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专题 10.三角形中的重要模型-垂美四边形与 378、578 模型
模型1、垂美四边形模型
规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形
图1 图2 图3
条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD；
结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。
【变形1】
条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2
【变形2】
条件：如图 3，在矩形 ABCD 中，P 为矩形内部任意一点，连接 AP、BP，CP，DP；结论：
AP2+PC2=DP2+BP2
用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。
例1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的
“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则 ____________．
【答案】34
【分析】在Rt COB和Rt AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，进一步得
BO2+CO2+OD2+△OA2=9+25，△再根据AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．
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【详解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，
在Rt COB和Rt AOB中，根据勾股定理得，
BO2+△CO2=CB2，O△D2+OA2=AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，
∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，∴AB2+CD2=34；故答案为：34．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一
数学模型是解题关键．
例2．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，四边形 的对角线 ， 互相垂直，若
， ， 则 的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．
【答案】D
【分析】在 中， ，在 中， ，再根据
即可得出答案．
【详解】解：在 中， ，在 中， ，
∴ ，
∴ ，故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，正确利用勾股定理是解题的关键．
例3．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形 的两条对角线互相垂直，AC、BD是方
程 的两个解，则四边形 的面积是（ ）
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A．60 B．30 C．16 D．32
【答案】B
【分析】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，二次方程的两根乘积可以利用韦达定理
快速求解即可．
【详解】由题意可知：四边形 的面积
∵AC、BD是方程 的两个解，
∴ ，四边形 的面积 ， 故答案为：B．
【点睛】本题主要考查对角线互相垂直的四边形的面积计算及二次方程根与系数的关系，知道利用对角线
的成绩计算面积是解题关键．
例4．（2023·湖北·九年级专题练习）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有
以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．
应用新知：如图3，在 ABC中，CA＝4，CB＝6，D是 ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最
小值为_____． △ △
【答案】4 ﹣2
【分析】以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，根据题意可得 ，即可求出CE
的长度，当C、D、E三点共线时，AB的值最小，且为CE与CD长度之差，故AB最小值可求．
【详解】解：以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，如图所示：
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则AB＝DE，由题意得： ，即 ，解得：CE＝ ，
当C、D、E三点共线时，DE最小，∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE-CD＝ -2，故答案为： -2．
【点睛】本题主要考查了以几何为背景的推理与论证、两点之间线段最短，解题的关键在于通过题目中已
给的新知推断CD、CE、CA、CB之间的长度关系，并应用两点之间线段最短的定理，求出对应的最值．
例5．（2022·山东济宁·统考一模）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对
角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称________，________．
(2)如图（1），已知格点（小正方形的顶点） ， ， ，请你直接写出一个以格点为顶点，
， 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 的顶点M的坐标为________；
(3)如图（2），将 绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到 ，连接 ， ， ．求
证： ，即四边形 是勾股四边形；
(4)若将图（2）中 绕顶点B按顺时针方向旋转a度 ，得到 ，连接 ， ，则
________°，四边形 是勾股四边形．
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【答案】(1)矩形；正方形(2)（3，4）或（4，3）(3)见解析(4)
【分析】（1）根据勾股四边形的定义，可知矩形和正方形都是勾股四边形；
（2）如图（1）中，以OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标为（3，
4）或（4，3）；（3）如图（2），连接CE，只要证明 DCE是直角三角形即可解决问题；
△
（4）如图（3），当 °，四边形ABCD是勾股四边形．连接CE，只要证明 DCE是直角三角
△
形即可解决问题．
【详解】（1）解：∵矩形和正方形的四个角都是直角，
∴相邻两边的平方和等于对角线的平方，∴矩形、正方形都是勾股四边形；故答案为矩形、正方形；
（2）解：如图（1）所示，
∴M的坐标为：（3，4）或（4，3）；故答案为（3，4）或（4，3）；
（3）证明：如图（2），连接CE，由旋转得： ≌ ，∴ ， ，
∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴四边形 是勾股四边形；
（4）解：如图（3）， °，四边形 是勾股四边形．
理由如下：连接CE，由旋转得： ≌ ，∴ ， ，
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∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，∴四边形 是勾股四边形；故答案为 ．
【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定
和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
例6．（2022秋·江西抚州·九年级校考阶段练习）
(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形
②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______；（只填序号）
(2)【概念理解】如图2，在四边形 中， ， ，问四边形 是垂美四边形吗？请说
明理由．(3)【性质探究】如图1，垂美四边形 的两对角线交于点 ，试探究 ， ， ，
之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；(4)【性质应用】如图3，分别以 的直角边
和斜边 为边向外作正方形 和正方形 ，连接 ， ， ，已知 ， ，
求 ．
【答案】(1)③④(2)四边形ABCD是垂美四边形；理由见解析
(3) ；理由见解析(4)
【分析】（1）根据菱形和正方形的对角线互相垂直、垂美四边形的概念判断即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质、垂美四边形的概念判断即可；
（3）根据垂美四边形的概念、勾股定理计算，得到答案；
（4）证明 GAB≌△CAE，进而得出CE⊥BG，根据（3）的结论计算即可．
（1）解：△∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱形，
④正方形，∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形，故答案为：③④；
（2）解：四边形ABCD是垂美四边形，
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理由如下：如图2，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（3）解： ，
证明如下：如图①，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得， ，
，∴ ；
（4）解：如图3，连接BE、CG，设AB与CE交于点M，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在 GAB和 CAE中， ，
△ △
∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，∴ ，
∵AB＝10，AC＝8，∴ ， ， ，
∴ ，则GE＝ ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾
股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
模型2、378和578模型
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当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是
因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的
等边三角形。
条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时；
结论：①这两个三角形的面积分别为6√3、10√3；②3、8与5、8夹角都是60°。
例1．（2023·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）．
A．90° B．150° C．135° D．120°
【答案】D
【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，
过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，分别在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，从而可建立
方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和．
【详解】法1：∵△ABC的边长为5，7，8，
∴其可以和边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，
又由三角形中大边对大角，可知边长为7 的边所对的角为 60°，
所以最大角和最小角的和是 120°.故选D.
法2：设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图 设BD=x，则CD=8-x
在Rt△ADB中，由勾股定理得： ；在Rt△ADC中，由勾股定理得：
则得方程： 解得： 即
∵ ，AD⊥BC∴∠BAD=30゜∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜
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∵BC>AC>AB∴∠BAC>∠ABD>∠C故最大角与最小角的和为120゜故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾
股定理的使用创造了条件．
例2．（2022·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（ ）．
A．45° B．37° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点A作 交BC延长线于点
D，设CD=x，则BC=3+x，在 和 中，利用勾股定理求出 ，可求出CD的长，从而得
到BD的长，然后利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】法1：∵△ABC的边长为3，7，8，
∴其可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，
如图，观察图形可知∠B为等边三角形的一个内角，所以∠B=60°.故选 C.
法2：如图，过点A作 交BC延长线于点D，
∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可设CD=x，则BC=3+x，
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在 中， ，在 中， ，
∴ ，解得： ，∴BC=3+x=4，
∴在 中， ，∴ ，∴ ．故选 C．
【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的
一半，则这条直角边所对的锐角等于 是解题的关键．
例3．（2023·广东·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7，试过A作AD垂直BC于
点D并求出CD的长度．
解：如图所示，作AD⊥BC于点D，设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
则在直角三角形ABD和直角三角形ADC中，由勾股定理有：AB2﹣BD2＝AC2+CD2，
即64﹣（5﹣x）2＝49﹣x2，解得：x＝1．故CD长度为1．
另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。
例4．（2023·成都市·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（
）
A．24 B．56 C．48 D．112
【答案】A
【分析】如图，过 作 于 ，设 ，则 ，根据 中 ，
利用勾股定理建立方程，求得 ，继而用勾股定理求得 ，从而求得面积．
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【详解】法1：∵该三角形的三边长的比为 3∶7∶8，
∴其可以和三边长的比为 5∶7∶8 的三角形（边长为 10，14，16）拼成一个边长为 16 的等边三角形，
1
∴拼成的等边三角形的高为 8√3，∴△ABC 的面积为 ×6×8√3=24√3.
2
法2：如图，过 作 于 ，设 ，则 ，
在 中
解得
故选A
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
例5．（2023·广西柳州·校考一模）已知△ABC的三边长分别为5，7，8，△DEF的三边分别为5，2x，3x﹣
5，若两个三角形全等，则x=__．
【答案】4
【详解】∵两个三角形全等，
∴ 或 ，解得：无解或x=4. 故答案为4.
另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。
例6．（2023·重庆·八年级专题练习）△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则△ABC的面积为 ．
解：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D，则∠ADC＝90°．
∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°．设BD为x，则CD为（8﹣x），AB为2x．
∵∠BAD＝30°∴ ＝ ，AC＝7，∴AD＝ x．
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∴（ x）2+（8﹣x）2＝72． 解得x ＝ ，x ＝ ．
1 2
∴当x ＝ 时，△ABC的面积为S＝ BC•AD＝ ×8× × ＝6 ；
1
当x ＝ 时，△ABC的面积为S＝ BC•AD＝ ×8× × ＝10 ．故答案为6 或10 ．
2
课后专项训练
1．（2023春·成都市八年级课时练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的
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“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于
( )
A．7 B．9 C．16 D．25
【答案】C
【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得 ，在 与 中，利用勾股定理可
得 ，在 与 中，继续利用勾股定理可得 ，求
解即可得．
【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，
对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形， ，
∵ ∴
在 中， ，在 中， ，
，
∴
在 中， ，在 中， ，
， ， 故选：C．
∴ ∴
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．
2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形 内任意一点，连接 ，则下列结论
正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M，由题意可证四边形ABFM，四边形DCFM是矩形，可得
AM=BF，MD=CF，MF⊥AD，根据勾股定理可得： ．
【详解】如图：过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
又∵EF⊥BC∴四边形ABFM，四边形DCFM是矩形∴AM=BF，MD=CF，MF⊥AD
∵ ， ， ，
∴ 故：选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，添加恰当辅助线构造矩形是本题的关键．
3．（2023·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形 的两条对角线互相垂直， ，
则四边形 的面积最大值是（ ）
A．16 B．32 C．36 D．64
【答案】B
【分析】利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
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【详解】解：设 ，四边形 面积为S，则 ，
则： 当 时，S最大为：32﹔故选：B．
【点睛】本题主要考查配方求最大值，能够正确利用面积计算公式结合方程思想是解题关键．
3．（2023·山东八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）．
A．45° B．37° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则
BD＝BC−CD＝5−x，由勾股定理得72−（5−x）2＝82−x2，得出CD＝4，则CD＝ AC，再证∠CAD＝30°．
【详解】法1：∵△ABC的边长为5，7，8，
∴其可以和边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，
如图，观察图形可知∠C为等边三角形的一个内角，所以∠C=60°.故选 C.
法2：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2−BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2−CD2，
∴AB2−BD2＝AC2−CD2，即：72−（5−x）2＝82−x2，解得：x＝4，∴CD＝4，
∴CD＝ AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°−30°＝60°，故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股
定理，证出∠CAD＝30°是解题的关键．
4．（2023·湖北武汉·八年级统考期末）已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（ ）
A．20 B．10 C．10 D．28
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【答案】C
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据勾股定理列方程得到BD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】如图，
∵AB=5，AC=7，BC=8，过A作AD⊥BC于D，∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，∴52-BD2=72-（8-BD）2，
解得：BD= ，∴AD= ，∴△ABC的面积=10 ，故选C．
另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．（2023·江苏南通·九年级校考期中）定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形
ABCD的对角线AC、BD满足AC＋BD＝12，则当AC＝ 时，四边形ABCD的面积最大．
【答案】6
【分析】根据垂美四边形的性质列出函数解析式，进行求解即可．
【详解】解：设 ，则 ∵四边形ABCD的对角线互相垂直，∴ ，
则： ．∴AC=6时，面积有最大值；故答案是6．
【点睛】本题主要考查了配方求最大值，准确分析计算是解题的关键．
7．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知四边形 的对角线 、 互相垂直于点 ，
， ， ，那么 ．
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【答案】 /
【分析】过点 作 于 ，由等腰三角形“三线合一”的性质可知 ，在 中，
由勾股定理可得 ，然后借助 的面积求出 ，再在 中，由勾
股定理可得 ；证明 ，由相似三角形的性质计算 的长即可．
【详解】解：如下图，过点 作 于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
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又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积等知识，
熟练运用勾股定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（2023·山东·校考三模）如果，在 中， ， ，斜边 的两个端点分别在相
互垂真的射 线 ， 上滑动，下列结论：①若C ，O两点关于 对称，则 ②C ，O两点距
离的最大值为4：③四边形 的面积为 ；④斜边 的中点D运动路径的长度是 ．其中正确
结论的序号是_______________
【答案】①②##②①
【分析】①先根据含 角的直角三角形性质分别求出 和 ，由轴对称的性质可知： 是 的垂
直平分线，所以 ；②根据 ，当 经过 的中点E时， 最大，推出
C、O两点距离的最大值为4；③如图2，根据四边形 的面积等于 面积与 面积的和，其
中 的面积为 ， 的面积为 ，且 、 的取值都是大于等于0小于等于4，由勾
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股定理得到 ，推出 ，推出 ，得到 ，
得到 ；④如图3，半径为2，圆心角为 的扇形的圆弧是点D的运动路径，根据弧
长公式计算得到π．
【详解】解：在 ， ， ，
∴ ， ，
若C、O两点关于 对称，如图1，
则 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴①正确；
②如图1，取 的中点E，连接 、 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 经过点E时， 最大， C、O两点间的距离最大值为4；
∴②正确；
③如图2， ，其中 ， ，
且 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴③不正确；
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④如图3，斜边 的中点D运动路径是：以点O为圆心，以2为半径的圆周的 ，
其弧长为： ．
∴④不正确．
综上所述，本题正确的有：①②．
故答案为：①②．
【点睛】本题主要考查含 角的直角三角形，轴对称，三角形面积，二次函数，圆弧等，解决问题的关
键是熟练掌握含 角的直角三角形的边角性质，轴对称性质，三角形面积公式，二次函数性质，圆弧长
公式．
9．（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对
垂四边形” 中，对角线 与 交于点O， ．若点E、F、G、H分别是边 、 、
、 的中点，且四边形 是“对垂四边形”，则四边形 的面积是 ．
【答案】2
【分析】连接 ， ，交于点M，根据三角形中位线定理得到 ， ，
，可得四边形 是平行四边形，再根据“对垂四边形”的性质得到垂直线段，从
而逐步证明四边形 是正方形，最后计算面积即可．
【详解】解：连接 ， ，交于点M，
∵在四边形 中，点E、F、G、H分别是边 、 、 、 的中点，
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∴ ， ， ，
∴ ，同理： ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是“对垂四边形”，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵四边形 是“对垂四边形”，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴四边形 的面积为 ．
【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，特殊四边形的判定，解题的关键是利用“对垂四边
形”，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
10、当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 ．
解：∵边长为3，7，8的三角形，可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，
1
如图，∴拼成的等边三角形的高为 4√3，∴这两个三角形的面积之和为 ×8×4√3=16√3.
2
11．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝
2，则AE的长等于 ．
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解：过A作AD⊥BC，交BC于D，
△ABD中，∠B＝60°，AB＝8，∴BD＝4，AD＝4 ，
则 CD＝1，ED＝1．∴AE＝ ＝ ＝7．故答案为：7．
12．（2023春·四川绵阳·八年级统考期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示
的“垂美”四边形 ，对角线 、 交于点 ．若 ， ，则 ．
【答案】169
【分析】根据“垂美”四边形，得到AC⊥BD，由勾股定理得
，由此求出答案．
【详解】解：∵四边形 是“垂美”四边形，∴AC⊥BD，
∴ ，∴
∵ ，∴ 169，故答案为：169．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义构建勾股定理的等式是解题的关键．
13．（2022春·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做
“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．
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（1）若 ， ， ，则 ；
（2）若 ， ，则 ；
（3）若 ， ， ， ，则m，n，c，d之间的数量关系是 ．
【答案】
【分析】（1）根据题意和勾股定理即可求出．
（2）利用勾股定理，进行等量代换，可以得到 的值．
（3）由（2）得求解过程可以得到 ，进行替换即可．
【详解】（1） ， ，
， ．故答案为 ．
（2）由（1）得： ， ， ， ，
，
， ， ．故答案为 ．
（3）由（2）得： ， ．故答案为 ．
【点睛】本题考查勾股定理的应用问题，熟练利用勾股定理和等量代换是解题的关键．
14．（2023·山西太原·八年级校考阶段练习）认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
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(1)概念理解：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知OB＝OD，AB＝AD，判断：四边形
ABCD____垂美四边形（填“是”或“否”）；
(2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．
①若OA＝1，OB＝5，OC＝7，OD＝2，则AB2+CD2＝____；AD2+BC2＝____．
②猜想AB、BC、CD、AD这四条边的数量关系，并给出证明．
(3)解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG＝4，AB⊥AE且AE＝AB＝5，连结
CE、BG、GE，则GE＝____．
【答案】(1)是(2)①79，79；② ，理由见解析(3)
【分析】（1）连接AC、BD，根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解
答即可；（3）证△GAB≌△CAE（SAS），得∠ABG＝∠AEC，再证四边形CGEB是垂直四边形，然后由垂
直四边形的性质，勾股定理，结合（2）的结论计算即可．
（1）解：结论：四边形ABCD是垂美四边形．
理由：如图，连接AC和BD，
∵AD＝AB，∴A在BD的垂直平分线上，∵CD＝CB，∴C在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，∴四边形ABCD为垂美四边形；故答案为：是；
（2）①解：∵AC⊥BD，∴ ＝1+25+49+4＝79，
＝1+25+49+4＝79，故答案为：79，79；
②结论： ．
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理由：∵ ，∴ ，
，∴ ；
（3）如图，设AC与BG的交点为N，AB与CE的交点为M，
∵ ， ，∴ ，
即 ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴四边形CGEB是垂美四边形，
∵ ，∴ ，
由（2）得， ，∴ ，
∴ ，∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的
定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
15．（2022春·广东韶关·八年级统考期末）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)尺规作图：以已知线段 为对角线作一个垂美四边形 ，使其对角线交于点O；（不写作法，保
留作图痕迹）
(2)已知四边形 是垂美四边形，且 ，则它的面积为________；
(3)如图，四边形 是垂美四边形， ，探究a、b、c、d的数量关系；
(4)如图，已知D、E分别是 中边 的中点， ，请运用上题的结论，求
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的长．
【答案】(1)见解析(2) (3) (4)
【分析】（1）分别以点E、点G为圆心画弧，交于EG上方于点F，交EG下方于点G，连接EF、EH、
GF、GH，四边形EFGH即为所求；（2）将四边形ABCD分为上下两个三角形，分别求出两个三角形的面
积再相加即可；（3）将四边形ABCD分为四个小的直角三角形，再根据勾股定理分别用OA、OB、OC、
OD表示出 、 、 、 即可知道a、b、c、d之间的数量关系；
（4）连接DE，根据题意可得四边形AEDB是垂美四边形，结合（3）的结论即可求出AB长度．
【详解】（1）解：如图1：
（2）解：如图2，
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Rt△ACD中， ，Rt△ABC中， ，
．
（3）∵ ，∴ 中， ；
中， ， 中， ，
中， ，∴ ，
；∴ ；
（4）解：连接 ，如图3，
∵D、E分别是 中边 的中点，∴ ；
∵ ，∴四边形 是垂美四边形；∴ ；
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即 ，得 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练地掌握勾股定理，读懂题目的新定义，巧妙地运用等量代
换得出结论是解题的关键．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
(1)如图1，已知四边形 是垂美四边形．①若 ，则它的面积为_____________；
②若 ，探究 的数量关系．(2)如图2，已知 分别是 中
边 的中点， ， ，请运用②中的结论，直接写出 的长为
___________________．
【答案】(1)① ；② (2)
【分析】（1）①由面积和差关系可求解；②由勾股定理列出方程组，可求解；
（2）由三角形的中位线定理可得 ， ， ，由②的结论，列出方程可求
解．
【详解】（1）解：①如图1， 四边形 是垂美四边形， ，
， ；
②如图1， 四边形 是垂美四边形， ，
在 中， ，在 中， ，
在 中， ，在 中， ，
， ，
，即： ；
（2）解：如图，连接 ，
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、 分别是 中边 、 的中点， ，
， ， ，
， 四边形 是垂美四边形，
， ， ．故答案为
【点睛】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，三角形中位线定理，勾股定理等知识，理解垂美四边形
17．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）若四边形对角线互相垂直，那么我们定义这种四边形为“对垂”四
边形．
特征辨析
(1)下列4个图中，四边形 不是“对垂”四边形的是（ ）
归纳探究
(2)如图1， 于O，动点P，Q都从O点出发，点P沿 运动到B，点Q沿 运动到C．
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①当 ， ， ， 时，则 ___________，
___________，据此结合（1）中相关图形试猜想“对垂”四边形 两组对边 与 之间
的数量关系：___________（用等式表示）；
②在“对垂”四边形 中，当①中的条件都不存在时，①中所猜想的数量关系还成立吗？若成立，请
予以证明；若不成立，请说明理由．
拓展应用
(3)如图2，四边形 和四边形 均为正方形，点B恰好在 的延长线上，且已知 ，
，求 的长．
【答案】(1)D
(2)① ， ， ；②成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据菱形的性质和线段垂直平分线的判定结合“对垂”四边形的定义逐一判断即可；
（2）①先解 ，求出 的长，再利用勾股定理求出 的长即可得到答案；②利用勾股定理
进行证明即可；
（3）如图2，连接 ，先证明 ，得到 ，进而证明 ，推出四边
形 是“对垂”四边形．由（2）得， ，求出 ， ， ，即可
求出 ．
【详解】（1）解：A、∵ ，
∴四边形 是菱形，
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∴四边形 的对角线互相垂直，
∴四边形 是“对垂”四边形，故此选项不符合题意；
B、∵ ，
∴线段 在线段 的垂直平分线上，
∴四边形 的对角线互相垂直，
∴四边形 是“对垂”四边形，故此选项不符合题意；
C、如图同A选项可证明四边形 是菱形，
∴ ，
∴四边形 的对角线互相垂直，
∴四边形 是“对垂”四边形，故此选项不符合题意；
D、根据现有条件无法证明四边形 的对角线互相垂直，故此选项符合题意；
故选D；
（2）解：①∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ；
在 中，由勾股定理得： ，
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在 中，由勾股定理得： ，
∴ ；
∴ ；
由（1）可知A、B、C三个选项的四边形是“对垂”四边形，都满足 ，
∴可以猜想 ；
②猜想仍然成立，证明如下：∵ 于O，
∴ ，
由勾股定理得， ， ，
∴ ．
（3）解：如图2，连接 ，
∵四边形 和四边形 均为正方形，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是“对垂”四边形．
由（2）得， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
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∴ ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的
性质与判定，解直角三角形等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
18．（2022秋·天津·九年级校考期末）如图，四边形 两条对角线 互相垂直，且 ．
设 ，
(1)用含 的式子表示： _____________；
(2)当 四边形的面积为 时，求 的长；
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据 进行求解即可；
（2）根据（1）所求，代入 进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，设 交于点O，
∵ ， ， ∴ ，∵四边形 两条对角线 互相垂直，
∴ ，故答案为；
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；
（2）解：由题意得 ，∴ ，解得 或 （舍去）
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形面积，一元二次方程的应用，正确列出四边形的面积关系式是解题的关键．
19．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；
②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝ ，则S ＝ ．
ABC
△
【答案】（1）详见解析；（2）① ，②
【分析】（1）利用勾股定理即可得出结论；
（2）①根据SAS可证明 PBC≌△ABQ，得∠BPC＝∠BAQ，得∠PDA＝90°，可求出PQ的长；
△
②连接PC、AQ交于点D，同①可证 PBC≌△ABQ，则AQ＝PC且AQ⊥PC，由MN＝2 ，可知AQ＝PC
△
＝4 ．延长QB作AE⊥QE，求出BE的长，则答案可求出．
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【详解】解：（1）证明：如图中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）①如图，连接PC、AQ交于点D，
∵△ABP和 CBQ都是等腰直角三角形，
∴PB＝AB，△CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°，
∴∠PBC＝∠ABQ，
∴△PBC≌△ABQ（SAS），
∴∠BPC＝∠BAQ，
又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°，
即∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°，
∴∠PDA＝90°，
∴PC⊥AQ，
利用（1）中的结论：AP2+CQ2＝AC2+PQ2
即（5 ）2+（4 ）2＝32+PQ2；
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∴PQ＝ ．
②如图，连接PC、AQ交于点D，
同①可证 PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且AQ⊥PC，
∵M、N分△别是AC、AP中点，
∴MN＝ ，
∵MN＝2 ，
∴AQ＝PC＝4 ．
延长QB作AE⊥QE，
则有AE2+BE2＝25，AE2+QE2＝48，
∵EQ＝4+BE，∴（4+BE）2﹣BE2＝23，解得BE＝ ，
∴S ABC＝ BC×BE＝ ＝ ．故答案为： ．
△
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、中位线
定理、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键
20．（2023·广东九年级课时练习）小明学习了特殊的四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另
外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
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(1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______．
(2)性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形ABCD的面积S与两条对角线AC、BD之间的数量关系：
______．
(3)问题解决：如图2，分别以 的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，
连结BG、CE交于点N，CE交AB于点M，连结GE．①求证：四边形BCGE为垂美四边形；
②已知 ， ，则四边形BCGE的面积为______．
【答案】(1)菱形和正方形(2) ACBD(3)①证明见解析；②
∙
【分析】(1)由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；
(2)四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ADC的面积= ACBO+ ACDO= ACBD；
∙ ∙ ∙
(3)①连接CG、BE，证出∠GAB=∠CAE，由SAS证明 GAB≌△CAE，得出BG=CE，
∠ABG=∠AEC，再由角的互余关系和三角形内角和定理∆求出∠BNM=90°，得出BG⊥CE即可；
②根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算即可．
【详解】（1）(1) ∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方
形，
∴菱形和正方形一定是垂美四边形；故答案为：菱形、正方形；
（2）如图1所示：
∵四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ADC的面积= ACBO+ ACDO= ACBD；故答案为：
∙ ∙ ∙
ACBD；
（3∙）证明：连接CG、BE，如图2所示:
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∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，∴∠F=∠CAG=∠BAE= 90°，
FG= AG= AC= CF， AB= AE，∴∠CAG +∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB= ∠CAE，
在 GAB和△CAE中， GAB≌ CAE (SAS)，∴BG=CE，∠ABG=∠AEC，
∆ ∆ ∆
又∵∠AEC+∠AME = 90° ∠AME=∠BMN ，∴∠ABG十∠BMN=90°
∴∠BNM=90°∴BG⊥CE，∴四边形BCGE为垂美四边形；
∵FG=CF=AC=4，∠ACB=90°，AB= 5，∴BC= ，∴ BF= BC+CF= 7，
在Tt△BFG中，BG= ，∴CE= BG= ，
∴四边形BCGE为垂美四边形，
∴四边形BCGE的面积= ，故答案为：
【点睛】本题是四边形综合题目，考查的是垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定
和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键．
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