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2007 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）α是第四象限角， ，则sinα=（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
2．（4分）设a是实数，且 是实数，则a=（ ）
8．（4 分）设 a＞1，函数 f（x）=log x 在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为 ，则 a=
a
A． B．1 C． D．2
（ ）
3．（4分）已知向量 ， ，则 与 （ ） A． B．2 C． D．4
9．（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均
A．垂直 B．不垂直也不平行
为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（ ）
C．平行且同向 D．平行且反向
A．充要条件 B．充分而不必要的条件
4．（4分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
A． B． C． D．
10．（4分） 的展开式中，常数项为15，则n=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（4分）设a，b R，集合{1，a+b，a}={0， ，b}，则b﹣a=（ ）
11．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为 的直线与抛物线在x轴上方的
∈
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（ ）
A．4 B． C． D．8
6．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为 ，且位于 表示的平面
12．（4分）函数f（x）=cos2x﹣2cos2 的一个单调增区间是（ ）
区域内的点是（ ）
A． B． C． D．
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
7．（4分）如图，正棱柱ABCD﹣A B C D 中，AA =2AB，则异面直线A B与AD 所成角的余弦值为
1 1 1 1 1 1 1
（ ）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中
甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）
14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=
3．
15．（5分）等比数列{a }的前n项和为S ，已知S ，2S ，3S 成等差数列，则{a }的公比为 ．
n n 1 2 3 n
16．（5分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底
面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．
19．（14 分）四棱锥 S﹣ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC⊥底面 ABCD，已知
∠ABC=45°，AB=2，BC=2 ，SA=SB= ．
（Ⅰ）证明：SA⊥BC；
三、解答题（共6小题，满分82分） （Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．
17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．
18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 20．（14分）设函数f（x）=ex﹣e﹣x
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分 （Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；
4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润． （Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．
（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．21．（14分）已知椭圆 的左右焦点分别为F 、F ，过F 的直线交椭圆于B、D两点，过
1 2 1
F 的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P
2
（Ⅰ）设P点的坐标为（x ，y ），证明： ；
0 0
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．
22．（16分）已知数列{a }中，a =2， ，n=1，2，3，…
n 1
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）若数列{b }中，b =2， ，n=1，2，3，…，证明： ，n=1，2，
n 1
3，…
