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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）
文科数学
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－1,2) D．∅
答案 C
解析 A∩B＝{x|x>－1}∩{x|x<2}＝{x|－10，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，
∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
答案 B
解析 对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，
所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确，对于C，平行于
同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面
的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相
交的，所以D不正确，综上可知选B.
8．若x＝ ，x＝ 是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω等于( )
1 2
A．2 B. C．1 D.
答案 A解析 由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，
T＝ － ，
∴T＝π，∴ ＝π，∴ω＝2.
9．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 4 ＋ ＝1的一个焦点，则p等于( )
A．2 B．3 C．4 D．8
答案 D
解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为 ，椭圆的焦点坐标为(± ，0)，所以 ＝ ，
解得p＝8，故选D.
10．曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( )
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
答案 C
解析 设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，
则f′(x)＝2cos x－sin x，
∴f′(π)＝－2，
∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为
y－(－1)＝－2(x－π)，
即2x＋y－2π＋1＝0.
11．已知α∈ ，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为
α∈ ，所以cos α＝ ，所以2sin α ＝1－sin2α，解得sin α＝ ，故
选B.
12．设F为双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆
与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 A解析 如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为 2＋y2＝ ①，将x2＋y2＝a2记
为②式，①－②得x＝ ，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x
＝ ，所以|PQ|＝2 .
由|PQ|＝|OF|，得2 ＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝
，故选A.
二、填空题
13．若变量x，y满足约束条件 则z＝3x－y的最大值是________．
答案 9
解析 作出已知约束条件对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．
由 解得
即C点坐标为(3,0)，
故z ＝3×3－0＝9.
max
14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10个车次的正
点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高
铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
答案 0.98
解析 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ＝0.98.
15．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsin A＋acos B＝0，则 B＝________.
答案
解析 ∵bsin A＋acos B＝0，
∴ ＝ ，
由正弦定理，得－cos B＝sin B，
∴tan B＝－1，
又B∈(0，π)，∴B＝ .
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方
体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体
是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图 2是
一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱
长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
答案 26 －1
解析 依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后 6个面都在正方体的表面
上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共
有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的
棱长为x，则 x＋x＋ x＝1，解得x＝ －1，故题中的半正多面体的棱长为 －1.
三、解答题
17.如图，
长方体ABCD－ABC D 的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，BE⊥EC .
1 1 1 1 1 1
(1)证明：BE⊥平面EBC ；
1 1
(2)若AE＝AE，AB＝3，求四棱锥E－BBC C的体积．
1 1 1(1)证明 由已知得BC ⊥平面ABBA，BE⊂平面ABBA，
1 1 1 1 1 1
故BC ⊥BE.
1 1
又BE⊥EC ，BC ∩EC ＝C ，BC ，EC ⊂平面EBC ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以BE⊥平面EBC .
1 1
(2)解 由(1)知∠BEB＝90°.
1
由题设知Rt△ABE≌Rt△ABE，
1 1
所以∠AEB＝∠AEB＝45°，
1 1
故AE＝AB＝3，AA＝2AE＝6.
1
如图，
作EF⊥BB，垂足为F，则EF⊥平面BBC C，且EF＝AB＝3.
1 1 1
所以四棱锥E－BBC C的体积
1 1
V＝ ×3×6×3＝18.
18．已知{a}是各项均为正数的等比数列，a＝2，a＝2a＋16.
n 1 3 2
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)设b＝log a，求数列{b}的前n项和．
n 2 n n
解 (1)设{a}的公比为q，
n
由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，
解得q＝－2(舍去)或q＝4.
因此{a}的通项公式为a＝2×4n－1＝22n－1.
n n
(2)由(1)得b＝log 22n－1＝(2n－1)log 2＝2n－1，
n 2 2
因此数列{b}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.
n
19．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100个企业，得到这
些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值
为代表)．(精确到0.01)附： ≈8.602.
解 (1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企
业频率为 ＝0.21.
产值负增长的企业频率为 ＝0.02.
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例为21%，产
值负增长的企业比例为2%.
(2) ＝ ×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，
s2＝ (y－ )2
i i
＝ ×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]
＝0.029 6，
s＝ ＝0.02× ≈0.17.
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.
20．已知F，F 是椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
1 2
(1)若△POF 为等边三角形，求C的离心率；
2
(2)如果存在点P，使得PF⊥PF，且△FPF 的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
1 2 1 2
解 (1)连接PF.
1
由△POF 为等边三角形可知在△FPF 中，
2 1 2
∠FPF＝90°，|PF|＝c，|PF|＝ c，
1 2 2 1
于是2a＝|PF|＋|PF|＝( ＋1)c，
1 2
故C的离心率为e＝ ＝ －1.
(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，
则 |y|·2c＝16， · ＝－1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
又 ＋ ＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝ .
又由①知y2＝ ，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝ (c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，
故a≥4 .
当b＝4，a≥4 时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4 ，＋∞)．
21．已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：
(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
证明 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝ ＋ln x－1＝ln x－ (x>0)．
因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
y＝ 在(0，＋∞)上单调递减，
所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－ ＝ >0，
故存在唯一x∈(1,2)，使得f′(x)＝0.
0 0
又当0x 时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
0
因此，f(x)存在唯一的极值点．
(2)由(1)知f(x)0，
所以f(x)＝0在(x，＋∞)内存在唯一根x＝α.
0
由10)在曲线C：
0 0 0
ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ＝ 时，求ρ 及l的极坐标方程；
0 0
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
解 (1)因为M(ρ，θ)在C上，当θ＝ 时，ρ＝4sin ＝2 .
0 0 0 0
由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点，连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcos ＝|OP|＝2.
经检验，点P 在曲线ρcos ＝2上．
所以，l的极坐标方程为ρcos ＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是 .
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈ .
23．[选修4－5：不等式选讲]
已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．
(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；
(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．
当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.
所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．
(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.
当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.
所以，a的取值范围是[1，＋∞)．
