文档内容
2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅰ） A． B． C． D．
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 10．（5分）已知函数 f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（
）
1．（5分）复数 =（ ）
A． B． C．（3，+∞） D．[3，+∞）
A．i B．﹣i C．12﹣13i D．12+13i
11．（5分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么 的最
2．（5分）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（ ）
小值为（ ）
A． B． C． D．
A． B．﹣ C． D．﹣
12．（5分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积
的最大值为（ ）
3．（5分）若变量x，y满足约束条件 ，则z=x﹣2y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
4．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a }，a a a =5，a a a =10，则a a a =（ ）
n 1 2 3 7 8 9 4 5 6
A． B．7 C．6 D．
13．（5分）不等式 的解集是 ．
5．（5分）（1+2 ）3（1﹣ ）5的展开式中x的系数是（ ）
14．（5分）已知α为第三象限的角， ，则 = ．
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
15．（5分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是 ．
6．（5分）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课
16．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且
程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．30种 B．35种 C．42种 D．48种
，则C的离心率为 ．
7．（5分）正方体ABCD﹣A B C D 中，BB 与平面ACD 所成角的余弦值为（ ）
1 1 1 1 1 1
A． B． C． D．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．
8．（5分）设a=log 2，b=ln2，c= ，则（ ）
3
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
9．（5分）已知F 、F 为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F PF =60°，则P到x
1 2 1 2
轴的距离为（ ）18．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 21．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，
则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则 点A关于x轴的对称点为D．
再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能 （Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．
（Ⅱ）设 ，求△BDK的内切圆M的方程．
（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
19．（12 分）如图，四棱锥 S﹣ABCD 中，SD⊥底面 ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，
DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）证明：SE=2EB； 22．（12分）已知数列{a
n
}中，a
1
=1，a
n+1
=c﹣ ．
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．
（Ⅰ）设c= ，b = ，求数列{b }的通项公式；
n n
（Ⅱ）求使不等式a ＜a ＜3成立的c的取值范围．
n n+1
20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．所以tan100°=﹣tan80°= ．：
2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅰ）
参考答案与试题解析
法二cos（﹣80°）=k cos（80°）=k， =
⇒
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这
一转化思想的应用．
1．（5分）复数 =（ ）
A．i B．﹣i C．12﹣13i D．12+13i
3．（5分）若变量x，y满足约束条件 ，则z=x﹣2y的最大值为（ ）
【考点】A5：复数的运算．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】复数的分子中利用﹣i2=1代入3，然后化简即可．
【解答】解： 【考点】7C：简单线性规划．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合．
故选：A．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣2y表示直线在y轴上的截距，
【点评】本小题主要考查复数的基本运算，重点考查分母实数化的转化技巧．
只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．
2．（5分）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（ ）
【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y y= x﹣ z，
⇒
由图可知，
A． B．﹣ C． D．﹣
当直线l经过点A（1，﹣1）时，
z最大，且最大值为z =1﹣2×（﹣1）=3．
max
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；GG：同角三角函数间的基本关系；GO：运用诱
故选：B．
导公式化简求值．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】法一：先求sin80°，然后化切为弦，求解即可．
法二：先利用诱导公式化切为弦，求出求出结果．
【解答】解：法一 ，【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值 【点评】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，
属于基础题． 以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力
4．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a }，a a a =5，a a a =10，则a a a =（ ） 6．（5分）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课
n 1 2 3 7 8 9 4 5 6
A． B．7 C．6 D． 程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．30种 B．35种 C．42种 D．48种
【考点】87：等比数列的性质．
菁优网版权所有
【分析】由数列{a }是等比数列，则有a a a =5 a 3=5；a a a =10 a 3=10． 【考点】D1：分类加法计数原理．
n 1 2 3 2 7 8 9 8
菁优网版权所有
【解答】解：a a a =5 a 3=5； 【专题】11：计算题．
1 2 3 2 ⇒ ⇒
a a a =10 a 3=10， 【分析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类
7 8 9 8 ⇒
a 2=a a ， 选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．
5 2 8 ⇒
【解答】解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C 1C 2种不同的选
∴ ，∴ ， 3 4
法；
故选：A．
②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C 2C 1种不同的选法．
3 4
【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考
∴根据分类计数原理知不同的选法共有C 1C 2+C 2C 1=18+12=30种．
3 4 3 4
查了转化与化归的数学思想．
故选：A．
【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．本题也可以从排
5．（5分）（1+2 ）3（1﹣ ）5的展开式中x的系数是（ ） 列的对立面来考虑，写出所有的减去不合题意的，可以这样解：C 3﹣C 3﹣C 3=30．
7 3 4
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
7．（5分）正方体ABCD﹣A B C D 中，BB 与平面ACD 所成角的余弦值为（ ）
1 1 1 1 1 1
【考点】DA：二项式定理． A． B． C． D．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用完全平方公式展开，利用二项展开式的通项公式求出x的系数．
【考点】MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．
菁优网版权所有
【解答】解：（1+2 ）3（1﹣ ）5=（1+6 +12x+8x ）（1﹣ ）5 【专题】5G：空间角．
【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB ，上下底面中心的连线与平面ACD 所成角，即为
1 1
故（1+2 ）3（1﹣ ）5的展开式中含x的项为1×C 3（ ）3+12x=﹣10x+12xC 0=2x，
5 5 BB 与平面ACD 所成角，
1 1
所以x的系数为2． 直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．
故选：C． 【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O ，O，设正方体的棱长等于1，
1则O O与平面ACD 所成角就是BB 与平面ACD 所成角，即∠O OD ， 故选：C．
1 1 1 1 1 1
【点评】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、
直角三角形OO D 中，cos∠O OD = = = ，
1 1 1 1 换底公式、不等式中的倒数法则的应用．
故选：D．
9．（5分）已知F 、F 为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F PF =60°，则P到x
1 2 1 2
轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【考点】HR：余弦定理；KA：双曲线的定义；KC：双曲线的性质．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【 分 析 】 设 点 P （ x ， y ） 在 双 曲 线 的 右 支 ， 由 双 曲 线 的 第 二 定 义 得
【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等 0 0
体积转化求出D到平面
， ．由余弦定理得
ACD 的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题．
1
8．（5分）设a=log
3
2，b=ln2，c= ，则（ ） cos∠F
1
PF
2
= ，由此可求出P到x轴的距离．
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【 解 答 】 解 ： 不 妨 设 点 P （ x ， y ） 在 双 曲 线 的 右 支 ， 由 双 曲 线 的 第 二 定 义 得
0 0
【考点】4M：对数值大小的比较． ， ．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想．
由余弦定理得
【分析】根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值
a、b、c的大小关系． cos∠F
1
PF
2
= ，即cos60°= ，
【解答】解：a=log 2= ，b=ln2= ，
3 解得 ，所以 ，故P到x轴的距离为
而log 3＞log e＞1，所以a＜b， 故选：B．
2 2
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本
c= = ，而 ，
题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力．
所以c＜a，综上c＜a＜b，10．（5分）已知函数 f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（
【分析】要求 的最小值，我们可以根据已知中，圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切
）
线，A、B为两切点，结合切线长定理，设出PA，PB的长度和夹角，并将 表示成一个关
A． B． C．（3，+∞） D．[3，+∞）
于x的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．
【解答】解：如图所示：设OP=x（x＞0），
【考点】34：函数的值域；3D：函数的单调性及单调区间；4H：对数的运算性质；7F：基本不等
式及其应用． 则PA=PB= ，
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想．
∠APO=α，则∠APB=2α，
【分析】由题意f（a）=f（b），求出ab的关系，然后利用“对勾”函数的性质知函数f（a）在
sinα= ，
a （0，1）上为减函数，
确定
∈
a+2b的取值范围．
=
【解答】解：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或 ，所以a+2b= = × （1﹣2sin2α）
又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令 ，由“对勾”函数的性质知函数 f（a）在a （0，
=（x2﹣1）（1﹣ ）=
∈
1）上为减函数，
=x2+ ﹣3≥2 ﹣3，
所以f（a）＞f（1）=1+ =3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．
∴当且仅当x2= 时取“=”，故 的最小值为2 ﹣3．
故选：C．
故选：D．
【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易
忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b= ，从而错选A，这也是命题者的用
心良苦之处．
11．（5分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么 的最
【点评】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法﹣﹣判别式
小值为（ ）
法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力．
A． B． C． D．
12．（5分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；JF：圆方程的综合应用．
的最大值为（ ）
菁优网版权所有
【专题】5C：向量与圆锥曲线．
A． B． C． D．解得0≤x≤2．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；ND：球的性质．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．
法二：
【分析】四面体ABCD的体积的最大值，AB与CD是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出
体积的最大值．
故答案为：[0，2]
【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，
【点评】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也
则有 ， 让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致．
当直径通过AB与CD的中点时， ，故 ．
14．（5分）已知α为第三象限的角， ，则 = ．
故选：B．
【考点】G3：象限角、轴线角；GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数；
GS：二倍角的三角函数．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】方法一：由α为第三象限的角，判断出2α可能的范围，再结合又 ＜0确定出
2α在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值．
【点评】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考
方法二：判断2α可能的范围时用的条件组合方式是推出式，其它比同．
查考生的空间想象能力及推理运算能力．
【解答】解：方法一：因为 α 为第三象限的角，所以 2α （2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）
（k Z），
∈
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
∈
又 ＜0，所以 ，
13．（5分）不等式 的解集是 [ 0 ， 2 ] ．
于是有 ， ，
【考点】7E：其他不等式的解法．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想．
所以 = ．
【分析】法一是移项后平方，注意等价转化为不等式组，化简求交集即可；
法二是化简为等价不等式组的形式，求不等式组的解集．
方法二：α为第三象限的角， ， 4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π 2α
【解答】解：法一：原不等式等价于
⇒ ⇒在 二 象 限 ，
16．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且
，则C的离心率为 ．
【考点】K4：椭圆的性质．
菁优网版权所有
【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考
【专题】16：压轴题；31：数形结合．
查了基本运算能力及等价变换的解题技能．
【分析】由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出 D的横坐标，
再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|=2|FD|建立关于a、c的方程，解方程求出 的
15．（5分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是 （ 1 ， ） ．
值．
【考点】3V：二次函数的性质与图象． 【解答】解：如图， ，
菁优网版权所有
【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．
作DD ⊥y轴于点D ，则由 ，得 ，所以， ，
【分析】在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a的图象，观察求解． 1 1
【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a，
即 ，由椭圆的第二定义得
观图可知，a的取值必须满足 ，
又由|BF|=2|FD|，得 ，a2=3c2，解得e= = ，
解得 ． 故答案为： ．
故答案为：（1， ）
【点评】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思
【点评】本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想． 想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径． 通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．
（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
三、解答题（共6小题，满分70分） （Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
17．（10分）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；HP：正弦定理． CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
菁优网版权所有 菁优网版权所有
【专题】11：计算题． 【分析】（1）投到该杂志的1篇稿件被录用包括稿件能通过两位初审专家的评审或稿件恰能通过
一位初审专家的评审又能通过复审专家的评审两种情况，这两种情况是互斥的，且每种情况中
【分析】先利用正弦定理题设等式中的边转化角的正弦，化简整理求得 sin（A﹣ ）=sin（B+
包含的事情有时相互独立的，列出算式．
（2）投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的对立事件是 0篇被录用，1篇被录用两种结
），进而根据A，B的范围，求得A﹣ 和B+ 的关系，进而求得A+B= ，则C的值可
果，从对立事件来考虑比较简单．
求．
【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
【解答】解：由已知及正弦定理，有sinA+sinB=sinA• +sinB• =cosA+cosB， B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
∴sinA﹣cosA=cosB﹣sinB
D表示事件：稿件被录用．
∴sin（A﹣ ）=sin（B+ ），
则D=A+B•C，
∵0＜A＜π，0＜B＜π P（A）=0.5×0.5=0.25，
P（B）=2×0.5×0.5=0.5，
∴﹣ ＜A﹣ ＜ ＜B+ ＜
P（C）=0.3，
∴A﹣ +B+ =π， P（D）=P（A+B•C）
=P（A）+P（B•C）
∴A+B= ，C=π﹣（A+B）=
=P（A）+P（B）P（C）
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中关键是利用了正弦定理把边的问题转化为 =0.25+0.5×0.3
角的问题． =0.40．
（2）记4篇稿件有1篇或0篇被录用为事件E，
18．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则P（E）=（1﹣0.4）4+C 1×0.4×（1﹣0.4）3
4
则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则 =0.1296+0.3456
再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能 =0.4752，∴ =1﹣0.4752=0.5248， 故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，
即投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率是0.5248． DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB．
【点评】本题关键是要理解题意，实际上能否理解题意是一种能力，培养学生的数学思想，提高
SB= ，
发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态
度． DE=
EB=
19．（12 分）如图，四棱锥 S﹣ABCD 中，SD⊥底面 ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，
DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC． 所以SE=2EB
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）由SA= ，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．
AE= =1，又AD=1．
故△ADE为等腰三角形．
取ED中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF= ．
连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE．
所以，∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角．
【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题． 连接AG，AG= ，FG= ，
【分析】（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，作BK⊥EC，K为垂足，根据线面垂直的判定
定理可知DE⊥平面SBC，然后分别求出SE与EB的长，从而得到结论； cos∠AFG= ，
（Ⅱ）根据边长的关系可知△ADE为等腰三角形，取ED中点F，连接AF，连接FG，根据二面角平
所以，二面角A﹣DE﹣C的大小为120°．
面角的定义可知∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角，然后在三角形AGF中求出二面角A﹣DE﹣
C的大小．
【解答】解：（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，
由此知DG=GC=BG=1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD．
又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，
所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．
作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，
【点评】本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题． 时考查了运算求解的能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1． 21．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，
（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围； 点A关于x轴的对称点为D．
（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0． （Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设 ，求△BDK的内切圆M的方程．
【考点】63：导数的运算．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；IP：恒过定点的直线；J1：圆的标准方程；K8：抛物线
【分析】（Ⅰ）先根据导数公式求出导函数f′（x），代入xf′（x）≤x2+ax+1，将a分离出来，然
的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．
后利用导数研究不等式另一侧的最值，从而求出参数a的取值范围； 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．
（Ⅱ）根据（I）可知g（x）≤g（1）=﹣1即lnx﹣x+1≤0，然后讨论x与1的大小，从而确定（x
【分析】（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K的直线L方程代入抛物线方程消去
﹣1）的符号，然后判定f（x）与0的大小即可证得结论．
x，设L与C 的交点A（x ，y ），B（x ，y ），根据韦达定理求得y +y 和y y 的表达式，进而
1 1 2 2 1 2 1 2
【解答】解：（Ⅰ） ，
根据点A求得点D的坐标，进而表示出直线BD和BF的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而
xf′（x）=xlnx+1， 转化为4x =y22，依题意可知等式成立进而推断出k =k 原式得证．
2 1 2
题设xf′（x）≤x2+ax+1等价于lnx﹣x≤a．
（Ⅱ）首先表示出 结果为 求得m，进而求得y ﹣y 的值，推知BD的斜率，则BD方程可知，
2 1
令g（x）=lnx﹣x，则
设M为（a，0），M到x= y﹣1和到BD的距离相等，进而求得a和圆的半径，则圆的方程可
当0＜x＜1，g′（x）＞0；
当x≥1时，g′（x）≤0，x=1是g（x）的最大值点，
得．
g（x）≤g（1）=﹣1 【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y2=4x①的焦点为F（1，0），
综上，a的取值范围是[﹣1，+∞）． 设过点K（﹣1，0）的直线L：x=my﹣1，
代入①，整理得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1即lnx﹣x+1≤0． y2﹣4my+4=0，
当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0； 设L与C 的交点A（x ，y ），B（x ，y ），则
1 1 2 2
y +y =4m，y y =4，
当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）= = ≥0 1 2 1 2
点A关于X轴的对称点D为（x ，﹣y ）．
1 1
所以（x﹣1）f（x）≥0．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，以及利用参数分离法求参数的取值范围，同 BD的斜率k = = = ，
1考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数
BF的斜率k = ．
2 形结合思想、设而不求思想．
要使点F在直线BD上
需k 1 =k 2 22．（12分）已知数列{a n }中，a 1 =1，a n+1 =c﹣ ．
需4（x ﹣1）=y （y ﹣y ），
2 2 2 1
（Ⅰ）设c= ，b = ，求数列{b }的通项公式；
需4x =y22， n n
2
上式成立，∴k 1 =k 2 ， （Ⅱ）求使不等式a n ＜a n+1 ＜3成立的c的取值范围．
∴点F在直线BD上．
【考点】8H：数列递推式；RG：数学归纳法．
（Ⅱ） =（x ﹣1，y ）（x ﹣1，y ）=（x ﹣1）（x ﹣1）+y y =（my ﹣2）（my ﹣ 菁优网版权所有
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
【专题】15：综合题；16：压轴题．
2）+y 1 y 2 =4（m2+1）﹣8m2+4=8﹣4m2= ， 【分析】（1）令c= 代入到a n+1 =c﹣ 中整理并令b n = 进行替换，得到关系式 b n+1 =4b n +2，
∴m2= ，m=± ．
进而可得到{ }是首项为﹣ ，公比为4的等比数列，先得到{ }的通项公式，即可得
y 2 ﹣y 1 = =4 = ， 到数列{b n }的通项公式．
（2）先求出n=1，2时的c的范围，然后用数学归纳法分3步进行证明当c＞2时a ＜a ，然后当
n n+1
∴k = ，BD：y= （x﹣1）．
1
易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x= y﹣1和到BD的距离相等，即 c＞2时，令α= ，根据由 可发现c＞ 时不能满足条件，
|a+1|× =|（ （a﹣1）|× ， 进而可确定c的范围．
∴4|a+1|=5|a﹣1|，﹣1＜a＜1，
【解答】解：（1） ，
解得a= ．
，即b =4b +2
∴半径r= ， n+1 n
∴△BDK的内切圆M的方程为（x﹣ ）2+y2= ． ，a =1，故
1
【点评】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关
所以{ }是首项为﹣ ，公比为4的等比数列，
系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，，
（Ⅱ）a =1，a =c﹣1，由a ＞a 得c＞2．
1 2 2 1
用数学归纳法证明：当c＞2时a ＜a ．
n n+1
（ⅰ）当n=1时，a =c﹣ ＞a ，命题成立；
2 1
（ii）设当n=k时，a ＜a ，
k k+1
则当n=k+1时，
故由（i）（ii）知当c＞2时，a ＜a
n n+1
当c＞2时，令α= ，由
当2＜c≤ 时，a ＜α≤3
n
当c＞ 时，α＞3且1≤a ＜α
n
于是
α﹣a ≤ （α﹣1），
n+1
当n＞
因此c＞ 不符合要求．
所以c的取值范围是（2， ]．
【点评】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基
本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了对函数与
方程思想、化归与转化思想的考查．
