文档内容
【解析】
【分析】
绝密★启用前 由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】求解二次不等式 可得： ，
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
求解一次不等式 可得： .
理科数学
注意事项：
由于 ，故： ，解得： .
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
故选：B.
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
符合题目要求的.
1.若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意首先求得 的值，然后计算其模即可.
A. B. C. D.
【详解】由题意可得： ，则 .
【答案】D
故 .
【解析】
故选：D. 【分析】
【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.
设 ，利用 得到关于 的方程，解方程即可得到答案.
2.设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A. –4 B. –2 C. 2 D. 4
【答案】B下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
【详解】如图，设 ，则 ，
由题意 ，即 ，化简得 ，
解得 （负值舍去）.
故选：C.
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
4.已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
【答案】C
【解析】
故选：D.
【分析】
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
6.函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
A. B.
故选：C.
C. D.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件 【答案】B
【解析】【分析】
轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可得解.
求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】 ， ， ， ， 【详解】由图可得：函数图象过点 ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
将它代入函数 可得：
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
7.设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
8. 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A. B.
A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
C. D.
【答案】C
【解析】
【答案】C
【分析】
【解析】
【分析】
求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘
由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图象与
积为 或 形式，对 分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.【详解】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
即 ，解得 或 （舍去），
所以 与 展开式的乘积可表示为：
又 .
或 故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ， 属于基础题.
的
10.已知 为球 球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
，则球 的表面积为（ ）
所以 的系数为
A. B. C. D.
故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中
【答案】A
档题. 【解析】
【分析】
9.已知 ，且 ，则 （ ）
由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球截面性质，求出球的半径，
.
A B.
即可得出结论.
【详解】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，
C. D.
得 ，
【答案】A
【解析】 由正弦定理可得 ，
【分析】
，根据圆截面性质 平面 ，
用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角间的三角函数
关系，即可得出结论.
，
【详解】 ，得 ，
球 的表面积 .
故选：A当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
.
11.已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作⊙M的切线
故选：D
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化
，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ） 能力和数学运算能力，属于中档题．
12.若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D A. B. C. D.
【解析】
【答案】B
【分析】
【解析】
由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 共圆，且 ，根据 【分析】
设 ，利用作差法结合 的单调性即可得到答案.
可知，当直线 时， 最小，求出以 为直径的圆的方程，根
【详解】设 ，则 为增函数，因为
据圆系的知识即可求出直线 的方程．
【详解】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所以直 所以 ，
所以 ，所以 .
线 与圆相离．
，
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以
当 时， ，此时 ，有
，而 ， 当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D错误.故选：B. 【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题. 在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
时，z值最大.
14.设 为单位向量，且 ，则 ______________.
13.若x，y满足约束条件 则z=x+7y的最大值为______________.
【答案】
【答案】1
【解析】
【解析】
【分析】
【分析】
首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值. 整理已知可得： ，再利用 为单位向量即可求得 ，对 变形可得：
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
，问题得解.
【详解】因为 为单位向量，所以
所以
解得：
目标函数 即： ， 所以
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
故答案为：
的
据此结合目标函数 几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ， 15.已知F为双曲线 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若
AB的斜率为3，则C的离心率为______________.
据此可知目标函数的最大值为： .
【答案】2
故答案为：1．
【解析】【分析】
中利用余弦定理可求得 的值.
根据双曲线的几何性质可知， ， ，即可根据斜率列出等式求解即可．
【详解】 ， ， ，
由勾股定理得 ，
【详解】依题可得， ，而 ， ，即 ，变形得 ，化简
同理得 ， ，
在 中， ， ， ，
可得， ，解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
由余弦定理得 ，
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
16.如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则 ，
在 中， ， ， ，
cos∠FCB=______________.
由余弦定理得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
【答案】 （1）求 的公比；
【解析】 （2）若 ，求数列 的前 项和．
【分析】
【答案】（1） ；（2） .
在 中，利用余弦定理可求得 ，可得出 ，利用勾股定理计算出 、 ，可得出 ，然后在【解析】
【分析】
（1）由已知结合等差中项关系，建立公比 的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出 的通项，根据 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】（1）设 的公比为 ， 为 的等差中项，
，
（1）证明： 平面 ；
；
（2）求二面角 的余弦值．
（2）设 的前 项和为 ， ，
【答案】（1）证明见解析；（2） .
，①
【解析】
，②
【分析】
① ②得，
（1）要证明 平面 ，只需证明 ， 即可；
， （2）以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面 的法向量
.
为 ，平面 的法向量为 ，利用公式 计算即可得到答案.
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量 的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能
【详解】（1）由题设，知 为等边三角形，设 ，
力，属于基础题.
18.如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ． 是底面的内接正三角
则 ， ，所以 ，
形， 为 上一点， ．设平面 的一个法向量为
又 为等边三角形，则 ，所以 ，
由 ，得 ，令 ，得 ，
，则 ，所以 ，
所以
同理 ，又 ，所以 平面 ；
（2）过O作 ∥BC交AB于点N，因为 平面 ，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如
故 ，
图所示的空间直角坐标系，
设二面角 的大小为 ，则 .
【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，
是一道容易题.
19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两
人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被
淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，
丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，
则 ， （1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
， ， ，
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
设平面 的一个法向量为 ，
【解析】
【分析】
由 ，得 ，令 ，得 ，
（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；
（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
所以 ，
（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
【答案】（1） ；（2）证明详见解析.
【详解】（1）记事件 甲连胜四场，则 ；
【解析】
【分析】
（2）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得： ，
则四局内结束比赛的概率为
问题得解.
，
（2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点 的
所以，需要进行第五场比赛的概率为 ；
坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，即可表示出直线 的方程，整
（3）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
记事件 甲赢，记事件 丙赢，
则甲赢的基本事件包括： 、 、 、 理直线 的方程可得： ，命题得证.
、 、 、 、 ，
【详解】（1）依据题意作出如下图象：
所以，甲赢的概率为 .
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 .
【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中
等题.
20.已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6 由椭圆方程 可得： ， ，
上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
，
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点. ，椭圆方程为： 故直线 过定点
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难
（2）证明：设 ，
题.
则直线 的方程为： ，即： 21.已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
【答案】（1）当 时， 单调递减，当 时， 单调递增.
，解得： 或
（2）
将 代入直线 可得：
【解析】
【分析】
所以点 的坐标为 . (1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.
(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数
a的取值范围.
同理可得：点 的坐标为
【详解】(1)当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
直线 的方程为： ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
整理可得：
(2)由 得， ，其中 ，
整理得：
①.当x=0时，不等式为： ，显然成立，符合题意；[选修4—4：坐标系与参数方程]
②.当 时，分离参数a得， ，
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极
记 ， ， 轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）当 时， 是什么曲线？
令 ，
（2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
则 ， ，
【答案】（1）曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2） .
故 单调递增， ，
【解析】
故函数 单调递增， ， 【分析】
（1）利用 消去参数 ，求出曲线 的普通方程，即可得出结论；
由 可得： 恒成立，
（2）当 时， ，曲线 的参数方程化为 为参数），两式相加消去参数 ，得
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减； 普通方程，由 ，将曲线 化为直角坐标方程，联立 方程，即可求解.
因此， , 【详解】（1）当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
两式平方相加得 ，
综上可得，实数a的取值范围是 .
所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应
用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数
（2）当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化
问题． (4)考查数形结合思想的应用．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数），
计分。【解析】
两式相加得曲线 方程为 ，
【分析】
得 ，平方得 ，
（1）根据分段讨论法，即可写出函数 的解析式，作出图象；
曲线 的极坐标方程为 ，
（2）作出函数 的图象，根据图象即可解出．
曲线 直角坐标方程为 ，
联立 方程 ，
【详解】（1）因为 ，作出图象，如图所示：
整理得 ，解得 或 （舍去），
， 公共点的直角坐标为 .
（2）将函数 的图象向左平移 个单位，可得函数 的图象，如图所示：
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注
意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.
[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数 ．
（1）画出 的图像；
由 ，解得 ．
所以不等式的解集为 ．
（2）求不等式 的解集．
【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础
题．
【答案】（1）详解解析；（2） .
