文档内容
2019 年全高考文科数学真题及答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．设 ，则 =
A．2 B． C． D．1
2．已知集合 ，则
A． B． C． D．
3．已知 ，则
A．abc B．acb C．cab D．bca
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度
与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖
子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm
5．函数f(x)= 在[-π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽
样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生
7．tan255°=
A．-2- B．-2+ C．2- D．2+
8．已知非零向量a，b满足 =2 ，且（a-b） b，则a与b的夹角为
A． B． C． D．
9．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入A．A= B．A= C．A= D．A=
10．双曲线C： 的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=- ，则 =
A．6 B．5 C．4 D．3
12．已知椭圆 C的焦点为 ，过F的直线与 C交于A，B两点.若 ，
2
，则C的方程为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线 在点 处的切线方程为___________．
14．记S为等比数列{a}的前n项和.若 ，则S=___________．
n n 415．函数 的最小值为___________．
16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为 ，那么P到平
面ABC的距离为___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意
或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附： ．
P 0.050 0.010 0.001
（K2≥k）
k 3.841 6.635 10.828
18．（12分）
记S为等差数列{a}的前n项和，已知S=-a．
n n 9 5
（1）若a=4，求{a}的通项公式；
3 n
（2）若a>0，求使得S≥a的n的取值范围．
1 n n
19．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–ABCD的底面是菱形，AA=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB，
1 1 1 1 1 1
AD的中点.
1（1）证明：MN∥平面CDE；
1
（2）求点C到平面CDE的距离．
1
20．（12分）
已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
21.（12分）
已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│-│MP│为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的
2cos 3sin110
正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1） ；
（2） ．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学·参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C
7．D 8．B 9．A 10．D 11．A 12．B
二、填空题
13．y=3x 14． 15．−4 16．
三、解答题
17．解：
（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 ，因此男顾客对该商场服务满意的
概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为 ，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．
（2） ．
由于 ，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
18．解：
（1）设 的公差为d．
由 得 ．
由a=4得 ．
3
于是 ．
因此 的通项公式为 ．
（2）由（1）得 ，故 .
由 知 ，故 等价于 ，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是 ．
19．解：
（1）连结 .因为M，E分别为 的中点，所以 ，且 .又因为N
为 的中点，所以 .
由题设知 ，可得 ，故 ，因此四边形MNDE为平行四边形，
.又 平面 ，所以MN∥平面 .
（2）过C作CE的垂线，垂足为H.
1
由已知可得 ， ，所以DE⊥平面 ，故DE⊥CH.从而CH⊥平面 ，故CH的长即为C到平面 的距离，
由已知可得CE=1，CC=4，所以 ，故 .
1
从而点C到平面 的距离为 .
20．解：
（1）设 ，则 .
当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递增，在
单调递减.
又 ，故 在 存在唯一零点.
所以 在 存在唯一零点.
（2）由题设知 ，可得a≤0.
由（1）知， 在 只有一个零点，设为 ，且当 时， ；当时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
又 ，所以，当 时， .
又当 时，ax≤0，故 .
因此，a的取值范围是 .
21．解：（1）因为 过点 ，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线 上，且
关于坐标原点O对称，所以M在直线 上，故可设 .
因为 与直线x+2=0相切，所以 的半径为 .
由已知得 ，又 ，故可得 ，解得 或 .
故 的半径 或 .
（2）存在定点 ，使得 为定值.
理由如下：
设 ，由已知得 的半径为 .
由于 ，故可得 ，化简得M的轨迹方程为 .
因为曲线 是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，所以 .
因为 ，所以存在满足条件的定点P.
22．解：（1）因为 ，且 ，所以C的直角坐标方程为
.
的直角坐标方程为 .（2）由（1）可设C的参数方程为 （ 为参数， ）.
C上的点到 的距离为 .
当 时， 取得最小值7，故C上的点到 距离的最小值为 .
23．解：（1）因为 ，又 ，故有
.
所以 .
（2）因为 为正数且 ，故有
=24.
所以 .
