文档内容
2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数 的定义域为（ ）
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这
一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（5分）在△ABC中， = ， = ．若点D满足 =2 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）设a R，且（a+i）2i为正实数，则a=（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
∈
5．（5分）已知等差数列{a }满足a +a =4，a +a =10，则它的前10项的和S =
n 2 4 3 5 10
（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln 的图象关于直线y=x对称，
则f（x）=（ ）
A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2
7．（5分）已知曲线y= 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a
的值为（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣28．（5 分）为得到函数 的图象，只需将函数 y=sin2x 的图象（
）
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式
＜0的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）
10．（5分）若直线 =1与圆x2+y2=1有公共点，则（ ）
A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．
11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A B C 的侧棱与底面边长都相等，A 在底面ABC
1 1 1 1
内的射影为△ABC的中心，则AB 与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）
1
A． B． C． D．
12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选
种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数
为（ ）A．96 B．84 C．60 D．48
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=2x﹣y的最大值为 ．
14．（5分）已知抛物线 y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴
的三个交点为顶点的三角形面积为 ．
15．（5分）在△ABC中，AB=BC， ．若以A，B为焦点的椭圆经过点
C，则该椭圆的离心率e= ．
16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D
的余弦值为 ，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值
等于 ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣
bcosA= c．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．
18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，
BC=2， ，AB=AC．
（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．
19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0， ）上是减函数，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定
患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面
是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病
动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结
果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l ，
1
l ，经过右焦点F垂直于l 的直线分别交l ，l 于A，B两点．已知| |、| |、
2 1 1 2
| |成等差数列，且 与 同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a }满足0＜a ＜1，a =f（a ）．
n 1 n+1 n
（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；
（Ⅱ）证明：a ＜a ＜1；
n n+1
（Ⅲ）设b （a ，1），整数 ．证明：a ＞b．
1 k+1
∈2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数 的定义域为（ ）
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
【考点】33：函数的定义域及其求法．
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【分析】偶次开方的被开方数一定非负．x（x﹣1）≥0，x≥0，解关于x的不
等式组，即为函数的定义域．
【解答】解：由x（x﹣1）≥0，得x≥1，或x≤0．
又因为x≥0，所以x≥1，或x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}
故选：C．
【点评】定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现，通常注意偶次开方
一定非负，分式中分母不能为0，对数函数的真数一定要大于0，指数和对数
的底数大于0且不等于1．另外还要注意正切函数的定义域．
2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这
一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
菁优网版权所有【专题】16：压轴题；31：数形结合．
【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，
汽车的行驶路程 s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值 S（路
程）与自变量t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论．
【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，
路程随时间上升的速度越来越快，
故图象的前边部分为凹升的形状；
在汽车的匀速行驶阶段，
路程随时间上升的速度保持不变
故图象的中间部分为平升的形状；
在汽车减速行驶之后停车阶段，
路程随时间上升的速度越来越慢，
故图象的前边部分为凸升的形状；
分析四个答案中的图象，
只有A答案满足要求，
故选：A．
【点评】从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越
来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图
象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，
表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明
相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速
度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．
3．（5分）在△ABC中， = ， = ．若点D满足 =2 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【考点】9B：向量加减混合运算．
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【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着
已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可
以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．【解答】解：∵由 ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加
减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问
题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的
4．（5分）设a R，且（a+i）2i为正实数，则a=（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
∈
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
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【分析】注意到a+bi（a，b R）为正实数的充要条件是a＞0，b=0
【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai﹣1）i=﹣2a+（a2﹣1）i＞0，a=﹣1．故选D．
∈
【点评】本题的计算中，要注意到相应变量的范围．
5．（5分）已知等差数列{a }满足a +a =4，a +a =10，则它的前10项的和S =
n 2 4 3 5 10
（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．
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【专题】11：计算题．
【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前 n项和，根据
a +a =4，a +a =10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组
2 4 3 5
求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．
【解答】解：∵（a +a ）﹣（a +a ）=2d=6，
3 5 2 4
∴d=3，a =﹣4，
1
∴S =10a + =95．
10 1
故选：C．【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等
差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据
等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的
类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．
6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln 的图象关于直线y=x对称，
则f（x）=（ ）
A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2
【考点】4R：反函数．
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【专题】11：计算题．
【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln 的图象关于直线y=x对称知这
两个函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数
的反函数，即从原函数y=ln 中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函
数的解析式．
【解答】解：∵ ，∴ ，∴x=（ey﹣1）2=e2y﹣2，改写为：y=e2x﹣2
∴答案为A．
【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法．
7．（5分）已知曲线y= 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a
的值为（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】53：导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到 a的
值．
【解答】解：∵y= ，∴y′= = ，
∴曲线y= 在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣ ，
∵曲线y= 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，
∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a× =﹣1，即a=﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审
题，仔细解答，注意直线与直线垂直的性质的灵活运用．
8．（5 分）为得到函数 的图象，只需将函数 y=sin2x 的图象（
）
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
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【专题】11：计算题．
【分析】先根据诱导公式将函数 化为正弦的形式，再根据左加右
减的原则进行平移即可得到答案．
【解答】解：∵ ，
只需将函数y=sin2x的图象向左平移 个单位得到函数 的图象．
故选：A．
【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．
9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
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【专题】16：压轴题．
【分析】首先利用奇函数定义与 得出x与f（x）异号，
然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，
最后结合f（x）的单调性解出答案．
【解答】解：由奇函数f（x）可知 ，即x与f（x）异号，
而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，
又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函
数，
当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得 ＜0，满足；
当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得 ＞0，不满足，舍去；
当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得 ＜0，满足；
当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得 ＞0，不满足，舍去；
所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．
故选：D．
【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．
10．（5分）若直线 =1与圆x2+y2=1有公共点，则（ ）
A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．
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【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．
【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r
，∴ ，
故选：D．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，是基础题．
11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A B C 的侧棱与底面边长都相等，A 在底面ABC
1 1 1 1
内的射影为△ABC的中心，则AB 与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）
1
A． B． C． D．
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；5G：空间角．
【分析】法一：由题意可知三棱锥A ﹣ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB
1 1
及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；
法二：先求出点A 到底面的距离A D的长度，即知点B 到底面的距离B E的长
1 1 1 1
度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB 中求AB 与底面ABC所成角的正切，
1 1
再由同角三角函数的关系求出其正弦．
【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC﹣A B C 的侧棱与底面边长都相等，A 在
1 1 1 1
底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，
所以三棱锥A ﹣ABC为正四面体，设棱长为2，
1
则△AA B 是顶角为120°等腰三角形，
1 1所以AB =2×2×sin60°=2 ，A D= = ，
1 1
所以AB 与底面ABC所成角的正弦值为 = = ；
1
（法二）由题意不妨令棱长为2，点B 到底面的距离是B E，
1 1
如图，A 在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，
1
故DA= ，
由勾股定理得A D= = 故B E= ，
1 1
如图作A S⊥AB于中点S，过B1作AB的垂线段，垂足为F，
1
BF=1，B F=A S= ，AF=3，
1 1
在直角三角形B AF中用勾股定理得：AB =2 ，
1 1
所以AB 与底面ABC所成角的正弦值sin∠B AE= = ．
1 1
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距
的转化，考查了转化思想和空间想象能力．
12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选
种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数
为（ ）A．96 B．84 C．60 D．48
【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．
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【专题】16：压轴题．
【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分
为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．
【解答】解：分三类：种两种花有A 2种种法；
4
种三种花有2A 3种种法；
4
种四种花有A 4种种法．
4
共有A 2+2A 3+A 4=84．
4 4 4
故选：B．
【点评】本题也可以这样解：按A﹣B﹣C﹣D顺序种花，可分A、C同色与不同
色有4×3×（1×3+2×2）=84．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=2x﹣y的最大值为 9 ．
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】11：计算题；13：作图题．
【分析】首先作出可行域，再作出直线l ：y=2x，将l 平移与可行域有公共点，
0 0
直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线 y=2x﹣z经
过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可．
【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l ：y=2x，将l 平移至过点A处时，
0 0
函数z=2x﹣y有最大值9．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．
14．（5分）已知抛物线 y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴
的三个交点为顶点的三角形面积为 2 ．
【考点】K8：抛物线的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】先根据抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点，求得a，得到抛物线
方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案．
【解答】解：由抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为 坐标原点得，
，则
与坐标轴的交点为（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0）
，则以这三点围成的三角形的面积为
故答案为2
【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实
际问题的能力．
15．（5分）在△ABC中，AB=BC， ．若以A，B为焦点的椭圆经过点
C，则该椭圆的离心率e= ．
【考点】K4：椭圆的性质．
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【分析】设 AB=BC=1， ，则 ，由此
可知 ，从而求出该椭圆的离心率．
【解答】解：设AB=BC=1， ，则 ，
∴ ， ．
答案： ．
【点评】本题考查椭圆的性质及应用，解题时要注意的正确计算．
16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D
的余弦值为 ，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值
等于 ．
【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所
求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．
【解答】解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，
OH⊥ AB ， 则 CH⊥ AB ， ∠ CHO 为 二 面 角 C﹣AB﹣D 的 平 面 角
，
结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，
则 ，
=故EM，AN所成角的余弦值 故答案为：
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和
推理论证能力，属于基础题．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣
bcosA= c．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理．
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【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，
（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中 ，进行转化得
到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求 的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角 A，B，C 为△ABC 的内角，我们易得
tanA=4tanB＞0，则tan（A﹣B）可化为 ，再结合基本不等式即可
得到tan（A﹣B）的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中， ，
由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB，
则 ；
（Ⅱ）由 得
tanA=4tanB＞0
当且仅当 时，等号成立，
故当 时，
tan（A﹣B）的最大值为 ．
【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用
于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．
18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，
BC=2， ，AB=AC．
（Ⅰ）证明：AD⊥CE；
（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．
【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．
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【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明
线线垂直的目的．（2）在面 AED 内过点 E 作 AD 的垂线，垂足为 G，由（1）知，CE⊥AD，则
∠CGE即为所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小．
【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，
∵AB=AC，∴AF⊥BC．
又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．
再根据 ，可得∠CED=∠FDC．
又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，
∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．
（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．
∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，
则∠CGE即为所求二面角的平面角．
作CH⊥AB，H为垂足．
∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH 平面
ABC，
⊂
故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，
∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角．
∵CE= ，∴CH=EH= ．
直角三角形 CBH 中，利用勾股定理求得 BH= = =1，∴AH=AB﹣
BH=AC﹣1；
直 角 三 角 形 ACH 中 ， 由 勾 股 定 理 求 得 AC2=CH2+AH2=3+ （ AC﹣1 ） 2 ，
∴AB=AC=2．
由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，
故△ACD为直角三角形，AD= = = ，
故CG= = = ，DG= = ，
，又 ，
则 ，∴ ，
即二面角C﹣AD﹣E的大小 ．
【点评】本题主要考查通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法，以及求二面
角的大小的方法，属于中档题．
19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0， ）上是减函数，求实数a的取值范围．
【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．
（2）已知f（x）在区间（0， ）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0， ）
上恒成立，然后用分离参数求最值即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx
∴
解f′（x）＞0，
即：2x2﹣3x+1＜0函数f（x）的单调递增区间是 ．
（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣ ，
∵f（x）在 上为减函数，
∴x 时﹣2x+a﹣ ≤0恒成立．
∈
即a≤2x+ 恒成立．
设 ，则
∵x 时， ＞4，
∈
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在 上递减，
∴g（x）＞g（ ）=3，
∴a≤3．
【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问
题一般用导数解决，综合性较强．
20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定
患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面
是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病
动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结
果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CH：离散型随机变量的期望与
方差．
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【分析】（1）由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，
写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验
次数的概率．
（2）根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：
①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：
②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，
均可以在第二次结束）
，
∴乙只用两次的概率为 ．
若乙验三次时，只有一种可能：
先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概
率为
∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，
∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．
【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布
的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时，它在市场预
测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关
学科产生深远的影响．21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l ，
1
l ，经过右焦点F垂直于l 的直线分别交l ，l 于A，B两点．已知| |、| |、
2 1 1 2
| |成等差数列，且 与 同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
【考点】KB：双曲线的标准方程；KC：双曲线的性质．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，
再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，
求出渐近线的斜率，进而求出离心率．
（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数
的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程．
【解答】解：（1）设双曲线方程为 ，由 ， 同向，
∴渐近线的倾斜角范围为（0， ），
∴渐近线斜率为： ，∴ ．
∵| |、| |、| |成等差数列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，
∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）•2|AB|，
∴ ，
∴ ，
可得： ，而在直角三角形OAB中，
注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB= ，而由对称性可知：OA的斜率为k=tan ，
∴ ，∴2k2+3k﹣2=0，∴ ；
∴ ，∴ ，∴ ．
（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为 ﹣ =1，∴c= b．
由于AB的倾斜角为 + ∠AOB，故AB的斜率为tan（ + ∠AOB ）=﹣cot（
∠AOB）=﹣2，
∴AB 的直线方程为 y=﹣2（x﹣ b），代入双曲线方程得：15x2﹣32
bx+84b2=0，
∴x +x = ，x •x = ，
1 2 1 2
∴4= • = • ，即 16= ﹣
112b2，
∴b2=9，所求双曲线方程为： ﹣ =1．
【点评】做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据 ，联想到对应的
是2渐近线的夹角的正切值，属于中档题．
22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a }满足0＜a ＜1，a =f（a ）．
n 1 n+1 n
（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；
（Ⅱ）证明：a ＜a ＜1；
n n+1
（Ⅲ）设b （a ，1），整数 ．证明：a ＞b．
1 k+1
∈【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令 f′（x）=0，解出函数的极值点，
最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而
进行证明．
（2）由题意数列{a }满足0＜a ＜1，a =f（a ），求出a =a ﹣a lna ，然后利
n 1 n+1 n n+1 n n n
用归纳法进行证明；
（3）由题意f（x）=x﹣xlnx，a =f（a ）可得a =a ﹣b﹣a ，然后进行讨论求
n+1 n k+1 k k
解．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=x﹣xlnx，
∴f′（x）=﹣lnx，
当x （0，1）时，f′（x）=﹣lnx＞0
故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；
∈
（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）
（i）当n=1时，0＜a ＜1，a lna ＜0，
1 1 1
a =f（a ）=a ﹣a lna ＞a ，
2 1 1 1 1 1
∵函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续，
∴f（x）在区间（0，1]是增函数，
a =f（a ）=a ﹣a lna ＜1，即a ＜a ＜1成立，
2 1 1 1 1 1 2
（ⅱ）假设当x=k（k N+）时，a ＜a ＜1成立，
k k+1
即0＜a ≤a ＜a ＜1，
1 k k+1 ∈
那么当n=k+1时，由f（x）在区间（0，1]是增函数，0＜a ≤a ＜a ＜1，
1 k k+1
得f（a ）＜f（a ）＜f（1），
k k+1
而a =f（a ），
n+1 n
则a =f（a ），a =f（a ），a ＜a ＜1，
k+1 k k+2 k+1 k+1 k+2
也就是说当n=k+1时，a ＜a ＜1也成立，
n n+1
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，a ＜a ＜1恒成立．
n n+1
（Ⅲ）证明：由f（x）=x﹣xlnx，a =f（a ）可得
n+1 na =a ﹣a lna = ，
k+1 k k k
1）若存在某i≤k，满足a≤b，则由（Ⅱ）知：a ﹣b＞a﹣b≥0，
i k+1 i
2 ） 若 对 任 意 i≤ k ， 都 有 a ＞ b ， 则 a =a ﹣a lna = =
i k+1 k k k
≥a ﹣b ﹣ka lnb=0，
1 1 1
即a ＞b成立．
k+1
【点评】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函
数、方程与不等式等基础知识及数学归纳法的应用，一般出题者喜欢考查学
生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用
数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来
解决问题．
