................................................................................................................................ 题型四 比例端点模型........................................................................................................................................ 题型五 矩形模型（平行，比例性质）............................................................................................................ 题型六 等线段模型............................................................................................................................................ 题型七 等角模型................................................................................................................................................ 题型八 反比例函数中的设而不求法.............................................................................................................. 题型九 反比例函数与相似相似三角形结合.................................................................................................... 题型十 反比例函数与一次函数综合................................................................................................................ 题型十一 反比例函数中的探究类问题............................................................................................................ 题型十二 反比例函数与与几何综合................................................................................................................ 题型十三 反比例函数的找规律问题................................................................................................................ 知识点梳理 【模型1】|k|模型 【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 结论1：S ＝|k|：结论2：S ＝|k| 矩形 三角形 【模型2】面积模型（四类） 类型一 S S 结论： AOB 梯形ABNM 证明： S  S S AOB 四边形AONB BON S  S S 梯形ABNM 四边形AONB AOM  S  S BON AOM S S ． AOB 梯形ABNM 类型二 结论：① AO=BO，AB关于原点对称，② S =4|k| △ABC 类型三 【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 结论：① ABCD为平行四边形，② S =4S 四边形ABCD △AOB 类型四 结论：S =k－k 四边形ABOC 2 1 【模型3】垂直模型 2 k S OB 结论：OAOB 1  OBC    k S OA 2 OAD 2 k S OB 证明：作BC⊥x轴，AD⊥x轴，则△BCO∽△ODA，∴OAOB 1  OBC    k S OA 2 OAD 【模型4】比例端点模型 出现比例端点时可以考虑作垂线构造相似或设点坐标来转化 【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2 BC OD 结论：    BA  OA 证明：过点D作DE⊥x轴，ODE ~ OAB， 2 S OD  ODE    ， S  OA  S  S OAB ODE OBC 2 OD S S BC   ODE  OBC     OA S S BA OAB OAB 【模型5】矩形模型（平行性质和比例性质） 一、比例性质 k 如图,A,B是反比例函数y= 图象上任意两点，过A、B作x轴、y轴垂线段 x 线段比（共线的线段之比为定值） AD CE 证明一：∵S ＝S ， ∴ = 矩形OADF 矩形OGEC AOAD＝CECO AB CB S S AD CE 证明二：∵ 矩形ADFO = 矩形CEGO ⇒ = S S AB CB 矩形ABCO 矩形ABCO AD CE 结论： = AB CB 二、平行性质 【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 如图1、图2、图3，点A、B是反比例函数y＝ 图象上的任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，过 点B作x轴的垂线，垂足为点D，连接AB、CD，则AB∥CD． y y y A B C A C B A D O x C O D x O D x B 图1 图2 图3 下面以图1为例来证明（图2、图3证法类似）： 法一：面积法（等积变形） 如图，易知S ＝S ，因为两个三角形同底等高，故ED∥CA △ACE ADE △ y y y C E B C E B C E B D D D x x x O A O A O A BE BD 由平行关系还可以得出其它性质： ，  (平行线分线段成比例) BED∽BCA CE DA 补充 【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 简证 AE EB OG OF 证明一:由比例性质可知， = , = ,根据相似可知AB∥CD∥GF EC ED OC OD k k 证明二:∵S =S = S =S = ΔBDO ΔBDC 2 ΔAOC ΔADC 2 S =S AB//CD ΔBDC ΔADC ∴ ∴ ， 同理可证CD∥GF 方法二：连接OA、OB，延长CA、DB交于点E y A E C B O D x 则OC＝DE，OD＝CE 由k的几何意义可知S ＝S AOC △BOD △ 1 1 OD OC  ACOC  BDOD，  2 2 AC BD CE DE AE BE   ，  AC BD CE DE 又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD ∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD 方法三：延长CA、DB交于点E 【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y A E C B O D x  k   k   k  A a, B b, E b,       设  a ，  b ，则  a k k k AE ba, CE b, BE   , DE  a b a AE BE ba    CE DE b 又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD ∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD 补充拓展：矩形模型中的翻折 k 如图，矩形 OABC顶点A，C分别位于 x轴，y轴正半轴，反比例函数 y  在第一象限图象交矩形 x OABC两边于D，E点，将△BED沿ED翻折，若B点刚好落在x轴上的点F处，则EO=EF y E B C D O F A x 【模型六】等线段模型 如图1、图2，点A、B是反比例函数y＝ 图象上的任意两点，直线AB交y轴于点C，交x轴于点D，则 AC＝BD． 【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y y C A A C B D O D x O x B 图1 图2 证明：作AE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F 由平行性质可知AB∥EF ∴四边形CEFB和四边形AEFD均为平行四边形 ∴BC＝EF＝AD，∴AC＝BD y y C A E A E B C F O F D x D O x B 【模型七】等角模型 模型一：如图，点A、B是反比例函数 图象上的任意两点，直线OB交反比例函数 的图象于另一 点C，直线AC交x轴于点D，交y轴于点E，直线AB交x轴于点F，交y轴于点G，则∠ADF＝∠AFD， ∠AEG＝∠AGE，由此可得AD＝AF，CD＝AE＝AG＝BF，AB＝DE． y G A E B D O F x C 【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 证明：作CN∥x轴，AN∥y轴，BM⊥AN于M y G A E B M D O F x C N 则∠ADF＝∠ACN，∠AFD＝∠ABM 设A（a，），B（b，），则C（－b，－） ∴CN＝a＋b，AN＝＋，BM＝b－a，AM＝－ ∴tan∠ACN＝＝＝，tan∠ABM＝＝＝ ∴tan∠ACN＝tan∠ABM，∴∠ACN＝∠ABM ∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，∠CEO＝∠FGO ∵∠AEG＝∠CEO，∴∠FGO＝∠AEG ∴AE＝AG ∵AG＝BF，∴AE＝BF，∴AB＝DE ∵CD＝AE，∴CD＝AE＝AG＝BF 模型二：如图，平行四边形ABCD顶点A，B位于反比例函数 在第一象限的图象上， C，D分别位于x轴正半轴和y轴正半轴上，则必然有∠1=∠2，∠3=∠4 y A 4 D 3 B 2 1 x O C 【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 证明1：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。 y E A 4 G D 3 B 7 H 6 2 1 5 x O C F 取AB中点G，连GO交DC于H。 由反比例函数图象基本结论知，G也是EF中点。 ∴∠6=∠5=∠2，∴H为DC中点，∴GO∥BC ∴∠1=∠6=∠2，进而可知∠3=∠7=∠4 证明2：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。 y E A 4 I D 3 B 2 1 5 x O C F 过C点作y轴平行线，交AB于I，构平行四边形EDCI ∴EI=DC=AB，即EA=IB，又由基本结论知EA=BF ∴IB=BF，∴∠2=∠5=∠1，同理可证∠3=∠4 模型三：如图，平行四边形ABCD顶点A，B位于反比例函数 在第一象限的图象上， C，D分别位于y轴负半轴和x轴负半轴上，则必然有∠1=∠2，∠3=∠4 【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y A B D 3 O x 4 1 2 C 证明1：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。 取AB中点G，连GO并延长交DC于H。 由反比例函数图象基本结论知，G也是EF中点。 ∴∠1=∠5=∠7=∠6，∴H为DC中点，∴GH∥BC ∴∠1=∠6=∠2，进而可推∠3=∠4 y E 5 A G B 7 D 3 O x 4 F 6 H 1 2 C 证明2：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。 过C作x轴垂线，交直线AB于I，构平行四边形DCIF ∴FI =DC =AB ,又由基本结论知AE=BF,∴BE=BI ∴∠1=∠5=∠2，进而可推∠3=∠4 【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y E 5 A B D 3 O 4 F x 12 I C 题型一 |k|模型 1．如图是反比例函数 和 在第一象限的图象，直线 轴，并分别交两条 曲线于 两点，若 ，则 的值是（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】解：如图是反比例函数 和 在第一象限的图象， ∵直线 轴， 设点B（a，b），点A为（m，n）， 【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ， ∵ ， ∴ ，∴ 2．如图，过 轴正半轴上的任意一点 ，作 轴的平行线，分别与反比例函数 和 的图象交于 点 和点 ，点 是 轴上的任意一点，连接 、 ，则 的面积为（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【详解】解：如图，连接OA，OB， ∵△AOB与△ACB同底等高， ∴S AOB=S ACB， ∵A△B∥x轴△， ∴AB⊥y轴， ∵A、B分别在反比例函数y=- （x＜0）和y= （x＞0）的图象上， ∴S AOP=3，S BOP=1， ∴S△ ABC=S A△OB=S AOP+S BOP=3+1=4 △ △ △ △ 【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023 年辽宁省丹东市中考数学真题 k y x0 3．如图，点A是反比例函数 x 的图象上一点，过点A作AC x轴，垂足为点C，延长AC至点 B，使BC 2AC，点D是y轴上任意一点，连接AD，BD，若△ABD的面积是6，则k ． 【答案】4 【详解】解：如图，连结OA、OB， ∵ABx轴， ∴OD∥AB． ∴S S 6． OAB ABD ∵BC 2AC， 1 1 ∵S  k  S 2， AOC 2 3 AOB ∴k 4， ∵图象位于第一象限，则k 0，∴k 4． 2022 年湖南省郴州市中考数学真题 2 8 4．如图，在函数y x0 的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y x0 的图像于点 x x B，连接OA，OB，则AOB的面积是（ ） 【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【详解】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴， ∵S BCBE8，S  ADAE2 OCBE ADOE ∴S S 10 OCBE ADOE 1 1 ∵S  S ，S  S OBE 2 OCBE AOE 2 ADOE 1 ∴S S S  S S 5 AOB OBE AOE 2 OCBE ADOE 5．如图，直线 与反比例函数 、 的图象分别交于B、C两点，A为y轴上 任意一点， 的面积为3，则k的值为 ． 【答案】5 【15淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解：由题意得，点C的坐标（t， ），点B的坐标（t， ）， ∴ ， ∵ 的面积为3， ∴ ，解得 2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题 k k 6．如图，点A在反比例函数y k 0 图像的一支上，点B在反比例函数y 图像的一支上，点 x 2x C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为 ． 【答案】6 【详解】解：如图： k k ∵点A在反比例函数y k 0 图像的一支上，点B在反比例函数y 图像的一支上， x 2x k k ∴S  k k,S   ODAE OCBE 2 2 k ∵四边形 是面积为9的正方形，∴ ，即 k 9，解得： ABCD S S 9 2 k 6 ODAE OCBE 【16淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型二 面积模型 7．两个反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示，点P在 的图象上， 轴于点 C，交 的图象于点A， 轴于点D，交 的图象于点B，当点P在 的图象上运动时， 以下结论： ① 与 的面积相等； ②四边形 的面积不会发生变化； ③ 与 始终相等； ④当点 是 的中点时，点 一定是 的中点． 其中，正确的结论有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵点 均在反比例函数 的图象上，且 轴， 轴， ∴ ， ， ∴ ，结论①正确； ∵点 在反比例函数 的图象上，且 轴， 轴， ∴ ， ∴ ， 即四边形 的面积不会发生变化，结论②正确； 设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ， ， 与 的关系无法确定，结论③错误； 如图，连接 ， 【17淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 点 是 的中点， ， ， ， ，即 ， ， ∴点 一定是 的中点，结论④正确；综上，正确的结论有3个 2022 年山东省日照市中考数学试卷 k 8．如图，矩形OABC与反比例函数y  1 （k 是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数 1 x 1 k y  2 2 x （k 2 是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k 1 - k=（ ） 2 3 3 A．3 B．-3 C． D． 2 2 【答案】B k 【详解】解：∵点M、N均是反比例函数y  1 （k 是非零常数，x>0）的图象上， 1 x 1 1 ∴S S  k ， OAM OCN 2 1 k ∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y  2 （k 是非零常数，x>0）的图象上， 2 x 2 【18淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴S OABC=k， 矩形 2 ∴S =S OABC-S OAM-S OCN=3，∴k-k=3，∴k-k=-3 四边形OMBN 矩形 2 1 1 2 △ △ 9．如图，反比例函数 在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是2，6，则△AOB的面 积是 ． 【答案】8 【详解】解：根据题意可得A(2，3)，B(6，1)，过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴， 则AC=3，BD=1，OC=2，OD=6，DC=4 ∴ =2×3÷2+(3+1)×4÷2－6×1÷2=3+8－3=8 2023·广西·统考中考真题 1 k 10．如图，过y (x0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y 的图象于B，D两点，以 ， x x AB AD 为邻边的矩形 ABCD 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 S 1， S 2， S 3， S 4，若 5 S S S  ，则 的值为（ ） 2 3 4 2 k 【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C  1   1  1 1 【详解】设 Aa,b，则B   b ,b  ，D  a, a   ，C   b , a   k ∵点A在y (x0)的图象上 x 则S abk， 1 1 同理∵B，D两点在y 的图象上， x 则S S 1 2 4 5 1 故S  11 ， 3 2 2  1  1 1 又∵S    ， 3  b  a 2 1 1 即  ，故 ，∴ ab 2 ab2 k 2 2023 年湖北省黄石市中考数学真题  5  5 k Aa,  Bb,  y k 0 11．如图，点  a和  b在反比例函数 x 的图象上，其中a b 0．过点A作AC x 15 a 轴于点C，则 的面积为 ；若 的面积为 ，则  ． AOC AOB 4 b 【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 5 【答案】 2 2  5 5 【思路点拨】根据Aa, ，得出OC a,AC  ，根据三角形面积公式，即可求出 的面积；过点B  a a AOC 5 5 作 轴于点D， 交 于点E，根据S S S  ，S S S  ，得出 BDx BD OA OBD ODE OBE 2 AOC ODE 四边形DCAE 2 a b 3 a ，进而得出 ，根据梯形面积公式，列出方程，化简得   ，令x ， S S S S OBE 四边形DCAE AOB 梯形BDCA b a 2 b 1 3 a 则x  ，求出x的值，根据 ，得出 1，即 ，即可解答． x 2 a b 0 b x1  5 【详解】解：∵Aa, ，  a 5 ∴OC a,AC  ， a 1 1 5 5 ∴S  OCAC  a  ， AOC 2 2 a 2 过点B作BDx轴于点D，BD交OA于点E，  5 ∵Bb, ，  b 5 ∴ODb,BD ， b 1 1 5 5 ∴S  ODBD  b ， OBD 2 2 b 2 5 5 ∵S S S  ，S S S  ， OBD ODE OBE 2 AOC ODE 四边形DCAE 2 ∴S S ， OBE 四边形DCAE ∴S S S S S S ， AOB OBE ABE 四边形DCAE ABE 梯形BDCA 1 1 5 5 15 ∴S  CDACBD ab    ， 梯形BDCA 2 2 a b 4 a b 3 整理得：   ， b a 2 a 令x ， b 【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 3 则x  ， x 2 1 解得：x  （舍），x 2， 1 2 2 ∵a b 0， a ∴ 1，即 ， b x1 a 5 ∴ 2，故答案为： ，2． b 2 2023 年湖南省湘西中考真题 2 3 y (x0) y (x0) 12．如图，点A在函数 的图象上，点B在函数 的图象上，且 轴， x x AB∥x BC x 轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B y 【详解】解：延长BA交 轴于点D， 【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵AB∥x轴， ∴DA y轴， 2 ∵点A在函数y (x0)的图象上， x 1 ∴S  21， △ADO 2 3 ∵ 轴于点C， 轴，点B在函数y (x0)的图象上， BC x DB y x ∴S 3， 矩形OCBD ∴四边形ABCO的面积等于S S 312 矩形OCBD ADO 江苏省南京市 2021 年中考数学试卷 6 13．如图，正比例函数 ykx 与函数y x 的图像交于A，B两点， BC//x 轴， AC//y 轴，则S  ABC ． 【答案】12 6 【详解】解：设A（t， ）, t 6 ∵正比例函数 与函数y 的图像交于A，B两点， ykx x 6 ∴B（-t，- ）, t ∵BC//x轴，AC//y轴， 6 ∴C（t，- ）, t 1 1 6  6 12 ∴S ABC  2 BCAC  2   tt  t    t     t t 12 【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型三 垂直模型 14．已知点A，B分别在反比例函数 （x＞0）， （x＞0）的图象上且OA⊥OB，则tanB为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ， 设线段 所在的直线的解析式为： ，线段 所在的直线的解析式为： ， 则 ， ， ， 整理得： ， 15．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转．若∠BOA的两边分别与函数 、 【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（ ） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变 【答案】D 【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F， 则△BEO∽△OFA， ∴ ， 设点B为（a， ），A为（b， ）， 则OE=-a，EB= ，OF=b，AF= ， 可代入比例式求得 ，即 ， 根据勾股定理可得：OB= ，OA= ， ∴tan∠OAB= = = ∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变． 故选：D 16．如图， 已知第一象限内的点A在反比例函数y＝ 的图象上， 第二象限内的点B在反比例函数y＝ 【25淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 的图象上， 且OA⊥OB， cosA＝ ， 则k的值为（ ） A．－12 B．－16 C．－6 D．－18 【答案】D 【详解】解：过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M， ∵cosA＝ ， ∴ ， 设 ， ， ， ∴ ， ∵OA⊥OB， ∴∠BMO＝∠ANO＝∠AOB＝90°， ∴∠MBO+∠BOM＝90°，∠MOB+∠AON＝90°， ∴∠MBO＝∠AON， ∴△MBO∽△NOA， ∴ ， 设A（x， ），ON＝x，AN＝ ， ∴OM＝ ，BM＝3 x， 即B的坐标是（﹣ ，3 x）， 把B的坐标代入反比例函数y＝ 得， ， 解得，k＝﹣18， 【26淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故选：D． 17．如图，已知A是双曲线 上一点，过点A作 轴，交双曲线 于点B，若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解： 点在双曲线 上一点， 设 ， ， 轴， 在双曲线 上， 设 ， ， ， ， ， ， ， 【27淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， 2023·福建·统考中考真题 3 n 18．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y 和y 的图象的四个分支上，则实数 的值为 x x n （ ） 1 1 A． B． C． D．3 3 3 3 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点 A,B分别作x轴的垂线，垂足分别为C,D，点B在 3 y 上， x ∵OBOA，AOBBDOACO90， ∴CAO90AOCBOD． ∴AOC≌OBD． 3 n ∴S S   ． AOC OBD 2 2 ∵A点在第二象限， ∴n3 【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·四川达州·统考中考真题 2 19．如图，一次函数 与反比例函数y 的图象相交于 两点，以 为边作等边三角形 ， y2x x A、B AB ABC k 若反比例函数y 的图象过点 ，则 的值为 ． x C k 【答案】6 【详解】如图所示，过点A作ADx轴交x轴于点D，过点C作CE x轴于点E，连接OC， 2 ∵一次函数 与反比例函数y 的图象相交于 两点， y2x x A、B y2x  ∴联立 2 ，即 2，  y 2x  x x ∴解得x1， ∴A1,2 ，B1,2 ， ∴OD1，AD2， ∴OA 1222  5， ∴AOBO 5， ∵ABC是等边三角形， 1 ∴ ，ACOBCO ACB30， COAB 2 ∴AC 2OA2 5， 【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴OC  AC2OA2  15， ∵AOC=90， ∴AODCOE90， ∵ADO90， ∴AODOAD90， ∴OADCOE， 又∵CEOODA90， ∴VOCE∽VAOD， OC CE OE 15 CE OE ∴   ，即   ， AO OD AD 5 1 2   ∴解得 CE 3 ，OE 2 3，∴点C的坐标为 2 3, 3 20．如图，点A是双曲线y＝ 上的动点，连结AO并延长交双曲线于点B，将线段AB绕B顺时针旋转60° 得到线段BC，点C在双曲线y＝ 上的运动，则k＝ ． 【答案】﹣9． 【详解】解：∵双曲线y＝ 关于原点对称， ∴点A与点B关于原点对称． ∴OA＝OB． 连接OC，AC，如图所示． ∵将线段AB绕B顺时针旋转60°得到线段BC， ∴△ABC是等边三角形，OA＝OB， ∴OC⊥AB，∠BAC＝60°， ∴tan∠OAC＝ ＝ ， ∴OC＝ OA． 过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F， 【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA， ∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°﹣∠FOC＝∠OCF， ∴△AEO∽△OFC． ∴ ． ∵OC＝ OA， ∴OF＝ AE，FC＝ EO． 设点A坐标为（a，b）， ∵点A在第一象限， ∴AE＝a，OE＝b． ∴OF＝ AE＝ a，FC＝ EO＝ b． ∵点A在双曲线y＝ 上， ∴ab＝3． ∴FC•OF＝ b• a＝3ab＝9， 设点C坐标为（x，y）， ∵点C在第四象限， ∴FC＝x，OF＝﹣y． ∴FC•OF＝x•（﹣y）＝﹣xy＝9． ∴xy＝﹣9． ∵点C在双曲线y＝ 上，∴k＝xy＝﹣9 21．如图，点A是双曲线 在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一个分支于点B，以 AB为底作等腰 且 ，点C在第一象限，随着点A的运动，点C始终在双曲线 上运动，则 ． 【31淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【详解】解：如图所示，连接 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ， 点C在第一象限，随着点A的运动，点C始终在双曲线 上运动， 连接 并延长交另一分支于点 ，以 为底作等腰 ，且 ， ， ， 则 ， ， ， 又 ， ， ， ， 点 是双曲线 在第二象限分支上的一个动点， ， ，即 ， 22．如图， 的顶点 与坐标原点重合， ， ，当 点在反比例函数 【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 的图象上移动时， 点坐标满足的函数解析式为 ． 【答案】 【详解】如图，作 轴于点C， 轴于点D． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，且相似比为 ． ∴ ． 由反比例函数比例系数的几何意义可知 ． ∴ ． ∴B点坐标满足的函数解析式为反比例函数，设其解析式为 ． ∴ ， ∴ ． ∵点B在第二象限，即 ， ∴ ． ∴B点坐标满足的函数解析式为 ． 【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故答案为： 题型四 比例端点模型 23．如图，在平面直角坐标系中，梯形OACB的顶点O是坐标原点，OA边在y轴正半轴上，OB边在x轴 正半轴上，且OA∥BC，双曲线y= （x＞0）经过AC边的中点，若S =4，则双曲线y= 的k 梯形OACB 值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】过 的中点 作 轴交 轴于 ，交 于 ，作 轴于 ，如图， 在 和 中， ， （ ）， ， ， ， ， ， 而 ， . 【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2022·浙江衢州·统考中考真题 k 24．如图，在ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数 y x x0 的图象恰好经过点 C ，与边 BC 交于点 D ．若 AECE ， CD2BD ， S ABC 6 ，则 k = ． 12 【答案】 5 【思路点拨】过点C作CF x轴于点 F ，过点 D作 DGx轴于点G，设点C的坐标为 m,n ，则 OF m,CF n,mnk ，先根据相似三角形的判定可得AOEAFC ，根据相似三角形的性质可得 1 ，又根据相似三角形的判定证出 ，根据相似三角形的性质可得 DG n， AOOF m BDGBCF 3 1 BG BF ，再根据反比例函数的解析式可得 ，从而可得 ，然后根据 3 OG3m BF 3m,AB5m S 6 ABC 即可得出答案． 【详解】解：如图，过点C作CF x轴于点F ，过点D作DGx轴于点G， 设点C的坐标为 m,n ，则OF m,CF n,mnk ，  AECE，CD2BD， AE 1 BD 1   ，  ， AC 2 BC 3 OE x轴，CF x轴， OECF， AOE AFC， AO AE 1 1    ，即AO AF， AF AC 2 2 AOOF m， 【35淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又CF x轴，DGx轴， CF DG， BDGBCF， BG DG BD BG DG 1    ，即   ， BF CF BC BF n 3 1 1 解得DG n，BG BF ， 3 3 k y 3m 将 1 代入反比例函数 k 得： 1 ， x n y n 3 x 3  1  D3m, n,OG3m，  3  FGOGOG2m， 1 3 由BG BF 得：BF  FG3m， 3 2 AB AOOFBF mm3m5m， S 6， ABC 1 1  ABCF  5mn6， 2 2 12 12 解得mn ，即k 5 5 广东深圳·统考中考真题 k AO 2 y   25．如图，双曲线 x 经过Rt BOC斜边上的点A，且满足 AB 3，与BC交于点D，S =21，求k= BOD △ △ ． 【答案】8 【详解】试题思路点拨：解：过 A 作 AE⊥x 轴于点 E．因为 S OAE=S OCD，所以 S 四边形 S S AO 4 OAE△ △0AE AECB=S BOD=21，因为AE∥BC，所以△OAE∽△OBC，所以 = =（ ）2= S S S OB 25 OBC OAE AECB △ ，所以S OAE=4， 则k=8． △ 【36淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 k 26．如图，Rt BOC的一条直角边 在x轴正半轴上，双曲线y 过 的斜边 的中点 ，与另 OC x BOC OB A △ 一直角边BC相交于点D，若BOD的面积是6，则k的值是 ． 【答案】4 k 【详解】解：设点C的坐标为 ，则D(a, )， (a,0)(a0) a 1  S  OCBD6， BOD 2 a 12  BD6，解得BD ， 2 a k 12 k12 BC    a a a k12 B(a, )， a 点A是OB的中点， 0a k12 a k12 A , ，即A , ，  2 2a  2 2a  a k12 又 点A( , )在双曲线上，  2 a a k12 k   ， 2 a k 4 k AO 1 27．如图，双曲线 y 经过 斜边上的点 ，且满足  ，与 交于点 ， 的面积为 x RtBOC A AB 2 BC D BOD 2，则k ． 【37淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 【答案】 /0.5 2 【详解】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，则∠AEO＝∠BCO＝90°， AO 1 ∵  ， AB 2 AO 1 ∴  ， OB 3 ∵∠AOE＝∠BOC， ∴△AOE∽△BOC， S OA 2 1 2 1 ∴ AOE      ， S OB 3 9 BOC k ∵点A，D分别在双曲线y 上， x 1 ∴S S  k， △AOE △DOC 2 1 ∴S S S 2 k， BOC BOD DOC 2 9 ∵S 9S  k， BOC AOE 2 9 1 ∴ k 2 k， 2 2 1 ∴k＝ ， 2 1 故答案为： ． 2 【38淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 28．如图，已知三角形的顶点 在反比例函数 位于第一象限的图象上，顶点 在 轴的负半轴上，顶 点 在反比例函数 位于第四象限的图象上， 边与 轴交于点 ， ， 边 与 轴交于点 ， ，若 面积为 ，则 ． 【答案】 【详解】过 作 于 ，过 作 于点 ，如图示： 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得： k y (x0) 29．如图，矩形OABC的顶点 A ，C分别在x轴、y轴的正半轴上，它的对角线OB与函数 x 的图 【39淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D OD:OB1: 2 OABC 24 k 象相交于点 ，且 ，若矩形 的面积为 ，则 的值是 ． 【答案】12 【详解】解：如图所示，过点D作DEx轴于点E， ∵四边形OABC是矩形， ∴BAO90， ∴DE∥AB， ∴ODE∽OBA， ∵OD:OB1: 2， S OD 2 1 ∴ DEO    S OB 2 ABO ∵矩形OABC的面积为24， ∴S 12 △ABO 1 ∴S  126 ODE 2 k ∵函数y (x0)过点 ， x D k 则 6 2 又∵D在第一象限，∴k 12 k 30．如图，Rt BOC的一条直角边 在x轴正半轴上，双曲线y 过 的斜边 的中点 ，与另 OC x BOC OB A △ 一直角边BC相交于点D，若BOD的面积是6，则k的值是 ． 【40淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】4 k 【详解】解：设点C的坐标为 ，则D(a, )， (a,0)(a0) a 1  S  OCBD6， BOD 2 a 12  BD6，解得BD ， 2 a k 12 k12 BC    a a a k12 B(a, )， a 点A是OB的中点， 0a k12 a k12 A , ，即A , ，  2 2a  2 2a  a k12 又 点A( , )在双曲线上，  2 a a k12 k   ， 2 a k 4 31．（2023·辽宁锦州·统考一模）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴， y 轴的正半轴上，点B在第 k 一象限，反比例函数y (x0)的图象交矩形的对角线 于点 ，分别交 ， 于点E，F，连接 x OB D BC AB DE，DF．若OD2BD，S 四边形EDFB 2，则k ． 24 【答案】 5 【详解】解：作DH OA于H，连接OE、OF ， 【41淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵BAOA， ∴DH∥BA， ∴OHD∽OAB， OH DH OD ∴   ， OA BA OB ∵OD2BD， OH DH OD 2 ∴    ， OA BA OB 3 设OH 2m,DH 2n，则：OA3m,AB3n， 1 ∴ ，S  OHDH 2mn， S 矩形ABCO OAAB9mn OHD 2 k ∵点 ，E，F，在反比例函数y (x0)的图象上， D x k ∴S S S 2mn ， OCE OAF ODH 2 ∵OD2BD， ∴S 2S ,S 2S ， ODF BDF ODE BDE ∴S S S S S 3S S  ， 四边形OEBF ODF BDF ODE BDE BDF BDE 即：S 3S 6， 四边形OEBF 四边形DEBF ∵S S S S 5mn， 四边形OEBF 矩形ABCO OCE OAF ∴5mn6， 6 ∴mn ， 5 k 12 24 ∴ 2mm ，∴k  2 5 5 32．如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线 交OB于点 D，且OD：DB＝1：2，若△OBC的面积等于6，则k的值为 ． 【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F， ∵梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC//AO，AB⊥AO， ∴四边形OABE是矩形， ∴S OBE=S OAB， △ △ ∵过点C的双曲线 交OB于点D， ∴S OCE=S ODF， ∴S△四边形 AB△DF=S OBC=6， ∵DF//AB， △ ∴△ODF∽△OBA， ∵OD：DB=1：2， ∴OD：OB=1：3， ∴S ODF：S OAB=1：9， ∴S△ ODF：S△四边形 ABDF=1：8， △ ∴S ODF= S ABDF= ×6= ， 四边形 △ ∴k= 题型五 矩形模型（平行，比例性质） 33．如图，已知双曲线 经过矩形 边 的中点F，交 于点E，且四边形 的面积 为3，则 ． 【43淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【详解】解：设点 ， ∵F是 的中点， ∴ ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵四边形 的面积为3， ∴ ， ∴ ，故答案为 2023 年黑龙江省绥化市中考数学真题 34．在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，BC 2， k 点D在 上，且其横坐标为1，若反比例函数y （ ）的图像经过点B，D，则k的值是 AC x x0 （ ） 3 A．1 B．2 C．3 D． 2 【答案】C 【详解】设B3,m ， 【44淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵点B，C的横坐标都是3，BC 2，AC平行于x轴，点D在AC上，且其横坐标为1， ∴C3,m2,D1,m2 ， ∴3mm2， 解得m1， ∴B3,1 ，∴k 313 2023 年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学真题 k 35．如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数 y x x0 的图象经过点B,D，对角线CA的延长 线经过原点O，且AC 2AO，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为 ． 【答案】6 【详解】解：延长CD交x轴于点F，如图，  k 由点D在反比例函数y k x0的图象上，则设Da, ， x  a ∵矩形ABCD的边AB平行于x轴，AB∥CD，ADCD， ∴CD y轴，AD∥OF， k 则DF a，OF  ， a ∵AD∥OF， ∴△CDA∽△CFO， CD AD AC ∴   ， CF OF OC ∵AC 2AO， AC 2 ∴  ， OC 3 2 2 2k ∴CD CF 2DF 2a，AD OF  ， 3 3 3a 2k ∵ ，即2a 8， ADCD8 3a ∴k 6， 故答案为：6． 【45淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023 年浙江省绍兴市中考数学真题 k 36．如图，在平面直角坐标系 中，函数y （ 为大于0的常数， ）图象上的两点 xOy x k x0 Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2  ，满足 x 2 2x 1． ABC 的边 AC∥x 轴，边 BC∥y 轴，若 OAB 的面积为6，则 ABC的面积是 ． 【答案】2 【 思 路 点 拨 】 过 点 A、B作 AF  y轴 于 点 F ， ADx轴 于 点 D， BE⊥x于 点 E， 利 用 S S S S k6， S S S kS ，得到 S 6， 五边形FABEO AFO ABO BOE 五边形FABEO 矩形AFOD 梯形ADEB 梯形ADEB 梯形ADEB 结 合 梯 形 的 面 积 公 式 解 得 x y =8， 再 由 三 角 形 面 积 公 式 计 算 1 1 1 1 1 1 1 S = AC�BC- (x � x )=(y � y ) x y x y ，即可解答． ABC 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 4 1 1 【详解】解：如图，过点A、B作AF  y轴于点F ，ADx轴于点D，BE⊥x于点E， S S S S k6 五边形FABEO AFO ABO BOE S S S kS 五边形FABEO 矩形AFOD 梯形ADEB 梯形ADEB S 6 梯形ADEB 【46淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (y y )(x x )  2 1 2 1 6 2 x 2x  2 1 1 y  y 2 2 1 1 ( y y )(2x x ) (y y )(x x ) 2 1 1 1 1 3  2 1 2 1  = y x =6 2 2 4 1 1 x y =8 1 1 k 8 1 1 1 1 1 1 S = AC�BC- (x � x )=(y � y )= x � y x y 8 2 ABC 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 4 1 1 4 37．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴正半轴上，OA＝6，OC ＝4，点P是BC边上一个动点，过点P的反比例函数y＝ 图象与AB边交于点Q，若将△BPQ沿PQ折 叠，点B的对应点D恰好落在对角线AC上，则k的值是___________． y P C B Q D O A x 【答案】12 提示：由题意可得B（6，4），P（，4），Q（6，） 则BP＝6－，BQ＝4－ ∴＝ ＝，∴△BPQ∽△BCA ∴∠BPQ＝∠BCA，∴PQ∥CA 连接BD交PQ于点E y P C B E Q D O A x 则BE＝DE，∴BP＝CP，BQ＝AQ ∴P（3，4），∴k＝12 38．如图，直线y＝－3x＋4与双曲线y＝交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于 D，连接CD，若四边形ACDB的面积为10，则k的值为___________． 【47淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y A C O x D B 【答案】－4 提示：令－3x＋4＝，即3x2－4x＋k＝0 设A（a，－3a＋4），点B的横坐标为b，则a＋b＝，∴b＝－a 设AB交y轴于点E，则AC∥ED，AE∥CD ∴四边形ACDB是平行四边形 ∴S ＝S ＋S ＝－a(－3a＋4)＋(－a＋ )(－3a＋4)＝10 四边形ACDB □ACDE BDE 解得a＝ （舍去）或a＝－△ ∴k＝a(－3a＋4)＝－4 39．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐 标为（8，4），反比例函数y＝ 的图象分别与边AB、BC交于点E、F，将△BEF沿EF翻折，点B恰 好落在x轴上点D处，则△BEF的面积为___________． y F C B E O D A x 【答案】 提示：连接AC、BD y F C B E O D A x 由性质知EF∥AC，BD⊥EF ∴BD⊥AC，∴△ABD∽△BCA 【48淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由B（8，4）可得AB＝4，BC＝8，AB＝ BC ∴AD＝ AB＝2 设BE＝DE＝a，则AE＝4－a 在Rt△ADE中，22＋(4－a)2＝a2 解得a＝，∴S ＝ S ＝ BEF BAC △ △ 40．如图，在矩形AOBC中，OB4，OA3，分别以OB、OA所在直线为x轴和 y 轴，建立如图所示的 k 平面直角坐标系， 是边 上的一个动点（不与 、 重合），过 点的反比例函数y k 0 的 F BC B C F x 图象与AC边交于点E，将△CEF 沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为 ． 21 【答案】 8 【详解】如图，过点E作EM x轴于点M ， ∵四边形AOBC为矩形，OA=3，OB=4， ∴BC=OA=3，AC=OB=4，C 90，OBC 90． ∴A(0,3)，O(0,0)，B(4,0)，C(4,3)． ∵点F在边BC上，点E在边AC上， ∴x 4，y 3． F E k 又∵点E，F在反比例函数y k 0 的图象上， x k k k k ∴y   ，x   ． F x 4 E y 3 F E k   k ∴E ,3，F4, ． 3   4 【49淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 k k ∴AE  ，BF  ． 3 4 k k ∴EC  ACAE 4 ，CF BCBF 3 ． 3 4 ∵△CEF 沿EF对折后得到DEF ， k k ∴ ，EDEC 4 ，DF CF 3 ． EDF C 90 3 4 ∴MDEFDB90． ∵EM x轴， ∴EMD90 ∴MDEMED90，EMDOBC 90． ∴MEDBDF ． ∴△MED∽△BDF ． k 12k 4 EM ED 3 3 4 ∴     ． DB DF k 12k 3 3 4 4 ∵四边形AOBC是矩形， ∴EAOAOM 90． 又∵EM x轴， ∴EMO90． ∴四边形EAOM是矩形， ∴EM OA3． EM 9 DB  4 4 3  k 2 9 2 k 2 在 中，满足 ，即3      ，解得k 21 RtDBF DF2 DB2 BF2  4 4 4 8 k y (k0,x0) 41．如图，矩形OABC的顶点 A ，C分别在x轴，y轴正半轴上，反比例函数 x 的图象分别 与矩形OABC两边AB，BC交于点D，E，沿直线DE将DBE翻折得到DFE，且点F 恰好落在直 CE AD AF 线 上．下列四个结论：① ；②  ；③tanFED ；④ ．其中结论正 OA CE AD BE BD AB OEEF 确的有 ．（仅填代号即可） 【50淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】②③④ k 【详解】解：设 ， ， 点的纵坐标为 ， 的横坐标为 ，分别代入y ， OAa OCb E b A a x k k 得E( ， ，D(a, )， b b) a k k CE ，AD ， b a 四边形OABC是矩形， OABCa，OCABb， k k BEa ，BDb ， b a CE k AD k  ，  ，  BE abk BD abk CE AD  ，故②正确；  BE BD CE AD  ，  BE BD CE AD  ，  BC AB BCAB， CE AD，故①错误； 过点E作EGOA于点G， EGAFAD90，且BEFD90， 1290， 2390， 13， 【51淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 EGF∽FAD， DF AF  ，  EF EG EGAGAB90， 四边形EGAB是矩形， EBAG，EG AB， DF AF  ，  EF AB DF 在 中，tanFED ， RtEFD EF AF tanFED ，故③正确； AB k k BEEF a ，BDFDb ，且 ， b a EGF∽FAD EF AF  ，  DF AD k GF  ， b k CEOG ， b OGGF， EGOF， EG垂直平分OF ，EOEF ，故④正确 题型六 等线段模型 42．如图，已知函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 、 ，与双曲线 交于点 、 ，若 ，则 的值为 ． 【答案】 【详解】解：已知函数 的图象与x轴、y轴分别交于点C、B， 把x=0代入，y=2；y=0代入，x=2； ∴B、C的坐标分别是 、 ， 则 ， 【52淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 设点A的坐标是 ，过点A作 轴于E点， ∵AE∥OB， ∴ ， ∴ ， 函数 的图象与函数 的图象都关于直线 对称， 由对称性可知 ， 又∵ ， ∴ ， 即 ， 解得 ， ∴点A的坐标是 ， ∵点A在双曲线 上， ∴ ， 故答案为：-3． 2023 年辽宁省锦州市中考数学真题 43．如图，在平面直角坐标系中，AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC的中点，反比 k y x0 例函数 x 的图象经过B，C两点．若AOC的面积是6，则k的值为 ． 【答案】4 【详解】解：过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E， 【53淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴BD∥CE， ∴ABD∽ACE， BD AB ∴  ， CE AC  k  设B点坐标为m， ，则 ，  m BDm ∵点B为AC的中点， BD AB 1 ∴   ， CE AC 2 ∴CE2BD2m，  k  ∴C点坐标为2m， ，  2m 设直线BC的解析式为yaxb，  k  k mab a   m   2m2 ∴ ，解得 ， k 3k 2mab b  2m  2m k 3k ∴直线 的解析式为y x ， BC 2m2 2m 3k 当 时，y ， x0 2m  3k  ∴A点坐标为0， ，  2m 1 3k 根据题意得  2m6， 2 2m 解得k 4 44．如图，直线y＝2x与双曲线y＝ 交于A、B两点，AC⊥AB交双曲线于点C，连接BC，则sin∠ABC的 值是___________． 【54淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y A C O x B 【答案】 提示：设AC分别交y轴、x轴于点D、E y D A C O E x B 由直线y＝2x可得OE＝2OD 设AD＝CE＝a，则OA＝OB＝2a，AB＝AE＝4a，AC＝3a BC＝5a，sin∠ABC＝ ＝ ＝ 45．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ x与双曲线y＝ 相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线 上一点，连接 CA并延长交 y轴于点 P，连接 BP，BC．若△PBC的面积是 20，则点 C的坐标为 ___________． y P A C O x B 【答案】（，） 提示：连接OC，延长PC交x轴于点D 【55淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y P A C O D x B 由对称性可知OA＝OB，∴S ＝ S ＝10 POC PBC 由等线段性质可知AP＝CD，△∴PC＝A△D，∴S AOD ＝S POC ＝10 令 x＝ ，解得x＝±2，∴A（2，3） △ △ ∴OD·y ＝10，∴OD＝，即x ＝ A D 由x －x ＝x －x 得：－x ＝2－0 D C A P C 解得x ＝，∴C（，） C 46．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx与双曲线y＝（k＞0）相交于A、B两点，直线y＝mx＋ n经过点B，与双曲线交于另一点C，若△ABC的面积为6，则k的值为___________． y A C O x B 【答案】4 提示：设直线BC交x轴于点D，交y轴于点E，则CD＝BE 作BF⊥y轴于点F，CG⊥x轴于点G y A C O D G H x E B F 设A（a，b），则B（－a，－b），BF＝a，OF＝b ma＝b，－ ma＋n＝－b ∴－ b＋n＝－b，∴OE＝－n＝ b＝ OF，∴EF＝ OF ∵BE＝CD，∴CG＝EF＝ OF＝ yA， OG＝2a 连接OC，延长AC交x轴于点H 【56淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则AC＝CH，OG＝2GH，∴OH＝3a ∵S ABC ＝6，∴S COH ＝S AOC ＝3 ∴ OH·CG＝3，∴3a·CG＝6 △ △ △ ∴a·CG＝2，∴k＝OG·CG＝2a·CG＝4 47．如图，直线l与反比例函数y＝ 的图象在第二象限交于B，C两点，与x轴交于点A，连接OC， ∠ACO 的角平分线交 x轴于点 D．若 AB∶BC∶CO＝1∶2∶2，△COD 的面积为 6，则 k的值为 _________． y l C B A D O x 【答案】－7.5 提示：由AB∶BC∶CO＝1∶2∶2，可设C（5a，3c），则B（15a，c），A（20a，0） y l C B E A D O x 由CD平分∠ACO可得： ＝ ＝ （可通过作DE∥AC交OC于E转化角平分线定理） ∴D（8a，0） ∵S COD ＝6，∴×( －8a )×3c＝6，∴ac＝－ ∴k＝15ac＝－7.5 △ 48．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A、B两点，与x轴交于点C（－， 0），连接BO并延长交反比例函数y＝ 的图象于点D，若∠BAD＝120°，△ABD的面积为2，则点A 的坐标为___________． y A D C O x B 【答案】（，） 提示：设AB交y轴于点E，取CE中点F，连接OA、OF 【57淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y A E F D C O x B 则OF＝CF＝EF 由等线段性质可知BC＝AE，∴BF＝AF 由对称性可知BO＝OD，∴OF是△ABD的中位线 ∴OF∥AD，∴∠CFO＝∠BAD＝120° ∴∠FCO＝∠FOC＝30° ∵C（－，0），∴OC＝，OE＝1 ∴S OCE ＝OC·OE＝，∴S OCF ＝S OCE＝ ∵S ABD＝2，∴S ABO＝，S FBO＝ △ △ △ ∴S FBO＝2S OCF，∴BC＝CF＝CE，∴AE＝CE △ △ △ ∵C（－，0），∴x ＝，y ＝1＋＝ A A △ △ ∴A（，） 湖北随州·统考中考真题 k y (k 0) 49．如图，直线 与双曲线 在第一象限内交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 为线段 AB x A B x C B AC的中点，连接OA，若AOC的面积为3，则k的值为 ． 【答案】2  k ab k  【思路点拨】设 A 点坐标为a, ，C 点坐标为 ，求出 B 点坐标为 , ，根据 B 点在  a (b,0)  2 2a k ab k 1 k y (k 0)上可得  k，整理得 ，再根据三角形面积公式得 3a 3可得k的值． x 2 2a b3a 2 a  k 【详解】解：设A点坐标为a, ，C点坐标为 ，  a (b,0) B恰为AC的中点， 【58淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ab k  点的坐标为 , ， B  2 2a k 点在y (k 0)的图象上， B x ab k   k 2 2a b3a S 3 OAC 1 k  b 3 2 a 1 k  3a 3 2 a k 2 2021·贵州毕节·统考中考真题 k 50．如图，直线 与反比例函数y k 0,x0 的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且 ， AB x ABBC 连接OA．已知OAC的面积为12，则k的值为 ． 【答案】8. 【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴交x轴于E，过点B作BF⊥x轴交x轴于F ∵AE⊥x轴，BF⊥x轴，AB=BC ∴EF=FC，AE=2BF（中位线定理） k k 设A点坐标为（ ， ），则B点坐标为（ ， ） a a 2a 2a ∵OC=OE+EF+FC ∴OC=OE+EF+FC=3a 1 1 k ∴S = OCAE  3a 12 △OAC 2 2 a 解得k =8 【59淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故答案为：8. k 51．如图，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝ （x＞0）交于C、D两 x 点，且∠AOC＝∠ADO，则k的值为 ． 8 【答案】 5 【详解】解：由已知得OA＝2，OB＝4，根据勾股定理得出，AB＝2 5， 如图，过点C作CE⊥x轴于E，作CG⊥y轴G，过点D作DH⊥x轴于H，作DF⊥y轴于F，连接GH， GD，CH， ∵点C，D是反比例图象上的点， ∴S ＝S ， 矩形FDHO 矩形GCEO 1 1 ∴ S ＝ S ． 2 矩形FDHO 2 矩形GDEO ∴S ＝S ． DGH GHC ∴点△C，D到△ GH的距离相等． ∴CD∥GH． ∴四边形BDHG和四边形GHAC都是平行四边形． ∴BD＝GH，GH＝CA． 即BD＝AC； 设AC＝BD＝m， ∵∠AOC＝∠ADO， 【60淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 CAO＝∠DAO， ∴△AOC∽△ADO， AO AD ∴  ， AC AO ∴AO2＝AC•AD， ∴22＝m（2 5﹣m）， ∴m＝ 5±1（舍去 5+1）， 过点C作CE⊥x轴于点E， ∴△ACE∽△ABO， AE CE AC ∴   ， AO OB AB AE CE 51 ∴   ， 2 4 2 5 51 2( 51) ∴AE＝ ，CE＝ ， 5 5   2 51 51 51 51 8 ∴OE＝OA﹣AE＝2﹣ ＝ •OE＝  ＝ ， 5 5 5 5 5 8 故答案为： ． 5 江苏省宿迁市 2021 年中考数学真题 k y x＞0 52．如图，点A、B在反比例函数 的图像上，延长AB交 轴于C点，若△AOC的面 x x 积是12，且点B是AC的中点，则k = ． 【61淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】8  k  【详解】解：作 ADOC ，设A  m， m   ， Cn,0 k AD ,OC n m  AOC的面积为12 1 1 k nk S  OCAD n  12  AOC 2 2 m 2m B点是AC中点 mn k  B点坐标 ,    2 2m B点在反比例图像上 k 2 k  2m mn 又k 0 n3m 3mk  12 2m k 8 故答案是：8． 53．如图，A，B是反比例函数 (k≠0)图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且B为线段AC的 中点，过点A作AD⊥x轴于点D，E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE，BE．若S ＝ ABE △ 7，则k的值为 ． 【62淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】-12 【详解】解：设A(m， )，C(0，n)，则D(m，0)，E( m，0)， ∵B为AC的中点， ∴AB＝BC， ∴B( ， )， ∵点B在反比例函数 (k≠0)的图象上， ∴ ∴k＋mn＝4k， ∴mn＝3k， 如图，连接EC，OA， ∵AB＝BC， ∴S ＝2S ＝14， AEC AEB ∵S△AEC ＝S A△EO ＋S ACO －S ECO ， △ △ △ △ ∴14＝ ， ∴14＝ ， ∴k＝－12． 【63淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型七 等角模型 54．如图，直线y＝kx与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点，过点A作AD∥x轴，交y轴于点 D，直线BD交反比例函数y＝ 的图象于另一点C，则 的值为___________． y C A D O x B 【答案】 提示：设BC交x轴于点E y C A D E O x B 由对称性知OA＝OB ∵AD∥x轴，∴DE＝BE 由等线段性质知BE＝CD ∴DE＝BE＝CD 由等角性质知∠CAD＝∠CDA ∴CA＝CD，∴＝ 55．如图，直线y＝2x与双曲线y＝交于A、B两点，过点A作AC⊥AB交y轴于点C，连接BC并延长交双 【64淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 曲线于点D，连接AD，则 的值为__________． y B O x A C D 【答案】 提示：作AF∥x轴交y轴于点E，交BD于点F y B O x E F A C D 设B（a，2a），则A（－a，－2a），双曲线为y＝ AE＝a，OE＝2a，CE＝ a，OC＝ a，C（0，－ a） 直线BC：y＝ x－ a，则F（a，－2a） 由等角性质可得AD＝FD，点D在线段AF的垂直平分线上 ∴D（－ a，－ a） ∴＝ ＝ ＝ ＝ 56．如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，顶点C、D在反比 例函数y＝ 的图象上，若AB＝2AD，OA＝2，□ABCD的面积为8，则点D的坐标为___________． y D A C O B x 【答案】（2，3） 提示：连接AC，作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F 【65淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y D F A C O B E x 由等角性质可知∠ABO＝∠CBE，∴△ABO∽△CBE ∵AB＝2AD，∴AB＝2BC ∴CE＝ AO＝1，BO＝2BE，∴C（k，1） ∴OE＝k，OB＝ k，BE＝ k ∴S ＝S －S －S ＝(1＋2)k－×k×2－×k×1＝ k ABC 梯形AOEC AOB CBE ∵S □△ABCD ＝8，∴S ABC ＝△ 4，∴ k△＝4 ∴k＝6，∴BE＝ k△＝2 易证△ADF≌△CBE，∴DF＝BE＝2，AF＝CE＝1 ∴FO＝1＋2＝3，∴D（2，3） 湖北武汉·中考真题 57．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是(-1，0)，(0，2)，C，D k 两点在反比例函数y (x0)的图象上，则k的值等于 ． x 【答案】-12 k 【详解】设C（a， ）， a ∵四边形ABCD是平行四边形， 【66淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴AC与BD的中点坐标相同， a1 k x y2 ∴（ ， ）=（ ， ）， 2 2a 2 2 k2a k2a 解得： ，y ，即D（ ， ）， xa1 a a1 a k2a k ∴ = ，即 ， a a1 k 2a2a2 ∵BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（-1，0），（0，2）， ∴AB= 5，BC=2 5， k ∴BC2=（0-a）2+( 2)2 = ， a (2 5)2 ∴a4k24ka16a2， ∴a4(2a2a2)24a(2a2a2)16a2， 解得：a2 4， ∵a<0, ∴a2，∴k 222(2)2 12 A0，2 B1，0 ABCD 58．如图，在直角坐标系中，平行四边形 的顶点 、 在y轴、x轴上，另两个顶点C、D k y (k 0) 在第一象限内，且 ；若反比例函数 的图象经过C，D两点，则k的值是 ． AD3AB x 【答案】24  k  k  【思路点拨】设Dx， (x0，k 0)，根据平行四边形的对边平行得到Cx1， 2；然后由勾股定理  x  x  和反比例函数图象上点的横纵坐标的乘积等于k列出方程组，通过解方程组可以求得k的值． 【详解】解：如图， 在直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A0，2 、B1，0 ，  CD AB 2212  5， AB∥CD， 又 AD3AB， AD3 5．  k  k  设Dx, (x0,k 0)，则Cx1, 2，  x  x  【67淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  k x2( 2)2 45   x 则 ，解得 ． k   x3 k x1  2   x  k 24 故答案是：24． k 59．如图，平行四边形 的顶点 ， 的坐标分别是 ， ，顶点 ， 在双曲线y 上， ABCD A B A(1,0) B(0,2) C D x 边AD交 y 轴于点E，且四边形BCDE的面积是ABE面积的5倍，则k ． 【答案】12 【详解】如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F 、G．DG交BC于M 点， 过C点作CHDG．垂足为H． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABC ADC， ∵BODG，∴OBC GDE，∴HDC ABO， ∴△CDH ≌ABO(AAS)，∴CH  AO1，DH OB2， 设C(m1,n)，D(m,n2)，则(m1)nm(n2)k，解得n2m， ∴D(m,2m2)． 【68淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 设直线AD解析式为yaxb，将A(1,0)，D(m,2m2)两点代入 ab0① 得 ，由①得： ， mab2m2② ab a2 代入②得： ，即 ，解得 ，∴ ， mbb2m2 b(m1)2(m1) b2 b2 1 ∴ ． ， ，S  BEAO2， y2x2 E(0,2) BE4 ABE 2 1 ∵S 5S 5 4110， 四边形BCDE ABE 2 ∵S 四边形BCDE S ABE S 四边形BEDM 10，即24m10，解得：m2，∴n2m4， ∴k (m1)n3412．故答案为12 题型八 反比例函数中的设而不求法 12 60．（2023·深圳市一模）如图，A、B是函数y＝ 上两点，P为一动点，作 轴， 轴．若 x PBy 111 PAx S ＝3.6 BOP ，则S ＝（ ） ABP △ A．3.6 B．4.8 C．5.4 D．6 【答案】C  12  12 【 思 路 点 拨 】 延 长 BP ， 交 x 轴 于 点 C ， 由 题 意 可 设 点 Aa, ,Bb, ， 则 有  a   b  12 12 APab,BP  ,OC b，然后由S ＝3.6可进行求解问题． b a BOP △ 【详解】解：延长BP，交x轴于点C，如图所示： 【69淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵PB∥y轴，PA∥x轴， ∴APBP，BC x轴，  12  12 12 12 由题意可设点Aa, ,Bb, ，则有APab,BP  ,OC b，  a   b  b a ∵S ＝3.6， BOP 1△ 12 12 ∴ BPOC 3.6，即  b7.2， 2  b a  2 解得：b a， 5 1 112 12 1 30 12 3 ∴S  APBP    ab    a5.4； APB 2 2 b a  2  a a  5 湖北武汉·中考真题 k 61．如图，点A在双曲线y＝ 的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且 x OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为 ． 16 【答案】 . 3 【详解】如图，连接DC， 【70淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1. ∴△ADC的面积为4. k ∵点A在双曲线y＝ 的第一象限的那一支上， x k ∴设A点坐标为 (x, ). x ∵OC＝2AB，∴OC=2x. ∵点D为OB的中点，∴△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，∴梯形BOCA的面积为8. 1 k 1 k 16 ∴梯形BOCA的面积= (x2x)  3x 8，解得k . 2 x 2 x 3 k y (k0,x0) 62．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数 x 的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点， △AEF 的面积为1，则k的值为（ ） 12 3 A． B． C．2 D．3 5 2 【答案】D k 【详解】解：设D点坐标为(a，)， a k ∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为 ，C点纵坐标为 ， (a，0) a 【71淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 k 0 ∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为 a k ，  2 2a k k ∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得  ，解得， ， 2a x x2a k ∴E点坐标为(2a， )， 2a k 同理可得C点坐标为(3a，)， a k ∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为(3a， )， 3a ∵点E为AC的中点，△AEF 的面积为1， 1 1 k k ∴ ，即 CFAB2，可得， (  )(3aa)2， S 2 2 2 a 3a ACF 解得k 3，故选：D． 2022·辽宁鞍山·统考中考真题） 63．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点．在RtVOAB中，OAB90，边OA在 y 轴上，点D是 k y x0 边OB上一点，且OD:DB1:2，反比例函数 x 的图象经过点D交AB于点C，连接OC．若 S 4，则k的值为 ． OBC 【答案】1 k 【详解】解：∵反比例函数y x0的图象经过点D，∠OAB＝90°， x k ∴D（m， ）， m ∵OD：DB＝1：2， 3k ∴B（3m， ）， m 3k ∴AB＝3m，OA＝ ， m 【72淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 k ∴反比例函数y x0的图象经过点D交AB于点C，∠OAB＝90°， x 1 ∴S  k， △AOC 2 ∵S ＝4， OBC 1 3k 1 ∴ S S ＝4 ，即 3m  k 4， AOB AOC 2 m 2 解得k＝1，故答案为：1． 64．（2022·浙江温州·统考一模）如图，OABC位于平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A及 k 4 y y x0 的中点D在反比例函数 的图象上，点C在反比例函数 的图象上，则k的值为 AB x x ． 【答案】2 【详解】如图，过点A,C 分别作x轴的垂线，垂足分别为E,F ， AEOCFB 90 四边形ABCD是平行四边形 AOBC,AO∥BC 【73淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AOECBF AOE≌CBF ∴ AE=CF ，OEBF OBOEOBBF 即OF EB 4 轴， 在y 上， CF x C x S S 2 △AEB △CFO 1 4  AEEB2，即EB 2 AE 设Am,n ，则Em,0 4 EB n 4  B m,0 n  D是AB的中点 2 n D m,  n 2 k ， 在y 上， D A x 2  n mn m n  2 mn 即mn1 2 得mn2 k mn2 故答案为：2 65．（2022上·四川成都·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，AOB的顶点A在函数 4 4 1 y  (x0)的图象上，顶点B在x轴正半轴上，边 ， 分别交的数y (x0)，y  (x0)的 x AO AB x x 图象于点M，N．连接MN，若MN∥x轴，则AOB的面积为 ． 【74淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】6 【详解】∵MN∥x轴， ∴AMN∽AOB，点M，N的纵坐标相同， 1  4  设M点的坐标为 ,b，N点的坐标为 ,b， b  b  3 ∴MN = ， b 如图，过点M作MEx轴，点A作AF x轴， ∴MOE∽AOF ， 根据反比例函数与三角形的面积关系可得：S 2，S 0.5， AOF MOE S 0.5 1 ∴ MOE   ， S 2 4 AOF ∵相似三角形中面积比等于相似比的平方， OM 1 ∴  ， OA 2 AM 1 ∴  ， OA 2 ∵AMN∽AOB， AM MN 1 ∴   ， OA OB 2 3 即 b 1，  OB 2 6 ∴OB ， b 4  ∵M点的坐标为 ,b， b  ∴ME b， ∴AF 2b， 1 1 6 ∴S = 鬃OB AF = 创 2b=6 AOB 2 2 b 【75淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型九 反比例函数与相似相似三角形结合 江苏宿迁·统考中考真题 k 66．如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若 x AC 1 ＝ ， AOB的面积为6，则k的值为 ． BC 2 △ 【答案】6 【思路点拨】过点A作AD y轴于D，则DADC∽DBOC，由线段的比例关系求得AOC和ACD的面积， 再根据反比例函数的k的几何意义得结果． 【详解】解：过点A作AD y轴于D，则DADC∽DBOC， DC AC 1 = = ，  OC BC 2 AC 1  ， 的面积为6，  BC 2 AOB 1 S = S =2，  DAOC 3 DAOB 1 S = S =1，  DACD 2 DAOC AOD的面积3， 1 根据反比例函数 的几何意义得， |k|3， k 2 \|k|=6， k 0， k 6． 故答案为：6． 【76淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 深圳统考真题 k 67．如图，已知点A在反比例函数y＝ （x＜0）上，作Rt ABC，点D是斜边AC的中点，连接DB并延 x  长交y轴于点E，若BCE的面积为7，则k的值为 ． 【答案】14 【思路点拨】根据反比例函数系数k的几何意义，证明△ABC∽△EOB，根据相似比求出BA•BO的值， 从而求出△AOB的面积． 【详解】解：连接OA． ∵△BCE的面积为7， 1 ∴ BC•OE＝7， 2 ∴BC•OE＝14， ∵点D为斜边AC的中点， ∴BD＝DC＝AD， ∴∠DBC＝∠DCB＝∠EBO， 又∠EOB＝∠ABC＝90°， ∴△EOB∽△ABC， BC AB ∴  ， OB OE ∴AB•OB•＝BC•OE， k 1 ∵ •OB•AB＝ ， 2 2 ∴k＝AB•BO＝BC•OE＝14， 故答案为14． 【77淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 徐州·统考真题 68．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上． AOB的两条外角平 k 分线交于点P，P在反比例函数y k 0,x0 的图像上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线 x 交y轴于点D，连接CD．若OD3，OC 5，则k的值为 ． 【答案】7.5 【思路点拨】作 PM⊥OA于点M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H，连接OP，利用角平分线的性质得到 PM=PN，设点P（m，m），则k=m2，通过证明 COP∽ POD，得到OP2=OC·OD=15，即可得到k值. 【详解】过P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H，连接OP， △ △ ∵PA，PB分别平分 OAB的两个外角， ∴PM=PH，PH=PN， △ ∴PM=PN， 设点P（m,m）， 则有k=m2， ∴∠POA=∠POB=∠CPD=45°， ∴∠COP=∠POD=135°， ∵∠POB=∠PCO+∠OPC=45°，∠APO+∠OPD=45° ， ∴∠PCO=∠OPD， ∴ COP∽ POD， ∴OP2=OC·OD=15, △ △ ∴OP= 15， 根据勾股定理，得m2+m2=15, 解得k=m2=7.5 【78淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 12 k 12 69．如图，已知双曲线y＝ （x＜0）和y＝ （x＞0），y 与直线交于点A，将直线OA向下平移与 x x x 12 k 双曲线y＝ ，与y轴分别交于点 ，与双曲线y＝ 交于点 ，S ABC＝6，BP：CP＝2：1，则k x B,P x C △ 的值为 ． 【答案】﹣3． 【思路点拨】如图连接 OB、OC，作 BEOP 于点 E，CF  OP 于点 F．根据 OA//BC，得到 S S =6 ，根据已知条件得到S 4,S =2 ，根据相似三角形的性质即可得到结论． ΔOBC ΔABC ΔOPB ΔOPC 【详解】解：如图连接OB，OC，CF⊥y轴于F，过B作BE⊥y轴于E, ∵OA∥BC， ∴S OBC＝S ABC＝6， ∵P△B:PC 2△:1， ∴S OPB＝4，S OPC＝2， △ 1 △ ∵S OBE＝ 12=6, 2 △ ∴S 642, PBE CF  y轴，BE⊥y轴， CF//BE, ∵△BEP∽△CFP， S CP 1 ∴ CFP   , S PB 4 BEP 1 S  , CFP 2 1 3 ∴S OCF＝2  ， 2 2 △ ∴k 3． 【79淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·江苏盐城·统考中考真题 k 70．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数 y x x0 的图象上，延长AB交y轴于点 C，过点A作AD y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE.若AB2BC，BCE的面 积是4.5，则k的值为 . 【答案】6  k  k 【思路点拨】过点 B作 于点F，连接 ，设点A的坐标为a, ，点B的坐标为b, ，则 BF AD AE  a  b k k AB AF AF ab,BF   ，证明 ，则  ，得到 ，根据 ADa, b a ABF∽ACD AC AD a3b S ABE 2BCE9 进一步列式即可求出k的值.  k  k 【详解】解：过点 B作 于点F，连接 ，设点A的坐标为a, ，点B的坐标为b, ，则 BF AD AE  a  b k k AF ab,BF   ， ADa, b a ∵AB2BC， AB 2 ∴  ， AC 3 ∵AD y轴于点D， ∴CDBF， ∴ABF∽ACD， AB AF ∴  ， AC AD 【80淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AB ab 2 ∴   ， AC a 3 ∴a3b， ∵AB2BC，BCE的面积是4.5， ∴S 2BCE9， ABE 1 1 ∴ ADBF ADOD9， 2 2 1 k k 1 k ∴ a   a 9， 2 b a 2 a 1 k k  1 k 则 3b   3b 9， 2 b 3b 2 3b 3 1 1 即 k k k 9， 2 2 2 解得k 6 71．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，在RtOAB中，OBA90，OA在x轴上，AC平分OAB， k 平分 ， 与 相交于点 ，且 ， ，反比例函数 y (k0,x0) 的图 OD AOB AC OD E OC  5 CE 2 x 象经过点E，则k的值为 ． 18 【答案】 5 【思路点拨】通过作垂线构造直角三角形，根据直角三角形的两锐角的平分线的夹角为 45，求出 CEF 45，在Rt△CEF 中根据特殊锐角三角函数值可求出CF、EF，在Rt△COF 中，根据勾股定理求 S OG2 ( 5)2 5 9 出 ，再根据 ，得出 VFOG    ，进而求出S  ，最后根据反比例函 OF VFOG∽VHOE S VHOE OE2 (21)2 9 VHOE 5 数系数k的几何意义求出结果即可． 【详解】解：过点C作CF OD，垂足为F ，延长CF交OA于点G，过点E作EH OA，垂足为H，  AC平分OAB，OD平分AOB，OBA90， 【81淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 1 EOAEAO BOABAO 1809045CEF ， 2 2 在Rt△CEF 中，CEF 45，CE 2， 2 CF EF   2 1， 2 在Rt△COF 中，OC  5，CF 1， OF  OC2CF2 2， 在Rt△COF 和Rt△OGF中， QOFC OFG90，OF OF ，COF GOF ， RtVOCF≌RtVOGFASA ， OGOC  5，FCFG1， QOFG90OHE，FOGHOE， VFOG∽VHOE， S OG2 ( 5)2 5  VFOG    ， S OE2 (21)2 9 VHOE 1 又QS  121， VFOG 2 1 9 S  k  ， VHOE 2 5 18 k  ( 负值舍去 5 ) 72．诺贝尔物理学奖是有关于“复杂系统的理解”，我们可以用动力系统的方法来研究复杂系统．已知直 3 y 线yx2，双曲线 x ，点A 1 （1，－1），我们从A 1 点出发构造无穷点列A 2 （x 2 ，y 2 ），A 3 （x 3 ， y）…构造规则为：若点An（x，y）在直线yx2上，那么下一个点A （x ，y ）就在双曲 3 n n n＋1 n＋1 n＋1 3 3 y y 线 上，且x ＝x；若点An（x，y）在双曲线 上，那么下一个点A （x ，y ）就在 x n＋1 n n n x n＋1 n＋1 n＋1 直线yx2上，且y ＝y，根据规则，点A 的坐标为 ．无限进行下去，无限接近的点的坐标 n＋1 n 3 ． 【82淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 （5，3） （3，1） 【思路点拨】先根据题意求出A 从而可以求出A 的坐标，从而求出A ，A ，A ，A 的坐标，可以发现 2 3 4 5 6 7 结合函数图象可知此时这个点列慢慢的向一次函数与反比例函数的交点靠近，则无限进行下去，无限接近 的点的坐标即为一次函数与反比例函数的交点，由此求解即可． 【详解】解：∵点A（1，－1）满足一次函数解析式yx2，即点A 在直线yx2上， 1 1 3 ∴点 的横坐标为1且点 在反比例函数y 上， A A x 2 2 ∴点A 的纵坐标为3， 2 ∴点A 的纵坐标为3，且点A 在直线yx2上， 3 3 ∴点A 的横坐标为5， 3 ∴点A 的坐标为（5，3）， 3  3 13 3 13 15 41 15 同理点 的坐标为5， ，A  ， ，A  ，  ，A  ， ， A  5 5  5 5 6  5 13 7 13 13 4 结合函数图象可知此时这个点列慢慢的向一次函数与反比例函数的交点靠近， ∴无限进行下去，无限接近的点的坐标即为一次函数与反比例函数的交点， yx2  联立 3 ，解得x3或x1（舍去），故答案为：（5，3），（3，1）．  y    x y1 y3 2022·江苏镇江·统考中考真题 k 73．如图，一次函数 y2xb 与反比例函数y x k 0 的图像交于点A1,4，与y轴交于点 B ． 【83淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)k_________，b_________； k (2)连接并延长 AO ，与反比例函数y x k 0 的图像交于点 C ，点 D 在y轴上，若以 O 、 C 、 D 为顶点 的三角形与AOB相似，求点D的坐标． 【答案】(1)4，2  17 (2)点 D 的坐标为0,2、  0, 2   【思路点拨】对于（1），将点A的坐标代入两个关系式，即可得出答案； 对于（2），先求出AO，BO，CO，再确定点D的位置，然后分两种情况COD∽AOB和COD∽BOA， 再根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可． 【详解】（1）将点A（1，4）代入一次函数y=2x+b，得 42b， 解得b2， 一次函数的关系式为y2x2； k 将点A（1，4）代入反比例函数y ，得 x 4  k， 4 反比例函数的关系式为y ． x 故答案为：4，2； （2）点A与点C关于原点对称，可知点C的坐标是（-1，-4）． 当x=0时，y=2， ∴点B（0，2）， ∴OB=2． 根据勾股定理可知AO CO 12  42  17． 当点D落在 y 轴的正半轴上，则CODABO， ∴△COD与ABO不可能相似． 【84淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y 当点D落在 轴的负半轴上， 若COD∽AOB， CO DO CD 则   . AO BO AB ∵CO AO， ∴BODO2， ∴D0,2 ； OD OC 若 ，则  ． COD∽BOA OA OB ∵OACO 17 ，BO2， 17 ∴DO ， 2  17 ∴D0, ．  2   17 综上所述：点 D 的坐标为0,2、  0, 2   ． 2023·江苏镇江·统考中考真题 k 74．如图，正比例函数 y3x 与反比例函数y x k 0 的图象交于A，B1,m两点，点C在x轴负半轴 上，ACO45． (1)m______，k______，点C的坐标为______． (2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与AOC相似，求点P的坐标． 【答案】(1)3，3， 4,0 5  (2)点P的坐标为4,0或 2 ,0  【思路点拨】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原 点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐 标． （2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三 【85淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论： ①AOC∽BOP；② AOC∽POB．分别求出两种情况下OP的长，从而得出点P的坐标． 【详解】（1）（1）将B1,m 代入y3x，得m313， ∴B1,3 ． k k 将B1,3代入y ，得3 ， x 1 ∴k 3． 如图，过点A作ADx轴于点D，则ADC 90． ∵点A，B关于原点O对称， ∴A1,3 ， ∴OD1，AD3． 又∵ACO45， ∴CD AD3， ∴OC ODCD134， ∴C4,0 ． 故答案为：3，3， 4,0 ； （2）由（1）可知，B1,3 ，A1,3 ． 当点P在x轴的负半轴上时，BOP90， ∴BOPAOC． 又∵BOPACO，BOPCAO， ∴△BOP与AOC不可能相似． 当点P在x轴的正半轴上时，AOC BOP． OA OC ①若 ，则  ， AOC∽BOP OB OP ∵OAOB， ∴OPOC 4， ∴P4，0 ； OA OC ②若 ，则  ， AOC∽POB OP OB 又∵OA 1232  10，OB 1232  10， ， OC 4 【86淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 5 ∴OP ， 2 5  ∴P ,0． 2  5  综上所述，点P的坐标为 或 ,0． 4，0 2  2023·山东泰安·统考中考真题 k y  75．如图，一次函数y 1 2x2的图象与反比例函数 2 x 的图象分别交于点 A ，点 B ，与y轴， x 轴分 别交于点C，点D，作AEy轴，垂足为点E，OE4． (1)求反比例函数的表达式； y  y x (2)在第二象限内，当 1 2时，直接写出 的取值范围； (3)点P在x轴负半轴上，连接PA，且PA AB，求点P坐标． 4 【答案】(1)y ；(2) ；(3)9,0． x 1x0 【思路点拨】（1）求出点A坐标，即可求出反比例函数解析式； （2）观察图象特点，即可得出取值范围； （3）先证明三角形相似，再根据相似三角形的性质求出线段PD长，最后由线段和差即可求出OP的长． 【详解】（1）∵OE 4，AE y轴， ∴E0,4 ，点 A 的纵坐标为4， ∵点A在y 1 2x2图象上， ∴当y4时，42x2，解得：x1， ∴点 坐标为 1,4 ， A k ∵反比例函数y  的图象过点 ， 2 x A ∴k 144， 4 ∴反比例函数的表达式为：y ； x 【87淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）如图，在第二象限内，当y  y 时，1x0， 1 2 （3）如图，过A作AM x轴于点M ， ∵AE y轴， ∴AEOEOM OMA90， ∴四边形AEOM 是矩形， ∴AM OE4，OM  AE 1， ∵PA AB， ∴PAD90，即：PAM DAM 90， ∵DAM ADM 90， ∴PAM ADM ， ∴DAM APD， ∴PAD∽AMD， AD PD ∴  ， MD AD 由y2x2得：y0时，2x20，解得：x1， ∴点D1,0 ， ∴AD 112402 2 5， ， MD2 2 5 PD ∴  ， 2 2 5 ∴PD10， ∴点P9,0 【88淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·四川成都·统考中考真题 k 76．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与y轴交于点A，与反比例函数y 的图象的一个 xOy yx5 x 交点为B(a,4)，过点B作AB的垂线l． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且ABC的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△ PDE，使它与PAB位似，相似比为m．若点D，E恰 好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 4 【答案】(1)点A的坐标为 ，反比例函数的表达式为y ； (0,5) x (2)点C的坐标为(6,9)或(4,1)  1 11 (3)点P的坐标为 , ；m的值为3  4 4  【思路点拨】（1）利用直线yx5解析式可的点C的坐标，将点B(a,4)代入yx5可得a的值，再 将点B代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解； （2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是AB的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法 1 求直线l的解析式 y=x+3 ，C点坐标为t，t3，根据S △ABC = 2 AM�x B =x C 5( x ,x 分别代表点B与 B C 点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解； （3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对 应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到E4,1 ，由△PAB∽△PDE得到AB∥DE，继而 得到直线 AB 与直线DE的解析式中的一次项系数相等，设直线DE的解析式是：yxb 2 ，将E4,1 代入yxb 2 求得DE的解析式是：y=x5，再将直线DE与双曲线的解析式联立求得D1,4 ，再 用待定系数法求出AD的解析式是y9x5，利用直线AD的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐 【89淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  1 11 5 15 EP 标为 , ，再用两点间的距离公式得到BP 2 ，EP 2从而求得m 3．  4 4  4 4 BP 【详解】（1）解：令x0，则yx55 ∴点A的坐标为(0,5)， 将点B(a,4)代入yx5得：4a5 解得：a1 ∴B(1,4) k k 将点 代入y 得：4 B(1,4) x 1 解得：k 4 4 ∴反比例函数的表达式为y ； x （2）解：设直线l于y轴交于点M，直线yx5与x轴得交点为N， 令yx50解得：x5 ∴N(5,0)， ∴OAON 5， 又∵AON 90， ∴OAN 45 ∵A(0,5)，B(1,4) ∴AB 102452  2 又∵直线l是AB的垂线即ABM 90，OAN 45， ∴ABBM  2，AM  AB2BM2 2 ∴M0,3 设直线l的解析式是：yk xb ， 1 1 k b 4 1 1 将点 ，点 代入 得： M0,3 B(1,4) yk xb b 3 1 1 1 【90淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 k 1 1 解得： b 3 1 ∴直线l的解析式是：y=x+3， 设点C的坐标是 t，t3 1 1 ∵S = AM�x =x 创 2- 1=t 5，( 分别代表点B与点C的横坐标) △ABC 2 B C 2 x ,x B C 解得： t 4或6， 当t 4时，t31； 当t6时，t39， ∴点C的坐标为(6,9)或(4,1) （3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线， ∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D， 4 ∴点E是直线l与双曲线y 的另一个交点， x  4 y 将直线l与双曲线的解析式联立得： x  yx3 x1 x4 解得： 或 y4 y1 ∴E4,1 画出图形如下： 又∵△PAB∽△PDE ∴PABPDE ∴AB∥DE ∴直线AB与直线DE的解析式中的一次项系数相等， 设直线DE的解析式是：yxb 2 将点E4,1 代入yxb 得：14b 2 2 解得：b 5 2 【91淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴直线DE的解析式是：y=x5 4 ∵点D也在双曲线y 上， x 4 ∴点D是直线 与双曲线y 的另一个交点， DE x  4 y 将直线 与双曲线的解析式联立得： x DE  yx5 x1 x4 解得： 或 y4 y1 ∴D1,4 设直线AD的解析式是：yk 3 xb 3 k b 4 3 3 将点 ， 代入 得： A(0,5) D1,4 yk xb b 5 3 3 3 k 9 1 解得： b 5 1 ∴直线AD的解析式是：y9x5， y9x5 又将直线 的解析式与直线l的解析式联立得： AD yx3  1 x   4 解得： 11 y  4  1 11 ∴点P的坐标为 ,   4 4   1  2 11  2 5 ∴BP  1  4  2  4   4  4  1  2 11  2 15 EP  4  1  2      4  4  4 EP ∴m 3 BP 题型十 反比例函数与一次函数综合 【题型梳理】 1、比大小，2、由交点个数求参数的值或范围，3、一次函数平移后相关问题；4、与几何结合 【92淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 77．定义：在平面直角坐标系 中，函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于 的点，叫做该函 数图象的“n阶积点”．例如，点 为一次函数 图象的“ 阶积点”．若y关于x的 一次函数 图象的“n阶积点”恰好有3个，则n的值为 ． 【答案】1或3 【思路点拨】设点 是一次函数 图象上的“n阶积点”，得出 ，则 ，推出 ，一次函数 经过一、三象限，易得 经过一、三象限，一次函数 经 过一、三象限，则 函数图象与 函数图象有 2 个交点；根据 y 关于 x 的一次函数 图象的“n阶积点”恰好有3个，得出 函数图象与 函数图象有1个交点， 则方程 ，有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 当 时， ，即一次函数 经过点 ， ∵y关于x的一次函数 图象上存在“n阶积点”， 设点 是一次函数 图象上的“n阶积点”， ∴ ，则 ， ∴ ，一次函数 经过一、三象限， ∴ 或 ， ∵ 经过一、三象限，一次函数 经过一、三象限， ∴ 函数图象与 函数图象有2个交点； ∵y关于x的一次函数 图象的“n阶积点”恰好有3个， ∴ 函数图象与 函数图象有1个交点， 联立得： ， 则 ， 整理得： ， 【93淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ，解得： 或3 1 k 78．（2023·江西吉安·校考三模）如图，一次函数 y x3 的图象与反比例函数y x0 于点B，与x轴 2 x k y x0 交于点A，与y轴交于点D，C为反比例函数 x 的图象上的点，且CA AB于点A (1)求△AOD的面积． (2)若AC 2AB，求k的值． 【答案】(1)9 432 (2) 25 【思路点拨】（1）由一次函数的解析式求得A、D的坐标，然后利用三角形面积公式即可求解； （2）作 BE⊥x轴于 E， CF x轴于 F，设 Bm，n ，则 BEn， OEm， AEm6 ，通过证得 △ABE∽△CAF ，求得 CF 2m12 ，AF 2n， OF OAAF 62n ，即可得出C62n，2m12 ，由反比 k 1 例函数y x0的图象经过B、C点，得出k mn62n2m12，根据一次函数y x3的图象经 x 2 1 过点B，即可得出n m3，即可得出 ，代入mn62n2m12得到关于n的方程，解方程 2 m2n6 求得n的值，进一步求得m的值，由k mn即可求得k的值． 1 【详解】（1）解：令 ，则y x33， x0 2 1 令 ，则 x30，解得 ， y0 2 x6 ∴A6，0 ，D0，3 ， ∴OA6，OD3， 1 1 ∴ 的面积 OAOD 639； △AOD 2 2 （2）解：作BE⊥x轴于E，CF x轴于F，如图所示： 【94淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 设Bm，n ，则BEn，OEm， ∵OA6， ∴AEm6， ∵CA AB于点A， ∴CAFBAE 90， ∵BAEABE90， ∴CAF ABE， ∵AFC BEA， ∴△ABE∽△CAF ， CF AF AC CF AF ∴   2，即  2， AE BE AB m6 n ∴CF 2m12，AF 2n， ∴OF OAAF 62n， ∴C62n，2m12 ， k ∵反比例函数y x0的图象经过B、C点， x ∴k mn62n2m12 ， 1 ∵n m3， 2 ∴m2n6， ∴ 2n6n62n4n， 9 解得n 1  5 ，n 2 0（舍去）， 48 ∴m2n6 ， 5 48 9 432 ∴k mn   ． 5 5 25 2023·山东淄博·统考中考真题 m 79．如图，直线 ykxb 与双曲线 y  x 相交于点A2,3，Bn,1． 【95淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线AB向下平移至 CD 处，其中点 C2,0 ，点 D 在 y 轴上．连接 AD ， BD ，求 △ABD 的面积； m (3)请直接写出关于 的不等式kxb 的解集． x x 6 1 【答案】(1)y ，y x4 x 2 (2)10 (3)2x6 m 【思路点拨】1将 A2,3代入双曲线y x ，求出 m 的值，从而确定双曲线的解析式，再将点Bn,1代 6 入y ，确定 点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可； x B 1 2由平行求出直线 CD 的解析式为y 2 x1,过点 D 作 DG AB 交于 G ，设直线 AB 与 y 轴的交点为 H ， 2 2 与 轴的交点为 , 可推导出 , 再由 cosHFO ，求出DG DH 2 5,则 的 x F HDGHFO 5 5 ABD 1 面积  2 52 5 10; 2 3 数形结合求出x的范围即可. m 【详解】（1）将A2,3代入双曲线y ， x ∴m6, 6 ∴双曲线的解析式为y ， x 6 将点Bn,1代入y ， x ∴n6, ∴B6,1 , 将A2,3,B6,1 代入ykxb, 【96淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2kb3  ， 6kb1  1 k  解得 2 ，   b4 1 ∴直线解析式为y x4； 2 （2）∵直线AB向下平移至CD, ∴ABCD, 1 1 设直线 的解析式为y xn，将点C2,0代入y xn, CD 2 2 ∴1n0解得n1 1 ∴直线 的解析式为y x1 CD 2 ∴D0,1 过点D作DG AB交于G, 设直线AB与 y 轴的交点为H，与x轴的交点为 F , ∴H0,4,F8,0 , ∵HFOOHF 90,OHGHDG90, ∴HDGHFO, ∵OH 4,OF 8, HF 4 5， 2 cosHFO ， 5 ∵DH 5， 2 DG DH 2 5， 5  AB2 5， 1 ∴ 的面积 2 52 5 10 ABD 2 【97淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 6 （3）由图可知 时, x1 . 2x6 2 x 2022·江苏徐州·统考中考真题 8 y (x0) 80．如图，一次函数ykxb(k 0)的图像与反比例函数 x 的图像交于点 A ，与x轴交于点 B ， 与 y 轴交于点C，ADx轴于点D，CBCD，点C关于直线AD的对称点为点E． (1)点E是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由； (2)连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形． ①求k、b的值； y PEPB ②若点P在 轴上，当 最大时，求点P的坐标． 【答案】(1)点E在这个反比例函数的图像上，理由见解析 (2)①k 1，b2；②点P的坐标为(0,2) 8 【思路点拨】（1）设点 的坐标为(m, )，根据轴对称的性质得到 ， 平分 ，如图，连接 A m ADCE AD CE CE交 AD于 H，得到CH EH ，再结合等腰三角形三线合一得到CH 为ACD边 AD上的中线，即  4  4 ，求出Hm, ，进而求得E(2m, )，于是得到点 在这个反比例函数的图像上； AH HD  m m E 1 8 （2）①根据正方形的性质得到 ， 垂直平分 ，求得CH  AD，设点 的坐标为(m, )， ADCE AD CE 2 A m 得到m2（负值舍去），求得A(2,4)，C(0,2)，把A(2,4)，C(0,2)代入ykxb得，解方程组即可得到结 论；②延长ED交y轴于 P ，根据已知条件得到点 B 与点D关于y轴对称，求得 PEPD  PEPB ，则 点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为yx2，于是得到结论． 【详解】（1）解：点E在这个反比例函数的图像上． 理由如下： 8 一次函数 的图像与反比例函数y (x0)的图像交于点 ，  ykxb(k 0) x A 【98淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 8 设点 的坐标为(m, )，  A m 点C关于直线AD的对称点为点E， ADCE，AD平分CE， 连接CE交AD于H，如图所示： CH EH，  ADx轴于D， CE∥x轴，ADB90， CDOADC 90， CBCD， CBOCDO， 在RtABD中，ABDBAD90， CADCDA， CH 为ACD边AD上的中线，即AH HD，  4  Hm, ，  m 4 E(2m, )， m 4 2m 8， m 点E在这个反比例函数的图像上； （2）解：①四边形ACDE为正方形， ADCE，AD垂直平分CE， 1 CH  AD， 2 8 设点 的坐标为(m, )， A m 8 ，AD ， CH m m 1 8 m  ， 2 m m2（负值舍去）， A(2,4)，C(0,2)， 【99淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2kb4 把 ， 代入 得 ， A(2,4) C(0,2) ykxb b2 k 1  ； b2 y ②延长ED交 轴于P，如图所示： CBCD，OCBD， y 点B与点D关于 轴对称，  PEPD  PEPB ，则点 即为符合条件的点， P 由①知，A(2,4)，C(0,2)， D(2,0)，E(4,2)， 设直线DE的解析式为yaxn， 2an0 a1  ，解得 ， 4an2 n2 直线DE的解析式为yx2， 当x0时，y=2，即 0,2 ，故当 PEPB 最大时，点 P 的坐标为(0,2)． 2022·四川绵阳·统考中考真题 k y 2 81．如图，一次函数yk 1 xb与反比例函数 x 在第一象限交于M(2,8)、 N 两点， NA 垂直x轴于点 A，O为坐标原点，四边形OANM 的面积为38． 【10淘0 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使PMN的面积最小时点P的位置（不需证 明），并求出点P的坐标和PMN面积的最小值． 16 【答案】(1)y ， ； x yx10 (2)P(4,4)，S =54． △PMN 【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，再利用四边形OANM 的面积为38．求出 N8,2 ，进一步利用待定系数法即可求出一次函数解析式； 16 （2）平移一次函数与y 在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短， 的面积最小，设 x PMN 16 平移后的一次函数解析式为： ，联立y ，解得： ，进一步求出： ，即 yxa x a=8 x=4 P(4,4) 连 接 PM ， PN ， 过 点 P 作 PBNA的 延 长 线 交 于 点 B ， 作 MC PB交 于 点 C ， 根 据 S △PMN S △PMC S 四边形MCBN S △PNB 以及点的坐标即可求出PMN的面积． k 【详解】（1）解：∵ 在y 2 上， M(2,8) x 16 ∴ ，即反比例函数解析式为：y ， k 16 x 2 16 设N(n, )， n ∵四边形OANM 的面积为38． 1 116  ∴ 28  8n238，整理得： ， 2 2 n  2n215n80 1 解得：n= （舍去）， ， 2 n=8 【10淘1 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴N8,2 ， 2k b8 k 1 将 N8,2 和 M(2,8) 代入 yk 1 xb 可得： 8k 1 1 b2 解得： b 1 10 ， ∴一次函数解析式为：yx10． 16 （2）解：平移一次函数 到第三象限，与y 在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离 yx10 x 最短，PMN的面积最小， 16 16 设平移后的一次函数解析式为： ，联立y 可得：xa ，整理得： ， yxa x x x2ax16=0 ∵有唯一交点P， ∴=a24116=0，解得：a=8或a=8（舍去）， 将a=8代入x2ax16=0得：x28x16=0，解得：x=4 16 经检验： 是分式方程xa 的根， x=4 x ∴P(4,4)， 连接PM，PN，过点P作PBNA的延长线交于点B，作MC PB交于点C， 则：S S S S ， △PMN △PMC 四边形MCBN △PNB ∵P(4,4)，N8,2 ，M(2,8)， 1 ∴S = 4284=36， △PMC 2 1 S = 6126=54， 四边形MCBN 2 1 S = 2484=36， △PNB 2 ∴S S S S =365436=54． △PMN △PMC 四边形MCBN △PNB 2022·四川资阳·中考真题 6 y  82．如图，一次函数y kxb的图象与反比例函数 2 x 的图象交于点 A(1,m) 和点 B(n,2) ． 1 【10淘2 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求一次函数的表达式； x0 y  y 1 2 (2)结合图象，写出当 时，满足 的x的取值范围； (3)将一次函数的图像平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图像与平移后的 一次函数图像无交点． 【答案】(1)一次函数的表达式为y2x4 (2)x1 1 (3)y x 【思路点拨】（1）将A、B两点的坐标解出来，然后利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）当x0，求得一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应x的即可； （3）将一次函数平移后即可得到新的一次函数的解析式，根据一次函数图像即可判断反比例函数的系数k， 进而得到反比例函数的解析式． 6 6 【详解】（1）解：由题意得：m 6，2 ， 1 n ∴m6,n3， ∴A(1,6),B(3,2)， kb6 由题意得 ， 3kb2 k 2 解得： ， b4 ∴一次函数的表达式为：y2x4； （2）解：由图像可知，当x0时， 一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应x的值为x1， 当x0时，满足y  y 的x的取值范围为x1； 1 2 （3）解：一次函数y2x4的图像平移后为y2x， 函数图像经过第一、三象限， 要使正比例函数y2x与反比例函数没有交点， 则反比例的函数图像经过第二、四象限，则反比例函数的k 0， 当k 1时，满足条件， 【10淘3 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 反比例函数的解析式为y ．  x 2023·黑龙江大庆·统考中考真题 k 83．一次函数 yxm 与反比例函数y x 的图象交于 A ， B 两点，点 A 的坐标为1，2． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求OAB的面积； k (3)过动点Tt，0作 x 轴的垂线 l ， l 与一次函数 yxm 和反比例函数y x 的图象分别交于 M ， N 两点， 当M 在N 的上方时，请直接写出t的取值范围． 2 【答案】(1)一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为y yx3 x 3 (2) 2 (3)t0或1t2 【思路点拨】（1）把A  1，2  分别代入一次函数和反比例函数求出m、k 的值即可得到答案； yx3  （2）联立 2 求出点 的坐标，令直线 与 交于点 ，由直线 求出点 的坐标，最后由 y   x B AB x C AB C 1 1 S S S  OCy  OCy ，进行计算即可得到答案； AOB AOC BOC 2 A 2 B （3）直接由函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把A  1，2  代入一次函数yxm， 【10淘4 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 得1m2， 解得：m3， 一次函数的解析式为：yx3， k 把A  1，2 代入反比例函数y ， x k 得 2， 1 解得：k 2， 2 反比例函数的解析式为：y ；  x yx3  （2）解：联立 2 ， y   x x1 x2 解得： 或 ， y2 y1 B2，1 ， 令直线AB与x交于点C，如图， ， 当y0时，x30， 解得：x3， C3，0 ， 1 1 1 1 3 S S S  OCy  OCy  32 31 AOB AOC BOC 2 A 2 B 2 2 2 （3）解：由图象可得： 【10淘5 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 当M 在N 的上方时，t的取值范围为：t0或1x2． 2023·湖北黄冈·统考中考真题 1  m A(4,1),B ,a y  (x0)   84．如图，一次函数y 1 kxb(k 0)与函数为 2 x 的图象交于 2 两点． (1)求这两个函数的解析式； y y 0 1 2 (2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围； y △POQ (3)点P在线段 AB 上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数 2的图象于点Q，若 面积为3，求 点P的坐标． 4 【答案】(1) ，y  (x0) y 2x9 2 x 1 1 (2) x4 2 【10淘6 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 5  (3)点P的坐标为2,5或 2 ,4  m 【思路点拨】（1）将 代入y  (x0)可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将 A(4,1) 2 x A(4,1) 和点B坐标代入y kxb(k 0)即可求出一次函数解析式； 1 （2）直线AB在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； p x p （3）设点P的横坐标为 ，代入一次函数解析式求出纵坐标，将 代入反比例函数求出点Q的纵坐标， 进而用含p的代数式表示出PQ，再根据 △POQ面积为3列方程求解即可． m m 【详解】（1）解：将 代入y  (x0)，可得1 ， A(4,1) 2 x 4 解得m4， 4 反比例函数解析式为y  (x0)；  2 x 1  4 B ,a在y  (x0)图象上，  2  2 x 4 a 8 1 ，  2 1  B ,8，  2  1  将 ，B ,8代入 ，得： A(4,1) 2  y kxb 1 4kb1  1 ， kb8  2 k 2 解得 ， b9 一次函数解析式为y 1 2x9； 1 （2）解： x4，理由如下： 2 1  由（1）可知A(4,1),B ,8， 2  当y y 0时，y  y ， 1 2 1 2 1 此时直线 在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为 x4， AB 2 1 即满足y y 0时，x的取值范围为 x4； 1 2 2 p （3）解：设点P的横坐标为 ， 将x p代入y 2x9，可得y 2p9， 1 1 Pp,2p9 ．  【10淘7 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 4 4 将 代入y  (x0)，可得y  ， x p 2 x 2 p  4 Qp, ．   p 4 PQ2p9 ，  p 1 1  4 S  PQx  2p9 p3，  POQ 2 P 2  p 整理得2p29p100， 5 解得 ，p  ， p 2 2 2 1 当p2时，2p92295， 5 5 当p 时，2p92 94， 2 2 5   点P的坐标为2,5或 2 ,4  ． 题型十一 反比例函数中的探究类问题 2023·山东济南·统考中考真题 85．综合与实践 8m2 ABCD 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 的矩形地块 种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用 木栏围住，木栏总长为am2． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若a10，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设AB为 xm ， BC 为 ym ．由矩形地块面积为 8m2 ，得到 xy8 ，满足条件的 x,y 可看成是反比例函数 8 y x 10m 2xy10 x,y 【10淘8 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 8 y x 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 10m ，得到 2xy10 ，满足条件的x,y可看成一次函 y2x10 x,y 数 的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的 就可以看成两个函数图象交点 的坐标． 8 如图2，反比例函数 y x x0 的图象与直线l 1 ：y2x10的交点坐标为1,8和_________，因此，木 栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB1m，BC 8m；或AB___________m，BC  __________m． （1）根据小颖的思路点拨思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若a6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y2xa．发现直线y2xa可以看成是直线y2x通过 8 平移得到的，在平移过程中，当过点2,4时，直线y2xa与反比例函数 y x x0 的图象有唯一交 点． y2xa 2,4 a （3）请在图2中画出直线 过点 时的图象，并求出 的值． 【拓展应用】 8 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“ 与y 图象在第一象限内交 y2xa x 点的存在问题”． 【10淘9 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1） 4,2 ；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，a 8；（4）8a17 【思路点拨】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据a6得出，y2x6，在图中画出y2x6的图象，观察是否与反比例函数图像有交点， 若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点 2,4 作l 的平行线，即可作出直线 y2xa的图象，将点 2,4 代入y2xa，即可求出a 1 的值； 8 （4）根据存在交点，得出方程2xa a0 有实数根，根据根的判别式得出 ，再得出反比例函 x a8 8 数图象经过点1,8，8,1，则当 y2xa 与y x 图象在点1,8左边，点8,1右边存在交点时，满足题 意；根据图象，即可写出取值范围． 8 【详解】解：（1）∵反比例函数y x x0 ，直线l 1 ： y2x10 ，  8 y ∴联立得： x ，  y2x10 x 1 x 4 1 2 解得： ， ， y 8 y 2 1 2 ∴反比例函与直线l ：y2x10的交点坐标为 1,8 和 4,2 ， 1 当木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB1m，BC 8m；或AB4m，BC 2m． 故答案为： 4,2 4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为6m， ∴2xy6，则y2x6， 画出直线y2x6的图象，如图中l 所示： 2 8 ∵ 与函数y 图象没有交点， l x 2 ∴不能围出面积为8m2的矩形； （3）如图中直线l 所示，l 即为y2xa图象， 3 3 将点 2,4 代入y2xa，得：422a， 解得a 8； 【110淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 8 （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与y 图象在第一象限内交点的存在 y2xa x 问题， 8 即方程2xa a0 有实数根， x 整理得：2x2ax80， ∴a24280， 解得：a8， 8 8 把 代入y 得：y 8， x1 x 1 ∴反比例函数图象经过点 1,8 ， 8 8 把 代入y 得：1 ，解得： ， y1 x x x8 ∴反比例函数图象经过点 8,1 ， 令A1,8 ，B8,1，过点A1,8 ，B8,1分别作直线l 的平行线， 3 8 由图可知，当 与y 图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意； y2xa x 【111淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 把 8,1 代入y2xa得：116a， 解得：a17， ∴8a17． 2023·江苏连云港·统考中考真题 86．【问题情境 建构函数】 ABCD AB4,M CD AEBM E BC x,AE y （1）如图1，在矩形 中， 是 的中点， ，垂足为 ．设 ，试用 含x的代数式表示 y ． 【由数想形 新知初探】 （2）在上述表达式中， y 与x成函数关系，其图像如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图像是否具 有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像． 【数形结合 深度探究】 （3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值 y 随x的增大而增大； y 4 2  y4 2 ②函数值 的取值范围是 ；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四 点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序 号） 【抽象回归 拓展总结】 （4）若将（1）中的“AB4”改成“AB2k”，此时 y 关于x的函数表达式是__________；一般地， 【112淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 当k 0,x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质 （直接写出3条即可）． 4x x24 【答案】（1）y (x0)；（2） 取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称，见解 x24 x 2kx x2k2 析；（3）①④；（4）y (x0,k 0)，见解析 x2k2 4 y AB AE  【思路点拨】（1）证明 ，得出  ，进而勾股定理求得 ，即 ， RtABE∽RtBMC BM BC BM x24 x 整理后即可得出函数关系式； 4a a24 （2）若 Pa,b 为图像上任意一点，则b a24 ．设 Pa,b 关于原点的对称点为 Q ，则 Qa,b．当 4x x24 xa 时，可求得 yb ．则 Qa,b也在y x24 的图像上，即可得证，根据中心对称的性质补 全函数图象即可求解； （3）根据函数图象，以及中心对称的性质，逐项思路点拨判断即可求解； （4）将（1）中的4换成2k，即可求解；根据（2）的图象探究此类函数的相关性质，即可求解． 【详解】（1）在矩形ABCD中，ABCBCM 90， ∴ABEMBC90． ∵AEBM ， ∴AEB90， ∴BAEABE90． ∴AEBBCM,MBC BAE． AB AE ∴ ，∴  ． RtABE∽RtBMC BM BC 1 1 ∵ ，点 是 的中点，∴CM  CD AB2． AB4 M CD 2 2 在Rt△ BMC中，BM  BC2CM2  x222  x24， 4 y 4x 4x x24 ∴  ．∴y  ． x24 x x24 x24 4x x24 ∴ 关于 的表达式为：y (x0)． y x x24 （2）x取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称． 理由如下： 4a a24 若 为图像上任意一点，则b ． Pa,b a24 设Pa,b关于原点的对称点为Q，则Qa,b ． 当xa时， 4a a2 4 4a a24 y  b． a2 4 a24 【113淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 4x x24 ∴ Qa,b也在y x24 的图像上． 4x x24 ∴当 取任意实数时，y 的图像关于原点对称． x x24 函数图像如图所示． （3）根据函数图象可得①函数值 y 随x的增大而增大，故①正确， ②由(1)可得函数值 y  AB，故函数值的范围为4 y4，故②错误； ③根据中心对称的性质，不存在一条直线与该函数图像有四个交点，故③错误； ④因为平行四边形是中心对称图形，则在图像上存在四点 A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形， 故④正确； 故答案为：①④． 2kx x2k2 （4） 关于 的函数表达式为y (x0,k 0)； y x x2k2 当k 0,x取任意实数时，有如下相关性质： 当k 0时，图像经过第一、三象限，函数值y随x的增大而增大，y的取值范围为2k  y2k； 当k 0时，图像经过第二、四象限，函数值y随x的增大而减小，y的取值范围为2k  y2k； 函数图像经过原点； 2022·湖北荆州·统考中考真题 4x21x0  y 4 87．小华同学学习函数知识后，对函数  x1或x0 通过列表、描点、连线，画出了如图1所示  x 的图象． － 3 1 1 x … －4 －2 －1    0 1 2 3 4 … 3 4 2 4 4 9 1 － 4 － y … 1 2 4 1 0 －2  … 3 4 4 4 3 1 【114淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 请根据图象解答：     x,y x,y (1)【观察发现】①写出函数的两条性质：______；______；②若函数图象上的两点 1 1 ， 2 2 满足 x x 0 y y 0 1 2 1 2 ，则 一定成立吗？______．（填“一定”或“不一定”） A1,4 B4,1 (2)【延伸探究】如图2，将过 ， 两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数 4 y x1 的图象交于点P，连接PA，PB． x ①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积； ②直接用含n的代数式表示△PAB的面积． 【答案】(1)①当x>0时，y随x的增大而减小；x1,x1 两段图象关于原点对称；（答案不唯一） ②不一定； 15 5 (2)①y=-x+3； ；② n． 2 2 【思路点拨】（1）①直接观察图象写出两条性质即可（答案不唯一）；②不成立举出反例即可； （2）求出AB所在直线解析式，利用函数图象平移规律即可求得直线l的解析式；求解△PAB的面积时， 以AB为底边，设直线AB与y轴交点记为C，如详解中图所示，过点C向直线l作垂线，垂足记为Q，因 为平行线之间的距离处处相等，所以AB边上的高为CQ，表示出CQ即可求出三角形面积． 【详解】（1）①观察函数图像可得其性质：当x>0时，y随x的增大而减小；x1,x1 两段图象关于原 点对称； 1 1 ②不一定，当x  时， ，当x  时， ，此时 ； 1 2 y 1 1 2 2 y 2 8 y 1 y 2 0 （2）①设AB所在直线解析式为：y=kx+b， kb4 将 ， 代入得， ， A1,4 B4,1 4kb1 【115淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 k 1 解方程组得 ， b3 则AB所在直线解析式为：y=-x+3， ∵n=3，向下平移三个单位后， 直线l解析式为：y=-x， 如下图所示，设直线AB与y轴交点记为C，则C点坐标为（0，3）， 过点C向直线l作垂线，垂足记为Q， 易知直线l过原点，且k=-1， ∴直线AB、直线l与x轴负方向夹角都为45°， 则∠COQ=90°-45°=45°，且OC=3， 3 2 在等腰直角 中，CQ=OCsin45°= ， COQ 2 则A、B两点之间距离为 (14)2[4(1)]2 5 2， 3 2 在 中以AB为底边，因为平行线之间的距离处处相等，所以AB边上的高为CQ= ， PAB 2 1 1 3 2 15 则S  ABCQ 5 2  ， △PAB 2 2 2 2 15 故直线l的解析式为y=-x+3，△PAB的面积为 ； 2 ②如下图所示，直线l与y轴交点记为D，则CD的长度即为向下平移的距离n， 由①知△CDQ'为等腰直角三角形， 2 则CQ' CDsin45 CD， 2 1 1 2 5 S  ABCQ'  5 2 n n． △PAB 2 2 2 2 【116淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2021·广东深圳·统考中考真题 1 88．探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、2倍、k倍． （1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______ （填“存在”或“不存在”）． （2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？ 同学们有以下思路： xy10  设新矩形长和宽为x、y，则依题意xy10，xy12，联立xy12 得x210x120，再探究根的情 1 况：根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的2 倍；如图也可用反比例函 12 数与一次函数证明l ： yx10 ，l ：y x ，那么， 1 2 ①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______． 【117淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 ②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的2 ，若存在，用图像表达； ③请直接写出当结论成立时k的取值范围：． 24 【答案】（1）不存在；（2）①存在；②不存在，见解析；③k� 25 【思路点拨】（1）直接求出边长为2的正方形周长与面积，再求出周长扩大2倍即边长扩大2倍时正方形 的面积，比较是否也为2倍即可； 5 （2）①依题意根据一元二次方程根的情况判断即可；②设新矩形长和宽为x、y，则依题意xy ， 2 xy3，联立，求出关于x、y的一元二次方程，判断根的情况；③设新矩形长和宽为x和y，则由题意 xy5k ，xy6k ，同样列出一元二次方程，利用根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）边长为2的正方形，周长为8，面积为4；当周长为其2倍时，边长即为4，面积为16，即 为原来的4倍，故不存在； （2）①存在； ∵x210x120的判别式0，方程有两组正数解，故存在； 12 从图像来看， ： ， ：y 在第一象限有两个交点，故存在； l yx10 l x 1 2  5 xy ②设新矩形长和宽为x、y，则依题意 5， ，联立 2得 5 ， xy 2 xy3  xy3 x2 2 x30 因为，此方程无解，故这样的新矩形不存在； 5 3 从图像来看， l 1 ：yx 2 ， l 2 ：y x 在第一象限无交点，故不存在； 24 ③k� ； 25 设新矩形长和宽为x和y，则由题意xy5k ，xy6k ， xy5k 24 联立 得 ， ，故k� ． xy6k x25kx6k 0 25k224k�0 25 2023·四川达州·统考中考真题 89．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电 【118淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 R 2Ω L L 流大小，完成控制灯泡 （灯丝的阻值 ）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电 U I  阻R、R 之间关系为 RR ，通过实验得出如下数据： L L R/Ω … 1 a 3 4 6 … I /A … 4 3 2.4 2 b … (1) _______， _______； a b 12 12 y x0 y x0 (2)【探究】根据以上实验，构建出函数 ，结合表格信息，探究函数 的图象 x2 x2 与性质． 12 y x0 ①在平面直角坐标系中画出对应函数 的图象； x2 ②随着自变量x的不断增大，函数值 y 的变化趋势是_________． 12 3  x6 (3)【拓展】结合（2）中函数图象思路点拨，当x0时， x2 2 的解集为________． 【答案】(1)2，1.5 y (2)①见解析；②函数值 逐渐减小 (3)x2或x0 【思路点拨】（1）根据解析式求解即可； 【119淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 12 【详解】（1）解：由题意，I  ， R2 12 当 时，由3 得 ， I 3 a2 a2 12 当 时，b 1.5， R6 62 故答案为：2，1.5； 12 （2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数y x0 的图象如图： x2 ②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值 y 逐渐减小， y 故答案为：函数值 逐渐减小； 3 （3）解：当 时，y 263，当 时， ， x2 2 x0 y6 12 3 ∴函数y x0与函数y x6的图象交点坐标为2,3，0,6， x2 2 3 在同一平面直角坐标系中画出函数y x6的图象，如图， 2 【12淘0 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 12 3 由图知，当 或 时，  x6， x2 x0 x2 2 12 3 即当 时，  x6的解集为 或 ， x0 x2 2 x2 x0 故答案为：x2或x0． 2023·浙江衢州·统考中考真题 90．视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应 着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b （mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视 1 力值 与分辨视角 （分）的对应关系近似满足n 0.510 ． n   探究2 当n1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．  b b 素材3 如图3，当 确定时，在A处用边长为 1 的I号“E”测得的视力与在B处用边长为 2 的Ⅱ号“E”测 得的视力相同． 探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【答案】探究1:检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm，视力值1.2所对应行 的“E”形图边长为6mm； 探究2:0.51.0； 【12淘1 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 18 探究3：检测距离为 时，视力值1.2所对应行的“ ”形图边长为 mm． 3m E 5 7.2 【思路点拨】探究1：由图象中的点的坐标规律得到 与 成反比例关系，由待定系数法可得n ，将 n b b 7.2 代入n 得： ； n1.2 b b6 1 探究2：由n ，知在自变量 的取值范围内， 随着 的增大而减小，故当 时， ，即可   n  n1.0 01.0 得0.51.0； 6 b 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得  2 ，即可解得答案． 5 3 【详解】探究1: 由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系， k k 设n (k 0)，将其中一点 代入得：0.8 ， b (9,0.8) 9 解得：k 7.2， 7.2 n ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；  b 7.2 将 代入n 得： ； n1.2 b b6 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm，视力值1.2所对应行的“E”形 图边长为6mm； 探究2: 1 n ，   在自变量的取值范围内，n随着的增大而减小， 当n1.0时，01.0， 0.510， 0.51.0； 探究 3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得 b b 1  2 ， 检测距离 检测距离 1 2 由探究1知b 6， 1 6 b 18  2 ，解得b   5 3 2 5 题型十二 反比例函数与与几何综合 91．如图，平面直角坐标系中，矩形 的顶点 在 轴负半轴上，边 与 轴交于点 ，连接 ， 轴，反比例函数 的图象经过点 ，及 边上一点 ， ，若 【12淘2 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，则 的值为 ． 【答案】 【思路点拨】根据矩形的性质、已知条件可得 、 、 均为等腰直角三角形，进而根据点 在坐标系中的位置设 ，并过 点作 于 ，再根据点与点之间的相对位置、反比例函数的 解析式用含 、 表示出 、 ，然后利用反比例函数的解析式得到关于 的方程， 解方程即可得解． 【详解】∵ ， ∴ 为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 为等腰直角三角形 设 ，则 ，过 点作 于 ，如图： ∴ ∴ ∴ ∵ 【12淘3 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴点 的横坐标为 、纵坐标为 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 或 （不合题意舍去） ∴ 2022·浙江湖州·统考中考真题 92．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上， 1 y tanABO3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是 x ，则 图像经过点D的反比例函数的解析式是 ． 3 【答案】y x 【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图： 【12淘4 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 OA ∵tanABO 3， OB 设OBx，OA3x， ∴点A为（3x，0），点B为（0，x）； ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD ABBC，DABABC 90， ∴ADFDAF DAFBAO， ∴ADF BAO， 同理可证：ADF BAOCBE， ∵AFDBOACEB90， ∴ADF ≌BAO≌CBE， ∴OAFDEB3x，OBFAEC x， ∴OEOF 2x， ∴点C的坐标为（x，2x），点D的坐标为（2x，3x）， 1 ∵点C在函数y 的函数图像上， x 1 ∴ ，即x2  ； 2x2 1 2 1 ∴2x3x6x2 6 3， 2 3 3 ∴经过点D的反比例函数解析式为y ；故答案为：y ． x x 2023·山东·统考中考真题 k 93．如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反比例函数 y x (x0) 的图象上．点 A 的坐标为 m,2 ．连接 OA,OB,AB．若OA AB,OAB90，则k的值为 ． 【答案】2 52/22 5 【思路点拨】过点A作CD y轴于点D，过点B作BC CD于点C，证明DAO≌CBA，进而根据全等 三角形的性质得出DACB,AC OD，根据点Am,2，进而得出B2m,2m ，根据点A,B在反比例函 【12淘5 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 k 数y (x0)的图象上．列出方程，求得 的值，进而即可求解． x m 【详解】解：如图所示，过点A作CD y轴于点D，过点B作BC CD于点C， ∴C CDO90， ∵OA AB,OAB90， ∴DAO90CABCBA ∴DAO≌CBA ∴DACB,AC OD ∵点 的坐标为 m,2 ． A ∴ACOD2，ADBC m ∴B2m,2m k ∵ 在反比例函数y (x0)的图象上， A,B x ∴2m2m2m 解得：m 51或m 51（舍去） ∴k 2m2 52 故答案为：2 52． 2023·四川内江·统考中考真题 94．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作ODE的轴对称图 k 形，对称轴 与线段 相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数y (x0)的图象上， MN DE x 1 S  点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为 OE 的中点，且 △EAF 4 ，则k的值为 ． 【12淘6 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】6 【思路点拨】连接BO，设AGEGa，由对称的性质知EC  AO AE 2a，AC EO4a，利用相似 1 三角形的判定和性质求得S  162，则 ，根据 以及反比例函数的几 △EOD 8 S 2 S S S △ACB △OCB △ACB △AOB 何意义求解即可． 【详解】解：连接BO， 设对称轴MN与x轴交于点G， ∵ODE与△CBA关于对称轴MN， ∴AGEG，AC EO，EC  AO， ∵点A为OE的中点， 设AGEGa，则EC  AO AE 2a， ∴AC EO4a， 1 ∵S  ， △EAF 4 1 1 ∴S  S  ， △EGF 2 △EAF 8 ∵GFOD， ∴△EFG∽△EDO， 1 ∴ S △EGF    EG  2 ，即 8    a   2 ， S EO S 4a △EOD △EOD 1 ∴S  162， △EOD 8 ∴S 2， △ACB ∵AC 4a，AO2a， ∴S S S 213， △OCB △ACB △AOB 【12淘7 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 ∴ k 3， 2 ∵k 0，∴k 6， 2023·浙江宁波·统考中考真题 a y (a0) 95．如图，点A，B分别在函数 图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点 x b D，E在函数y x (b0,x0)图象上， AEx 轴， BD∥y 轴，连接 DE,BE ．若 AC 2BC ， ABE 的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则ab的值为 ，a的值为 ． 【答案】 12 9 【思路点拨】如图，延长 BD， AE交于点Q，BD与x轴交于点K，而 AEx轴，BD∥y轴，可得  a   a  a   b bm a  ， 的面积是5，设Am, ，Bn, ，则Qn, ，Dn, ，E , ，利用面积 Q90 △BDE  m  n  m  n  a m 可得 babman10na①， nmab18n②，由OK∥AQ，AC 2BC，可得QK 2BK ，可得 n2m③，再利用方程思想解题即可． 【详解】解：如图，延长BD，AE交于点Q，BD与x轴交于点K，而AEx轴，BD∥y轴， ∴Q90， ∵ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14， ∴△BDE的面积是5，  a   a 设Am, ，Bn, ，  m  n 【12淘8 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  a   b bm a  ∴Qn, ，Dn, ，E ,   m  n  a m b a bm bm a a ∴BD  ，EQ n，AE m ，BQ  ， n n a a m n 1b abm  1 bm a a ∴    n5， m   9， 2n n a  2 a m n 整理得： babman10na①， nmab18n②， ∵OK∥AQ，AC 2BC， BK BC 1 ∴   ， QK AC 2 ∴QK 2BK ， a  a ∴ 2 ，则 ③， m  n n2m 把③代入②得：3mab182m ， ∴ab12，即ba12④， 把③代入①得： bab2a20a⑤， 把④代入⑤得：a9； 故答案为：12；9 2023·陕西·统考中考真题 96．如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边 BC上，BC 2CD，AB3．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式 是 ． 18 【答案】y x 【思路点拨】设正方形CDEF的边长为m，根据BC 2CD，AB3，得到B3,2m ，根据矩形对边相等得 到OC 3，推出E3m,m ，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到32m3mm，得到 18 ，推出y ． m3 x 【12淘9 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解：∵四边形OABC是矩形， ∴OC  AB3， 设正方形CDEF的边长为m， ∴CDCF EF m， ∵BC 2CD， ∴BC 2m， ∴B3,2m ，E3m,m ， k 设反比例函数的表达式为y ， x ∴32m3mm， 解得m3或m0（不合题意，舍去）， ∴B3,6 ， ∴k 3618， 18 ∴这个反比例函数的表达式是y ， x 18 故答案为：y ． x 2023·辽宁鞍山·统考中考真题 97．如图，在ABC中，BABC，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的 k y x0 反比例函数 x 的图象交AC于点E，过点E作EF x轴，垂足为点F．若点E为AC的中点， BD2AD，BFCF 3，则k的值为 ． 【13淘0 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】4 【思路点拨】过点 A作 AH x轴于点 H，证明△AHC∽△EFC，得 AH 2EF,CF HF，再根据 BFCF 3，可得BH 3，再证明△DOB∽△BHA，得到OB,OH 的长，设CF HF a，EF b，得到 A,E的坐标，根据两点在同一反比例函数上，可解得a的值，从而可得BABC5，再利用勾股定理解得 AH 4，从而求得k的值． 【详解】解：如图，过点A作AH x轴于点H，  EF  x轴， AH∥EF ， HAC FEC， △AHC∽△EFC，  E是AC的中点， AC HC   2， EC FC HF FC，  BFFC3， BFFC BFHF 3， 即BH 3， 同理可得△AHB∽△DOB，  BD2AD， AB BH 3    ， BD BO 2 BO2,OH BH BO1， 设FC a,EF b，则HF a，AH 2b， A1,2b,E1a,b ， QA,E都在反比例函数上， 【13淘1 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 12b1ab， 解得a1， BABC BH HFFC 5， 在Rt△ABH 中，AH  AB2BH2 4， A1,4 ， k 144， 故答案为：4． 2022·山东济南·统考中考真题 1 98．如图，一次函数y x1的图象与反比例函数y k x0的图象交于点Aa,3，与y轴交于点B． 2 x (1)求a，k的值； (2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB． ①求△ABC的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求 出所有符合条件的点P坐标． 【答案】(1)a4，k 12； (2)①8；②符合条件的点P坐标是 6,2 和 3,4 ． 1 k 【思路点拨】（1）将点Aa,3代入y x1，求出 ，即可得A4,3，将点A4,3代入y ，即 2 a4 x 可求出k； （2）①如图，过A作AM  x轴于点M ，过C作CN x轴于点N ，交AB于点E，求出C2,6 ，E2,2， 得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设Px,y  ，Qx ,0 ．分情况讨论：ⅰ、当四边形ABQP为平 1 1 2 行四边形时，ⅱ、当四边形APBQ为平行四边形时，计算即可． 1 【详解】（1）解：将点Aa,3代入y x1，得 ，A4,3， 2 a4 【13淘2 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 k 将点 A4,3代入y ，得 ， x k 4312 12 反比例函数的解析式为y ． x （2）解：①如图，过A作AM  x轴于点M ，过C作CN x轴于点N ，交AB于点E， ∴AM∥CN， ∵AC  AD， AM DA 1 ∴   ， CN DC 2 ∴CN 6， 12 ∴x  2， C 6 ∴C2,6 ， ∴E2,2， ∴CE 624， 1 1 ∴S S S  42 428． △ABC △ACE △BCE 2 2 ②分两种情况：设Px,y  ，Qx ,0 ． 1 1 2 ⅰ、如图，当四边形ABQP为平行四边形时， ∵点B向下平移1个单位、向右平移x 2 个单位得到点Q， ∴点A向下平移1个单位，向右平移x 2 个单位得到点P， 12 ∴y 312，x  6， 1 1 2 ∴P6,2 ． ⅱ、如图，当四边形APBQ为平行四边形时， 【13淘3 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵点Q向上平移1个单位，向左平移x 2 个单位得到点B， ∴点A向上平移1个单位，向左平移x 2 个单位得到点P， 12 ∴y 314，x  3， 1 1 4 ∴P3,4 ． 综上所述，符合条件的点 坐标是 6,2 和 3,4 P 2023·四川凉山·统考中考真题 99．阅读理解题： 阅读材料： 1 如图1，四边形 是矩形， 是等腰直角三角形，记 为 、 为 ，若tan ，则 ABCD △AEF BAE  FAD  2 1 tan ． 3 1 证明：设 ，∵tan ，∴ ， BEk 2 AB2k △AEB≌△EFCAAS 易证 ∴EC 2k,CF k， 【13淘4 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴FDk,AD3k DF k 1 ∴tan   ， AD 3k 3 1 1 若 时，当tan ，则tan ． 45 2 3 1 1 同理：若 时，当tan ，则tan ． 45 3 2 根据上述材料，完成下列问题： m 如图2，直线 与反比例函数y (x0)的图象交于点 ，与 轴交于点 ．将直线 绕点 顺 y3x9 x A x B AB A 时针旋转45后的直线与 y 轴交于点E，过点A作AM  x轴于点M ，过点A作AN  y轴于点N ，已知 OA5． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出tanBAM、tanNAE的值； (3)求直线AE的解析式． 12 1 1 1 【答案】(1)y (x0)，(2)tanBAM  ，tanNAE  ，(3)y x1 x 3 2 2 【思路点拨】（1）首先求出点B3,0 ，然后设Aa,3a9 ，在Rt△AOM 中，利用勾股定理求出a4， m 得到 A4,3，然后代入y (x0)求解即可； x 【13淘5 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）首先根据A4,3 ，B3,0 得到MO4，BO3，求出MB1，AM 3，然后利用正切值的概念求 BM 1 出 tanBAM   ，然后证明出四边形 是矩形，得到 ，然后由 AM 3 NOMA BAM NAE45 1 1 tanBAM  即可求出tanNAE  ； 3 2 1 （3）首先根据矩形的性质得到 ， ，然后利用tanNAE  求出 ，进而 AN OM 4 NO AM 3 2 NE 2 得到E0,1 ，然后设直线AE的解析式为ykxb，利用待定系数法将E0,1 和A4,3 代入求解即可． 【详解】（1）将y0代入y3x9得，x3， m ∴ B3,0，∵直线 y3x9 与反比例函数y x (x0)的图象交于点 A ， ∴设Aa,3a9 ， ∵AM  x，OA5， ∴在Rt△AOM 中，OM2AM2  AO2， ∴a23a92 52， 7 ∴解得 ，a  ， a 4 2 5 1 ∵点A的横坐标要大于点B的横坐标， 7 ∴a  应舍去， 2 5 ∴a4， ∴A4,3 ， m ∴将 A4,3代入y x (x0)，解得 m12 ； 12 ∴反比例函数的解析式为y (x0)； x （2）∵A4,3 ，B3,0 ， ∴MO4，BO3， ∴MB1，AM 3， ∵AM  x， BM 1 ∴tanBAM   ， AM 3 ∵AN  y，NOM 90， ∴四边形NOMA是矩形， ∴NAM 90， ∵将直线AB绕点A顺时针旋转45后的直线与 y 轴交于点E， ∴BAE45， ∴BAM NAE45， 1 ∵tanBAM  ， 3 【13淘6 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 ∴tanNAE  ； 2 （3）∵四边形NOMA是矩形， ∴AN OM 4，NO AM 3， 1 ∵ ，tanNAE  ， AN  y 2 NE 1 NE 1 ∴  ，即  ， AN 2 4 2 ∴解得NE 2， ∴OE ONNE 1， ∴E0,1 ， ∴设直线AE的解析式为ykxb， b1 ∴将 和 代入得， ， E0,1 A4,3 4kb3 b1  ∴解得 1， k    2 1 ∴直线 的解析式为y x1． AE 2 题型十三 反比例函数的找规律问题 2023·山东枣庄·统考中考真题 8 y (x0) 100．如图，在反比例函数 x 的图象上有P 1 ,P 2 ,P 3 ,P 2024 等点，它们的横坐标依次为1，2， 3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 S ,S ,S ,,S S S S S  1 2 3 2023 1 2 3 2023 ，则 ． 【13淘7 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023 【答案】 253 【详解】当x1时，P的纵坐标为8， 1 当x2时，P 2 的纵坐标为4， 8 当 x3 时，P 3 的纵坐标为 3 ， 当x4时，P 4 的纵坐标为2， 8 当 时， 的纵坐标为 ， P x5 5 5 … 则S 1(84)84； 1 8 8 S 1(4 )4 ； 2 3 3 8 8 S 1( 2) 2； 3 3 3 8 8 S 1(2 )2 ； 4 5 5 … 8 8 S   ； n n n1 8 8 8 8 8 8 8n S S S S 844  22   8  ， 1 2 3 n 3 3 5 n n1 n1 n1 82023 2023 ∴S S S S   ． 1 2 3 2023 2024 253 101．如图，点 加在x轴上，且 ，分别过点 作y轴的平行线与反比例函数 的图象分别交于点 ，分别 过点 作x轴的平行线，分别于y轴交于点 ，连接 ，那么图中从左到右第2022个阴影部分的面积为（ ） 【13淘8 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可知 ， ∵ 轴， 设图中阴影部分的面积从左向右依次为 …… 则 ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ •••， ∴第n个阴影部分的面积是： ， ∴图中从左到右第2022个阴影部分的面积为： ，故B正确 102．如图， ， ， ，…是分别以 ， ， ，…为直角顶点，一条直角边在x轴正 半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点 ， ， ，…均在反比例函数 的图象上，则 的值为（ ） 【13淘9 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B．900 C． D． 【答案】A 【详解】解：过C 、C 、C …分别作x轴的垂线，垂足分别为D、D、D… 1 2 3 1 2 3 则∠OD C =∠OD C =∠OD C =90°， 1 1 2 2 3 3 ∵三角形OAB 是等腰直角三角形， 1 1 ∴∠AOB=45°， 1 1 ∴∠OC D=45°， 1 1 ∴OD =C D， 1 1 1 其斜边的中点C 在反比例函数 上， 1 ∴C（2，2），即y=2， 1 ∴OD =DA=2， 1 1 1 ∴OA=2OD =4， 1 1 设AD=a，则C D=a 此时C （4+a，a），代入 得：a（4+a）=4， 1 2 2 2 2 解得：a= ，即：y= ， 2 同理：y= ， 3 y= ， 4 ......， y = ， 2021 ∴y+y+…+y =2+ + +...+ = ， 1 2 2021 故选A． 【14淘0 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 103．滑草是同学们喜欢的一项运动，滑道两边形如两条双曲线．如图，点 、 、 ……在反比例函数 的图象上，点 、 、 ，一反比例函数 的图象上， …… 轴，已知点 、 ……的横坐标分别为1、2……，令四边形 、 …的面积分别为 、 ……，若 ，则k的值为 ． 【答案】221 【详解】解：∵ …… 轴， ∴ 和 的横坐标相等， 和 的横坐标相等，…， 和 的横坐标相等， ∵点 ， …的横坐标分别为1，2，…， ∴点 ， …的横坐标分别为1，2，…， ∵点 ， ， …在反比例函数 的图象上，点 ， ， …反比例函数 的 图象上， ∴ ， ， ∴ ， 同理得： ， ，…， 【14淘1 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ， …， ∴ ， ∵ ， ∴ ，解得： 104．如图，已知等边 的顶点 在双曲线 上，点 的坐标为 ；在 的右侧作等边 ，顶点 在双曲线上，点 在 轴上；在 的右侧作等边 ，顶点 在双曲线上，点 在 轴上；…以此类推，点 的横坐标为 ． 【答案】` 【详解】解：如图所示，过点 作 于C， 设 ， ∵ 是等边三角形， ， ∴ ， ∴ ， ∵点 的坐标为 ， ∴ ， ∴ ， ∵顶点 在双曲线 上， ∴ ， 解得 或 （舍去）； 【14淘2 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ ， 同理可得 ， ∴ ， ……， ∴以此类推可知 ， ∴ ∴点 的横坐标为 ， 故答案为： ． 105．如图，线段 端点 、端点 ，曲线 是双曲线 的一部分，点 的横坐标是 ． 由点 开始，不断重复曲线“ ”，形成一组波浪线．已知点 ， 均在该 组波浪线上，分别过点 、 向 轴作垂线段，垂足分别为 和 ，则四边形 的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵线段 端点 、端点 ， 设线段 所在直线函数解析式为 ， ∴ ， 解得： ， 【14淘3 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴线段 所在直线函数解析式为 ， ∵曲线 是双曲线 的一部分，点 的坐标为 ， ∴ ， ∴双曲线 ， ∵点 在该双曲线上，点 的横坐标是 ， ∴ ， 即点 的坐标为 ， ∵点 ， 均在该组波浪线上， 又∵ ， ， ∴ ， ， ∵分别过点 、 向 轴作垂线段，垂足分别为 和 ， ∴ ， ， ， ∴四边形 是梯形， ∴四边形 的面积是： ． 故答案为： ． 106．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点A，过点A作 交x轴于点B， 作 交反比例函数图象于点 ，过点 作 交x轴于点 ，再作 交反比例 函数图象于点 ，依次进行下去，……，则点 的纵坐标为 ． 【14淘4 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【详解】如图，分别过点 , 作 轴的垂线，垂足分别为 . ∵一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， ∴联立 ，解得 ， ∴点 的坐标为 . ， ， ∴ 是等腰直角三角形. ， ， ， 设 则 ∴点 的坐标为 ， ∵点 在反比例函数 上, ， 解得 或 (负值舍去). ∴点 的坐标为 ； 【14淘5 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ， 设 则 ∴点 的坐标为 ∵点 在反比例函数 上, ， 解得 (负值舍去). ∴点 的坐标为 ； 同理点 的坐标为 ； 以此类推，可得点 的纵坐标为 【14淘6 宝店铺：向阳百分百】