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2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
9．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆 + ＝1的一个焦点，则p＝（ ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
A．2 B．3 C．4 D．8
的。
10．（5分）曲线y＝2sinx+cosx在点（ ，﹣1）处的切线方程为（ ）
1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．x﹣y﹣ ﹣1＝0 π B．2x﹣y﹣2 ﹣1＝0
A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣1，2） D．
C．2x+y﹣π2 +1＝0 D．x+y﹣ +1π＝0
2．（5分）设z＝i（2+i），则 ＝（ ） ∅
π π
A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i 11．（5分）已知 （0， ），2sin2 ＝cos2 +1，则sin ＝（ ）
3．（5分）已知向量 ＝（2，3）， ＝（3，2），则| ﹣ |＝（ ） α∈ α α α
A． B． C． D．
A． B．2 C．5 D．50
4．（5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2
12．（5分）设F为双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆
只测量过该指标的概率为（ ）
A． B． C． D． x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
5．（5分）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
13．（5分）若变量x，y满足约束条件 则z＝3x﹣y的最大值是 ．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 14．（5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10个车次的正点率为
6．（5分）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（ ） 0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正
A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+1 点率的估计值为 ．
7．（5分）设 ， 为两个平面，则 ∥ 的充要条件是（ ） 15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB＝0，则B＝ ．
A． 内有无α数条β直线与 平行 α β 16．（5分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，
B．α内有两条相交直线与β 平行 但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多
C．α， 平行于同一条直线β 边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都
D．α，β垂直于同一平面
在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 个面，其棱长为 ．
α β
8．（5分）若x ＝ ，x ＝ 是函数f（x）＝sin x（ ＞0）两个相邻的极值点，则 ＝（ ）
1 2
ω ω ω
A．2 B． C．1 D．18．（12分）已知{a }是各项均为正数的等比数列，a ＝2，a ＝2a +16．
n 1 3 2
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设b ＝log a ，求数列{b }的前n项和．
n 2 n n
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都
必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A B C D 的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，BE⊥EC ．
1 1 1 1 1 1
19．（12分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100个企业，得到这些企业第一
（1）证明：BE⊥平面EB C ；
1 1
季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．
（2）若AE＝A E，AB＝3，求四棱锥E﹣BB C C的体积．
1 1 1
y的分组 [﹣0.20，0） [0，0.20） [0.20，0.40） [0.40，0.60） [0.60，0.80）
企业数 2 24 53 14 7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
（精确到0.01）
附： ≈8.602．22．（10分）在极坐标系中，O为极点，点M（ ， ）（ ＞0）在曲线C： ＝4sin 上，直线l过点A（4，
0 0 0
20．（12分）已知F ，F 是椭圆C： + ＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
1 2
0）且与OM垂直，垂足为P． ρ θ ρ ρ θ
（1）若△POF 2 为等边三角形，求C的离心率； （1）当 0 ＝ 时，求 0 及l的极坐标方程；
（2）如果存在点P，使得PF ⊥PF ，且△F PF 的面积等于16，求b的值和a的取值范围． θ ρ
1 2 1 2 （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x﹣1．证明：
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
（1）f（x）存在唯一的极值点；
23．已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．
（2）f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）当x （﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．
∈
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）故选：A．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题．
2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
4．（5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2
参考答案与试题解析 只测量过该指标的概率为（ ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
A． B． C． D．
的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（ ） 【分析】本题根据组合的概念可知从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为 ，恰有2只测量过该指标
A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣1，2） D．
【分析】直接利用交集运算得答案． ∅ 是从3只侧过的里面选2，从未测的选1，组合数为 ．即可得出概率．
【解答】解：由A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，
【解答】解：由题意，可知：
根据组合的概念，可知：
从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为 ，
得A∩B＝{x|x＞﹣1}∩{x|x＜2}＝（﹣1，2）．
恰有2只测量过该指标的所有情况数为 ．
故选：C．
【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．
∴p＝ ＝ ．
2．（5分）设z＝i（2+i），则 ＝（ ）
A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i
故选：B．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【点评】本题主要考查组合的相关概念及应用以及简单的概率知识，本题属基础题．
【解答】解：∵z＝i（2+i）＝﹣1+2i，
5．（5分）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
∴ ＝﹣1﹣2i，
甲：我的成绩比乙高．
故选：D．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
丙：我的成绩比乙高．
3．（5分）已知向量 ＝（2，3）， ＝（3，2），则| ﹣ |＝（ ）
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）
A． B．2 C．5 D．50
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
【分析】利用向量的坐标减法运算求得 的坐标，再由向量模的公式求解．
【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手，因为只有一个人预测正确，而乙对则丙必
【解答】解：∵ ＝（2，3）， ＝（3，2），
对，丙对乙很有可能对，假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误，从而得出
∴ ＝（2，3）﹣（3，2）＝（﹣1，1），
结果．
∴| |＝ ．
【解答】解：由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲＞乙． D． ， 垂直于同一平面
乙：丙＞乙且丙＞甲． 【分α析】β充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论
丙：丙＞乙． 【解答】解：对于A， 内有无数条直线与 平行， ∩ 或 ∥ ；
∵只有一个人预测正确， 对于B， 内有两条相交α直线与 平行， ∥β ； α β α β
∴分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确． 对于C，α， 平行于同一条直线β， ∩ 或α β∥ ；
如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意． 对于D，α，β垂直于同一平面， ∩α 或β ∥α ．β
如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确， 故选：B．α β α β α β
则有丙＞乙，乙＞甲， 【点评】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．
∵乙预测不正确，而丙＞乙正确，
8．（5分）若x ＝ ，x ＝ 是函数f（x）＝sin x（ ＞0）两个相邻的极值点，则 ＝（ ）
1 2
∴只有丙＞甲不正确，
ω ω ω
∴甲＞丙，这与丙＞乙，乙＞甲矛盾． A．2 B． C．1 D．
不符合题意．
∴只有甲预测正确，乙、丙预测不正确， 【分析】x 1 ＝ ，x 2 ＝ 是f（x）两个相邻的极值点，则周期T＝2（ ）＝ ，然后根据周期公
甲＞乙，乙＞丙．
式即可求出 ．
故选：A．
【解答】解：∵x ＝ ，x ＝ 是函数f（x）＝sin x（ ＞0）两个相邻的极值点，
【点评】本题主要考查合情推理，因为只有一个人预测正确，所以本题关键是要找到互相关联的两个预测入 1 2
ω ω
手就可找出矛盾．从而得出正确结果．本题属基础题．
∴T＝2（ ）＝ ＝
6．（5分）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（ ）
A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+1 ∴ ＝2，
【分析】设x＜0，则﹣x＞0，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得x＜0时的f（x）．
故ω选：A．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是根据条件得出周期，属基础题．
【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，
∴f（﹣x）＝e﹣x﹣1， 9．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆 + ＝1的一个焦点，则p＝（ ）
∵设f（x）为奇函数，∴﹣f（x）＝e﹣x﹣1，
即f（x）＝﹣e﹣x+1．
A．2 B．3 C．4 D．8
故选：D． 【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．
【点评】本题考查函数的解析式即常用求法，考查函数奇偶性性质的应用，是基础题．
【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝（ ）2，解得p＝8．
7．（5分）设 ， 为两个平面，则 ∥ 的充要条件是（ ）
故选：D．
A． 内有无α数条β直线与 平行 α β
【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．
B．α内有两条相交直线与β 平行
10．（5分）曲线y＝2sinx+cosx在点（ ，﹣1）处的切线方程为（ ）
C．α， 平行于同一条直线β
π
α βA．x﹣y﹣ ﹣1＝0 B．2x﹣y﹣2 ﹣1＝0 【分析】由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|＝|OF|列式求C的离心率．
C．2x+y﹣π2 +1＝0 D．x+y﹣ +1π＝0 【解答】解：如图，
【分析】求出π原函数的导函数，得到函数在x＝ 时的导π数，再由直线方程点斜式得答案．
【解答】解：由y＝2sinx+cosx，得y′＝2cosx﹣πsinx，
∴y′|
x＝
＝2cos ﹣sin ＝﹣2，
∴曲线yπ＝2sinx+πcosx在π点（ ，﹣1）处的切线方程为y+1＝﹣2（x﹣ ），
即2x+y﹣2 +1＝0． π π
故选：C．π
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
由题意，把x＝ 代入x2+y2＝a2，得PQ＝ ，
11．（5分）已知 （0， ），2sin2 ＝cos2 +1，则sin ＝（ ）
α∈ α α α
再由|PQ|＝|OF|，得 ，即2a2＝c2，
A． B． C． D．
【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sin cos ＝2cos2 ，结合角的范围可求sin ＞0，cos ＞0，
∴ ，解得e＝ ．
可得cos ＝2sin ，根据同角三角函数基本关系式即可α解得αsin 的值α． α α
【解答】α解：∵α2sin2 ＝cos2 +1， α
故选：A．
∴可得：4sin cos ＝2αcos2 ，α
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
α α α
∵ （0， ），sin ＞0，cos ＞0，
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
α∈ α α
∴cos ＝2sin ，
13．（5分）若变量x，y满足约束条件 则z＝3x﹣y的最大值是 9 ．
∵sin2 α+cos2 α＝sin2 +（2sin ）2＝5sin2 ＝1，
α α α α α
∴解得：sin ＝ ．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标
α
故选：B．
代入目标函数得答案．
【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，
考查了转化思想，属于基础题．
【解答】解：由约束条件 作出可行域如图：
12．（5分）设F为双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆
x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．∴由正弦定理可得：sinAsinB+sinAcosB＝0，
∵A （0， ），sinA＞0，
∴可∈得：sinπB+cosB＝0，可得：tanB＝﹣1，
∵B （0， ），
∈ π
∴B＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，
化目标函数z＝3x﹣y为y＝3x﹣z，由图可知，当直线y＝3x﹣z过A（3，0）时，
考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．
16．（5分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，
故答案为：9．
但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都
14．（5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10个车次的正点率为
在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 26 个面，其棱长为 ﹣ 1
0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正
．
点率的估计值为 0.9 8 ．
【分析】利用加权平均数公式直接求解．
【解答】解：∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，
有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，
∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：
＝ （10×0.97+20×0.98+10×0.99）＝0.98．
故答案为：0.98．
【点评】本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权平均数公式等基础知
【分析】中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有8+1，个面，下层也有8+1个面，故共有26个面；
识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的cos45°＝ 倍．
15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB＝0，则B＝ ．
【分析】由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB+sinAcosB＝0，由于sinA＞0，化简可得tanB＝﹣1，结合范 【解答】解：该半正多面体共有8+8+8+2＝26个面，设其棱长为x，则x+ x+ x＝1，解得x＝ ﹣1．
故答案为：26， ﹣1．
围B （0， ），可求B的值为 ．
【点评】本题考查了球内接多面体，属中档题．
∈ π
【解答】解：∵bsinA+acosB＝0， 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （2）设b ＝log a ，求数列{b }的前n项和．
n 2 n n
（一）必考题：共60分。 【分析】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；
17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A B C D 的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，BE⊥EC ． （2）把（1）中求得的{a }的通项公式代入b ＝log a ，得到b ，说明数列{b }是等差数列，再由等差数列的
1 1 1 1 1 1 n n 2 n n n
（1）证明：BE⊥平面EB
1
C
1
； 前n项和公式求解．
（2）若AE＝A E，AB＝3，求四棱锥E﹣BB C C的体积． 【解答】解：（1）设等比数列的公比为q，
1 1 1
由a ＝2，a ＝2a +16，得2q2＝4q+16，
1 3 2
即q2﹣2q﹣8＝0，解得q＝﹣2（舍）或q＝4．
∴ ；
（2）b ＝log a ＝ ，
n 2 n
∵b ＝1，b ﹣b ＝2（n+1）﹣1﹣2n+1＝2，
1 n+1 n
∴数列{b }是以1为首项，以2为公差的等差数列，
n
则数列{b }的前n项和 ．
【分析】（1）由线面垂直的性质可得B C ⊥BE，结合BE⊥EC 利用线面垂直的判定定理可证明BE⊥平面 n
1 1 1
EB 1 C 1 ； 【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，考查对数的运算性质，是基础题．
（2）由条件可得AE＝AB＝3，然后得到E到平面BB 1 C 1 C的距离d＝3，在求四棱锥的体积即可． 19．（12分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100个企业，得到这些企业第一
【解答】解：（1）证明：由长方体ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 ，可知 季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．
B 1 C 1 ⊥平面ABB 1 A 1 ，BE 平面ABB 1 A 1 ， y的分组 [﹣0.20，0） [0，0.20） [0.20，0.40） [0.40，0.60） [0.60，0.80）
∴B 1 C 1 ⊥BE， ⊂ 企业数 2 24 53 14 7
∵BE⊥EC 1 ，B 1 C 1 ∩EC 1 ＝C 1 ， （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
∴BE⊥平面EB 1 C 1 ； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
（2）由（1）知∠BEB 1 ＝90°，由题设可知Rt△ABE≌Rt△A 1 B 1 E， （精确到0.01）
∴∠AEB＝∠A 1 EB 1 ＝45°，∴AE＝AB＝3，AA 1 ＝2AE＝6， 附： ≈8.602．
∵在长方体ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 中，AA 1 ∥平面BB 1 C 1 C，E AA 1 ，AB⊥平面BB 1 C 1 C， 【分析】（1）根据频数分布表计算即可；
∴E到平面BB 1 C 1 C的距离d＝AB＝3， ∈ （2）根据平均值和标准差计算公式代入数据计算即可．
【解答】解：（1）根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业为：
∴四棱锥E﹣BB C C的体积V＝ ×3×6×3＝18．
1 1
＝0.21＝21%，
【点评】本题考查了线面垂直的判定定理和性质，考查了四棱锥体积的求法，属中档题．
18．（12分）已知{a }是各项均为正数的等比数列，a ＝2，a ＝2a +16．
n 1 3 2 产值负增长的企业频率为： ＝0.02＝2%，
（1）求{a }的通项公式；
n用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比 x2+y2＝c2，
例为2%； ②
+ ＝1，
（2）企业产值增长率的平均数 ﹣0.1×2+0.1×24+0.3×53+0.5×14+0.7×7＝0.3＝30%，
③
由 及a2＝b2+c2得y2＝ ，又由 知y2＝ ，故b＝4，
产值增长率的方差s2＝
②③ ①
＝ [（﹣0.4）2×2+（﹣0.2）2×24+02×53+0.22×14+0.42×7] 由 得x2＝ （c2﹣b2），所以c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4 ，
②③
＝0.0296，
当b＝4，a≥4 时，存在满足条件的点P．
∴产值增长率的标准差s＝ ≈0.17，
所以b＝4，a的取值范围为[4 ，+∞）．
∴这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属中档题．
【点评】本题考查了样本数据的平均值和方差的求法，考查运算求解能力，属基础题．
21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x﹣1．证明：
20．（12分）已知F ，F 是椭圆C： + ＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点． （1）f（x）存在唯一的极值点；
1 2
（2）f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
（1）若△POF 为等边三角形，求C的离心率；
2 【分析】（1）推导出f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝lnx﹣ ，从而f′（x）单调递增，进而存在
（2）如果存在点P，使得PF ⊥PF ，且△F PF 的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
1 2 1 2
唯一的x （1，2），使得f′（x ）＝0．由此能证明f（x）存在唯一的极值点．
【分析】（1）根据△POF 为等边三角形，可得在△F PF 中，∠F PF ＝90°，在根据直角形和椭圆定义可得； 0 0
2 1 2 1 2
（2）由f∈（x
0
）＜f（1）＝﹣2，f（e2）＝e2﹣3＞0，得到f（x）＝0在（x
0
，+∞）内存在唯一的根x＝a，由
（2）根据三个条件列三个方程，解方程组可得 b＝4，根据x2＝ （c2﹣b2），所以c2≥b2，从而a2＝
a＞x ＞1，得 ，从而 是f（x）＝0在（0，x ）的唯一根，由此能证明f（x）＝0有且仅有两个
0 0
b2+c2≥2b2＝32，故a≥4 ，
实根，且两个实根互为倒数．
【解答】解：（1）连接PF ，由△POF 为等边三角形可知在△F PF 中，
1 2 1 2 【解答】证明：（1）∵函数f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x﹣1．
∠F PF ＝90°，|PF |＝c，|PF |＝ c，于是2a＝|PF |+|PF |＝（ +1）c，
1 2 2 1 1 2 ∴f（x）的定义域为（0，+∞），
故曲线C的离心率e＝ ＝ ﹣1．
f′（x）＝ ＝lnx﹣ ，
（2）由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在当且仅当： |y|•2c＝16，
∵y＝lnx单调递增，y＝ 单调递减，∴f′（x）单调递增，
• ＝﹣1， + ＝1， 又f′（1）＝﹣1＜0，f′（2）＝ln2﹣ ＝ ＞0，
∴存在唯一的x （1，2），使得f′（x ）＝0．
0 0
即c|y|＝16，
∈
①当x＜x 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
0 故l的极坐标方程为有 ；
当x＞x 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
0
（2）设P（ ， ），则在Rt△OAP中，有 ＝4cos ，
∴f（x）存在唯一的极值点．
（2）由（1）知f（x ）＜f（1）＝﹣2， ∵P在线段O ρ M上θ ，∴ [ ， ]， ρ θ
0
又f（e2）＝e2﹣3＞0， θ∈
故P点轨迹的极坐标方程为 ＝4cos ， [ ， ]．
∴f（x）＝0在（x ，+∞）内存在唯一的根x＝a，
0
ρ θ θ∈
由a＞x ＞1，得 ，
0
∵f（ ）＝（ ）ln ﹣ ＝ ＝0，
∴ 是f（x）＝0在（0，x ）的唯一根，
0
【点评】本题考查解得曲线的极坐标方程及其应用，画图能够起到事半功倍的作用，是基础题．
综上，f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【点评】本题考查函数有唯一的极值点的证明，考查函数有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数的证明，
23．已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．
考查导数性质、函数的单调性、最值、极值等基础知识，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；
求解能力，是中档题．
（2）当x （﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
【分析】（∈ 1）将a＝1代入得f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），然后分x＜1和x≥1两种情况讨论f（x）＜0
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
即可；
22．（10分）在极坐标系中，O为极点，点M（ ， ）（ ＞0）在曲线C： ＝4sin 上，直线l过点A（4，
0 0 0 （2）根据条件分a≥1和a＜1两种情况讨论即可．
0）且与OM垂直，垂足为P． ρ θ ρ ρ θ
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），
（1）当 ＝ 时，求 及l的极坐标方程； ∵f（x）＜0，∴当x＜1时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2＜0，恒成立，∴x＜1；
0 0
θ ρ 当x≥1时，f（x）＝（x﹣1）（x+|x﹣2|）≥0恒成立，∴x ；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
综上，不等式的解集为（﹣∞，1）； ∈∅
【分析】（1）把 ＝ 直接代入 ＝4sin 即可求得 ，在直线l上任取一点（ ， ），利用三角形中点边
0 0 （2）当a≥1时，f（x）＝2（a﹣x）（x﹣1）＜0在x （﹣∞，1）上恒成立；
θ ρ θ ρ ρ θ
当a＜1时，x （a，1），f（x）＝2（x﹣a）＞0，不满∈足题意，
角关系即可求得l的极坐标方程；
（2）设P（ ， ），在Rt△OAP中，根据边与角的关系得答案．
∴a的取值范围∈为：[1，+∞）
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属中档题．
ρ θ
【解答】解：（1）当 ＝ 时， ，
0
θ
在直线l上任取一点（ ， ），则有 ，
ρ θ
