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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）
理科数学
一、选择题
1．已知集合M＝{x|－40，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线与C的
1 2 1
两条渐近线分别交于A，B两点．若 ＝ ， · ＝0，则C的离心率为________．
三、解答题
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若 a＋b＝2c，求sin C.
18．如图，直四棱柱ABCD－ABC D 的底面是菱形，AA ＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，
1 1 1 1 1
M，N分别是BC，BB，AD的中点．
1 1(1)证明：MN∥平面C DE；
1
(2)求二面角A－MA －N的正弦值．
1
19．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交
点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若 ＝3 ，求|AB|.
20．已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明：
(1)f′(x)的区间 上存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点．
21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物
试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选
一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一
种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更
有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白
鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈
则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治
愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，
i
最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p＝0，p＝1，p＝ap ＋bp＋cp (i＝1,2，…，
0 8 i i－1 i i＋1
7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
(ⅰ)证明：{p －p}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
i＋1 i
(ⅱ)求p，并根据p 的值解释这种试验方案的合理性．
4 4
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数)．以坐标原点O为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ ρsin θ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4－5：不等式选讲]
已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：
(1) ＋ ＋ ≤a2＋b2＋c2；
(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
