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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）
理科数学 C. D.
一、选择题
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“
1．已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N等于( )
”和阴爻“— —”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3个阳爻的概率是(
A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}
)
C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}
2．设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
A. B. C. D.
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
7．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
3．已知a＝log 0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
2
A．a<b<c B．a<c<b
A. B. C. D.
C．c<a<b D．b<c<a
4. 古 希 腊 时 期 ， 人 们 认 为 最 美 人 体 的 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是 8．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入( )
，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长
度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的
长度为26 cm，则其身高可能是( )
A．A＝ B．A＝2＋
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
C．A＝ D．A＝1＋
5．函数f(x)＝ 在[－π，π]上的图象大致为( )
9．记S 为等差数列{a}的前n项和．已知S＝0，a＝5，则( )
n n 4 5
A．a＝2n－5 B．a＝3n－10
n n
C．S＝2n2－8n D．S＝ n2－2n
n n
A. B.
10．已知椭圆C的焦点为F(－1,0)，F(1,0)，过F 的直线与C交于A，B两点．若|AF|＝2|FB|，|AB|＝|BF|，则
1 2 2 2 2 1
C的方程为( )A. ＋y2＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
11．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论： 18．如图，直四棱柱ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 的底面是菱形，AA 1 ＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，
BB，AD的中点．
①f(x)是偶函数； 1 1
②f(x)在区间 上单调递增；
③f(x)在[－π，π]上有4个零点；
④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
(1)证明：MN∥平面C DE；
12．已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分 1
(2)求二面角A－MA －N的正弦值．
别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( ) 1
A．8 π B．4 π C．2 π D. π
二、填空题
13．曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
14．记S 为等比数列{a}的前n项和．若a＝ ， ＝a，则S＝________.
n n 1 6 5
19．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛
成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
(2)若 ＝3 ，求|AB|.
16．已知双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线与C的两条渐近线分别交于
1 2 1
A，B两点．若 ＝ ， · ＝0，则C的离心率为________．
三、解答题
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若 a＋b＝2c，求sin C.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
20．已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明：
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建
(1)f′(x)的区间 上存在唯一极大值点；
(2)f(x)有且仅有2个零点． 立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ ρsin θ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治
疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4只时，就停止试验，
并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药 23．[选修4－5：不等式选讲]
的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1分，甲 已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：
药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药
(1) ＋ ＋ ≤a2＋b2＋c2；
的得分记为X.
(1)求X的分布列； (2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙
i
药更有效”的概率，则p＝0，p＝1，p＝ap ＋bp＋cp (i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c
0 8 i i－1 i i＋1
＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
(ⅰ)证明：{p －p}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
i＋1 i
(ⅱ)求p，并根据p 的值解释这种试验方案的合理性．
4 4
