文档内容
2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ） A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
1．（5分）函数 的定义域为（ ）
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1} 9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式 ＜0的
2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行
解集为（ ）
驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）
10．（5分）若直线 =1与圆x2+y2=1有公共点，则（ ）
A． B．
A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．
11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A B C 的侧棱与底面边长都相等，A 在底面ABC内的射影为△ABC
1 1 1 1
的中心，则AB 与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）
1
C． D．
3．（5分）在△ABC中， = ， = ．若点D满足 =2 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）设a R，且（a+i）2i为正实数，则a=（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
∈
5．（5分）已知等差数列{a }满足a +a =4，a +a =10，则它的前10项的和S =（ ）
n 2 4 3 5 10
A． B． C． D．
A．138 B．135 C．95 D．23
6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln 的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（ ） 12．（5分）如图，一环形花坛分成 A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里
A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2 种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
7．（5分）已知曲线y= 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
A．96 B．84 C．60 D．48
8．（5分）为得到函数 的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=2x﹣y的最大值为 ．
14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点
的三角形面积为 ．
15．（5分）在△ABC中，AB=BC， ．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离
心率e= ．
16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为 ，
19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．
M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 ．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
三、解答题（共6小题，满分70分） （Ⅱ）若f（x）在区间（0， ）上是减函数，求实数a的取值范围．
17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA= c．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．
20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液
化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：
18．（12 分）四棱锥 A﹣BCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC⊥底面 BCDE，BC=2， ， 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
AB=AC． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这 3只中的1
（Ⅰ）证明：AD⊥CE； 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小． （Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a }满足0＜a ＜1，a =f（a ）．
n 1 n+1 n
21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l ，l ，经过右焦点F垂 （Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；
1 2
直于l 的直线分别交l ，l 于A，B两点．已知| |、| |、| |成等差数列，且 与 同向． （Ⅱ）证明：a ＜a ＜1；
1 1 2 n n+1
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅲ）设b （a ，1），整数 ．证明：a ＞b．
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 1 k+1
∈【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
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【专题】16：压轴题；31：数形结合．
参考答案与试题解析 【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程 s
看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（时间）之间变化趋势，
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
分析四个答案即可得到结论．
1．（5分）函数 的定义域为（ ）
【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
路程随时间上升的速度越来越快，
故图象的前边部分为凹升的形状；
【考点】33：函数的定义域及其求法．
菁优网版权所有 在汽车的匀速行驶阶段，
【分析】偶次开方的被开方数一定非负．x（x﹣1）≥0，x≥0，解关于x的不等式组，即为函数
路程随时间上升的速度保持不变
的定义域．
故图象的中间部分为平升的形状；
【解答】解：由x（x﹣1）≥0，得x≥1，或x≤0．
在汽车减速行驶之后停车阶段，
又因为x≥0，所以x≥1，或x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}
路程随时间上升的速度越来越慢，
故选：C．
故图象的前边部分为凸升的形状；
【点评】定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现，通常注意偶次开方一定非负，分式中
分析四个答案中的图象，
分母不能为0，对数函数的真数一定要大于0，指数和对数的底数大于0且不等于1．另外还要 只有A答案满足要求，
注意正切函数的定义域． 故选：A．
【点评】从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象
2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行
是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长
驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ）
速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象
是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低
速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．
A． B．
3．（5分）在△ABC中， = ， = ．若点D满足 =2 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
C． D．
【考点】9B：向量加减混合运算．
菁优网版权所有【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要 ∴d=3，a =﹣4，
1
求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部
∴S =10a + =95．
10 1
分入手．
故选：C．
【解答】解：∵由 ，
【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数
∴ ，
列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该
∴ ．
数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，
故选：A．
间接求其通项公式．
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解
决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以 6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln 的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（ ）
向量为载体的 A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2
4．（5分）设a R，且（a+i）2i为正实数，则a=（ ） 【考点】4R：反函数．
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A．2
∈
B．1 C．0 D．﹣1 【专题】11：计算题．
【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln 的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义． 数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数y=ln 中反
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【分析】注意到a+bi（a，b R）为正实数的充要条件是a＞0，b=0 解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．
【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai﹣1）i=﹣2a+（a2﹣1）i＞0，a=﹣1．故选D．
∈
【解答】解：∵ ，∴ ，∴x=（ey﹣1）2=e2y﹣2，改写为：y=e2x﹣2
【点评】本题的计算中，要注意到相应变量的范围．
∴答案为A．
5．（5分）已知等差数列{a }满足a +a =4，a +a =10，则它的前10项的和S =（ ） 【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法．
n 2 4 3 5 10
A．138 B．135 C．95 D．23
7．（5分）已知曲线y= 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为（ ）
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．
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【专题】11：计算题．
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前 n项和，根据a +a =4，a +a =10我
2 4 3 5
们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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前n项和公式，即可求解． 【专题】53：导数的综合应用．
【解答】解：∵（a
3
+a
5
）﹣（a
2
+a
4
）=2d=6， 【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．【解答】解：∵y= ，
9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式 ＜0的
∴y′= = ，
解集为（ ）
∴曲线y= 在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣ ， A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）
∵曲线y= 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a× =﹣1，即a=﹣2． 菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
故选：D．
【分析】首先利用奇函数定义与 得出x与f（x）异号，
【点评】本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注
意直线与直线垂直的性质的灵活运用．
然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，
最后结合f（x）的单调性解出答案．
8．（5分）为得到函数 的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ） 【解答】解：由奇函数f（x）可知 ，即x与f（x）异号，
而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得 ＜0，满足；
当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得 ＞0，不满足，舍去；
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
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【专题】11：计算题．
当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得 ＜0，满足；
【分析】先根据诱导公式将函数 化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移
当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得 ＞0，不满足，舍去；
即可得到答案．
所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．
【解答】解：∵ ，
故选：D．
【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．
只需将函数y=sin2x的图象向左平移 个单位得到函数 的图象．
故选：A．
10．（5分）若直线 =1与圆x2+y2=1有公共点，则（ ）
【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC﹣A B C 的侧棱与底面边长都相等，A 在底面ABC内的射影
A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D． 1 1 1 1
为△ABC的中心，设为D，
所以三棱锥A ﹣ABC为正四面体，设棱长为2，
1
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
菁优网版权所有 则△AA B 是顶角为120°等腰三角形，
1 1
【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．
所以AB =2×2×sin60°=2 ，A D= = ，
【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r 1 1
，∴ ， 所以AB 与底面ABC所成角的正弦值为 = = ；
1
故选：D． （法二）由题意不妨令棱长为2，点B 到底面的距离是B E，
1 1
【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，是基础题． 如图，A 在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，
1
故DA= ，
11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A B C 的侧棱与底面边长都相等，A 在底面ABC内的射影为△ABC
1 1 1 1
的中心，则AB
1
与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）
由勾股定理得A D= = 故B E= ，
1 1
如图作A S⊥AB于中点S，过B1作AB的垂线段，垂足为F，
1
BF=1，B F=A S= ，AF=3，
1 1
在直角三角形B AF中用勾股定理得：AB =2 ，
1 1
所以AB 与底面ABC所成角的正弦值sin∠B AE= = ．
1 1
A． B． C． D．
故选：B．
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；5G：空间角．
【分析】法一：由题意可知三棱锥A ﹣ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB 及三棱锥的高，由
1 1
线面角的定义可求出答案；
法二：先求出点A 到底面的距离A D的长度，即知点B 到底面的距离B E的长度，再求出AE的长
1 1 1 1
度，在直角三角形AEB 中求AB 与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正
1 1
弦．【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转 【分析】首先作出可行域，再作出直线l ：y=2x，将l 平移与可行域有公共点，直线y=2x﹣z在y
0 0
化思想和空间想象能力． 轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x
﹣y中即可．
12．（5分）如图，一环形花坛分成 A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里 【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l ：y=2x，将l 平移至过点A处时，函数z=2x﹣y有最
0 0
种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） 大值9．
A．96 B．84 C．60 D．48
【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．
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【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．
【专题】16：压轴题．
【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两
14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点
种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．
的三角形面积为 2 ．
【解答】解：分三类：种两种花有A 2种种法；
4
种三种花有2A 3种种法；
4
【考点】K8：抛物线的性质．
种四种花有A
4
4种种法．
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【专题】11：计算题．
共有A 2+2A 3+A 4=84．
4 4 4
【分析】先根据抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点，求得 a，得到抛物线方程，进而可知与
故选：B．
坐标轴的交点的坐标，进而可得答案．
【点评】本题也可以这样解：按 A﹣B﹣C﹣D 顺序种花，可分 A、C 同色与不同色有 4×3×
（1×3+2×2）=84． 【解答】解：由抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为 坐标原点得，
，则
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
与坐标轴的交点为（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0）
13．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=2x﹣y的最大值为 9 ．
，则以这三点围成的三角形的面积为
故答案为2
【考点】7C：简单线性规划．
菁优网版权所有 【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．
【专题】11：计算题；13：作图题．15．（5分）在△ABC中，AB=BC， ．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离 则 ， =
心率e= ． 故EM，AN所成角的余弦值 故答案为：
【考点】K4：椭圆的性质．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设AB=BC=1， ，则 ，由此可知 ，
从而求出该椭圆的离心率．
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属
【解答】解：设AB=BC=1， ，则 ，
于基础题．
∴ ， ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
答案： ．
17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA= c．
【点评】本题考查椭圆的性质及应用，解题时要注意的正确计算．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．
16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为 ，
【考点】GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理．
M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 ．
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【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，
（ Ⅰ ） 由 正 弦 定 理 的 边 角 互 化 ， 我 们 可 将 已 知 中 ， 进 行 转 化 得 到
【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求 的值．
【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底
表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可． （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，则tan（A﹣
【解答】解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，
B）可化为 ，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值．
OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角 ，
结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中， ，由正弦定理得 【分析】（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．
（2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE即为所求二面角
的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小．
即sinAcosB=4cosAsinB，
【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，
则 ； ∵AB=AC，∴AF⊥BC．
又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．
（Ⅱ）由 得
再根据 ，可得∠CED=∠FDC．
tanA=4tanB＞0
又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，
∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．
（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．
当且仅当 时，等号成立，
∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，
故当 时， 则∠CGE即为所求二面角的平面角．
作CH⊥AB，H为垂足．
tan（A﹣B）的最大值为 ．
∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH 平面ABC，
【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用 故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，
⊂
时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式． ∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角．
∵CE= ，∴CH=EH= ．
18．（12 分）四棱锥 A﹣BCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC⊥底面 BCDE，BC=2， ，
直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH= = =1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1；
AB=AC．
（Ⅰ）证明：AD⊥CE；
直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2，∴AB=AC=2．
（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．
由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，
故△ACD为直角三角形，AD= = = ，
故CG= = = ，DG= = ，
，又 ，
则 ，
【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．
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【专题】5F：空间位置关系与距离．即：2x2﹣3x+1＜0
∴ ，
函数f（x）的单调递增区间是 ．
即二面角C﹣AD﹣E的大小 ．
（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣ ，
∵f（x）在 上为减函数，
∴x 时﹣2x+a﹣ ≤0恒成立．
∈
即a≤2x+ 恒成立．
设 ，则
【点评】本题主要考查通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，
∵x 时， ＞4，
属于中档题．
∈
∴g′（x）＜0，
19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．
∴g（x）在 上递减，
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
∴g（x）＞g（ ）=3，
（Ⅱ）若f（x）在区间（0， ）上是减函数，求实数a的取值范围．
∴a≤3．
【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，
【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断．
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综合性较强．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．
20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液
（2）已知f（x）在区间（0， ）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0， ）上恒成立，然后用
化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：
分离参数求最值即可． 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这 3只中的1
只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
∴
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
解f′（x）＞0，（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 直于l 的直线分别交l ，l 于A，B两点．已知| |、| |、| |成等差数列，且 与 同向．
1 1 2
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CH：离散型随机变量的期望与方差． （Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
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【分析】（1）由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分
布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． 【考点】KB：双曲线的标准方程；KC：双曲线的性质．
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（2）根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果． 【专题】11：计算题；16：压轴题．
【解答】解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能： 【分析】（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出
①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为： 直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心
率．
（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，
求出待定系数，即可求出双曲线方程．
②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次
结束）
【解答】解：（1）设双曲线方程为 ，由 ， 同向，
，
∴渐近线的倾斜角范围为（0， ），
∴乙只用两次的概率为 ．
∴渐近线斜率为： ，∴ ．
若乙验三次时，只有一种可能：
先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为 ∵| |、| |、| |成等差数列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，
∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为： ∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）•2|AB|，
∴ ，
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，
∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．
∴ ，
【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期
可得： ，而在直角三角形OAB中，
望将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有
着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．
注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB= ，
21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l ，l ，经过右焦点F垂
1 2【专题】16：压轴题．
而由对称性可知：OA的斜率为k=tan ，
【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断
∴ ，∴2k2+3k﹣2=0，∴ ； 函数在区间（0，1）上的单调性，从而
进行证明．
∴ ，∴ ，∴ ． （2）由题意数列{a }满足0＜a ＜1，a =f（a ），求出a =a ﹣a lna ，然后利用归纳法进行证明；
n 1 n+1 n n+1 n n n
（3）由题意f（x）=x﹣xlnx，a =f（a ）可得a =a ﹣b﹣a ，然后进行讨论求解．
n+1 n k+1 k k
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=x﹣xlnx，
（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为 ﹣ =1，∴c= b．
∴f′（x）=﹣lnx，
当x （0，1）时，f′（x）=﹣lnx＞0
由于AB的倾斜角为 + ∠AOB，故AB的斜率为tan（ + ∠AOB ）=﹣cot（ ∠AOB）=﹣2，
故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；
∈
∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣ b），代入双曲线方程得：15x2﹣32 bx+84b2=0，
（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）
∴x +x = ，x •x = ， （i）当n=1时，0＜a ＜1，a lna ＜0，
1 2 1 2 1 1 1
a =f（a ）=a ﹣a lna ＞a ，
2 1 1 1 1 1
∴4= • = • ，即16= ﹣112b2， ∵函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续，
∴f（x）在区间（0，1]是增函数，
a =f（a ）=a ﹣a lna ＜1，即a ＜a ＜1成立，
2 1 1 1 1 1 2
∴b2=9，所求双曲线方程为： ﹣ =1．
（ⅱ）假设当x=k（k N+）时，a ＜a ＜1成立，
k k+1
即0＜a ≤a ＜a ＜1，
1 k k+1 ∈
【点评】做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据 ，联想到对应的是2渐近线的夹角
那么当n=k+1时，由f（x）在区间（0，1]是增函数，0＜a ≤a ＜a ＜1，
1 k k+1
的正切值，属于中档题．
得f（a ）＜f（a ）＜f（1），
k k+1
而a =f（a ），
n+1 n
22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a }满足0＜a ＜1，a =f（a ）．
n 1 n+1 n 则a =f（a ），a =f（a ），a ＜a ＜1，
k+1 k k+2 k+1 k+1 k+2
（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；
也就是说当n=k+1时，a ＜a ＜1也成立，
n n+1
（Ⅱ）证明：a ＜a ＜1；
n n+1 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，a ＜a ＜1恒成立．
n n+1
（Ⅲ）证明：由f（x）=x﹣xlnx，a =f（a ）可得
n+1 n
（Ⅲ）设b （a ，1），整数 ．证明：a ＞b．
1 k+1
∈ a =a ﹣a lna = ，
k+1 k k k
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．
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1）若存在某i≤k，满足a
i
≤b，则由（Ⅱ）知：a
k+1
﹣b＞a
i
﹣b≥0，2）若对任意 i≤k，都有 a＞b，则 a =a ﹣a lna = = ≥a ﹣b ﹣
i k+1 k k k 1 1
ka lnb=0，
1
即a ＞b成立．
k+1
【点评】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式
等基础知识及数学归纳法的应用，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及
分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、
有限与无限的思想来解决问题．
