文档内容
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至
2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，
考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件 、 互斥，那么 ．
·如果事件 、 相互独立，那么 ．
·圆柱的体积公式 ，其中 表示圆柱的底面面积， 表示圆柱的高．
·棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ，则
A． B． C． D．
2．设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为
A．2 B．3 C．5 D．6
3．设 ，则“ ”是“ ”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为
A．5 B．8 C．24 D．29
5．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若 与双曲线 的两条渐近线分
别交于点 和点 ，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
6．已知 ， ， ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
7．已知函数 是奇函数，将 的图象上所有点的横坐标
伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ．若 的最小正周期为 ，且，则
A． B． C． D．
8．已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则
的取值范围为
A． B． C． D．
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9． 是虚数单位，则 的值为_____________．
10． 的展开式中的常数项为_____________．
11．已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 ．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四
条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．
12．设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为_____________．13．设 ，则 的最小值为_____________．
14．在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上，
且 ，则 _____________．
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在 中，内角 所对的边分别为 ．已知 ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．
16．（本小题满分13分）
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 ．假定甲、乙两位同学到校情况互不
影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的
天数恰好多2”，求事件 发生的概率．
17．（本小题满分13分）
如图， 平面 ， ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长．18．（本小题满分13分）
设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的
负半轴上．若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率．
19．（本小题满分14分）
设 是等差数列， 是等比数列．已知 ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 ．
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 ．
20．（本小题满分14分）
设函数 为 的导函数．
（Ⅰ）求 的单调区间；（Ⅱ）当 时，证明 ；
（Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明
．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求 ，再求 。【详解】因为 ，
所以 .
故选D。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即
借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
2.设
【答案】C
【解析】
【分析】
画出可行域，用截距模型求最值。
【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距，
故目标函数在点 处取得最大值。
由 ，得 ，
所以 。
故选C。
【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次
确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，
最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．3.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】 ，即 ，
等价于 ，故 推不出 ；
由 能推出 。
故“ ”是“ ”的必要不充分条件。
故选B。
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p q，q p进行判断；
(2)集合法：根据由⇒p，q成⇒立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这
个方法特别适合以否定形式给出的问题．
4.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图，逐步写出运算结果。
【详解】详解： ，
结束循环，故输出 。
故选B。
【点睛】解决此类型问题时要注意：①要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执
行循环体；②要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；
③要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．5.
【答案】D
【解析】
【分析】
只需把 用 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
【详解】 的方程为 ，双曲线的渐近线方程为 ，
故得 ，
所以 ， ， ，
所以 。
故选D。
【点睛】双曲线 的离心率 。
6
【答案】A
【解析】
【分析】
利用利用 等中间值区分各个数值的大小。
【详解】 ，
，，故 ，
所以 。
故选A。
【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与 的大小区别对待。
7.
【答案】A
【解析】
【分析】
只需根据函数性质逐步得出 值即可。
【详解】 为奇函数，可知 ，
由 可得 ；
把其图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍，得 ，
由 的最小正周期为 可得 ，
由 ，可得 ，
所以 ， 。
故选C。
【点睛】在 处有定义的奇函数必有 。
8.
【答案】C
【解析】【分析】
先判断 时， 在 上恒成立；若 在 上恒成立，转化为
在 上恒成立。
【详解】首先 ，即 ，
当 时， ，
当 时， ，
故当 时， 在 上恒成立；
若 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
易知 为函数 在 唯一的极小值点、也是最小值点，
故 ，所以 。
综上可知， 的取值范围是 。
故选C。
【点睛】 在 上恒成立，等价于 ； 在 上恒成立，等价于
。
第Ⅱ卷
二.填空题：本大题共6小题.9. 是虚数单位，则 的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。
【详解】解法一： 。
解法二： 。
【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形
式，再根据题意求解．
10. 是展开式中的常数项为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出 的值，再求出其常数项。
【详解】 ，
由 ，得 ，
故所求的常数项为 .
【点睛】二项式中含有负号时，要把负号与其后面的字母看作一个整体，计算中要特别注意符号。
11.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。
【详解】四棱锥的高为 ，
故圆柱 的高为 ，圆柱的底面半径为 ，
故其体积为 。
【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。
12.设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出 满足的方程，解之解得。
【详解】圆心坐标为 ，圆的半径为 ，
所以 ，
即 ，
解得 。【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出
判断。
13.设 ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
把分子展开化为 ，再利用基本不等式求最值。
【详解】 ，
等号当且仅当 ，即 时成立。
故所求的最小值为 。
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。
14.在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上，
且 ，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。
【详解】解法一：如图，过点 作 的平行线交 于 ，
因为 ，故四边形 为菱形。
因为 ， ，所以 ，即 .因为 ，
所以 .
解法二：建立如图所示的直角坐标系，则 ， 。
因为 ∥ ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，
直线 的斜率为 ，其方程为 。
由 得 ， ，
。
所以
所以 。【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为
方便。
三.解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.在 中，内角 所对 的边分别为 .已知 ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到 的比例关系，然后利用余弦定理可得 的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得 的值，然后利用两角和的正弦公式可得 的值.
【详解】（Ⅰ）解：在 中，由正弦定理 ，得 ，又由
，得 ，即 .又因为 ，得到 ， .由余弦定理可得 .
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得 ，从而 ，
，故
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正
弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影
响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天
数恰好多2”，求事件 发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望
公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为 ，故 ，从面 .
所以，随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 .
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为 ，则 .
且 .
由题意知事件 与 互斥，
且事件 与 ，事件 与 均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等
基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.17.如图， 平面 ， ， .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） （Ⅲ）
【解析】
【分析】
首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；
(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可
得CF的长度.
【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角
坐标系(如图)，可得 .
设 ，则 .
(Ⅰ)依题意， 是平面ADE的法向量，
又 ，可得 ，
又因为直线 平面 ，所以 平面 .
(Ⅱ)依题意， ，
设 为平面BDE的法向量，
则 ，即 ，
不妨令z=1，可得 ，
因此有 .
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(Ⅲ)设 为平面BDF的法向量，则 ，即 .不妨令y=1，可得 .
由题意，有 ，解得 .
经检验，符合题意｡
所以，线段 的长为 .
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决
立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
18.设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半
轴上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 或 .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的值，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达
式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.
【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ，b=2，
c=1.
所以，椭圆方程为.(Ⅱ)由题意，设 .设直线 的斜率为 ，
又 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 ，
整理得 ，可得 ，
代入 得 ，
进而直线 的斜率 ，
在 中，令 ，得 .
由题意得 ，所以直线 的斜率为 .
由 ，得 ，
化简得 ，从而 .
所以，直线 的斜率为 或 .
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的
性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.
19.设 是等差数列， 是等比数列.已知 .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
【 答 案 】 （ Ⅰ ） ； （ Ⅱ ） （ i ） （ ii ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列 的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进
行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得 的值.
【详解】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .
依题意得 ，解得 ，
故 ， .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .
(Ⅱ)(i) .
所以，数列 的通项公式为 .(ii)
.
【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想
和数列求和的基本方法以及运算求解能力.
20.设函数 为 的导函数.
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，证明 ；
（Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明
.
【 答 案 】 （ Ⅰ ） 单 调 递 增 区 间 为 的 单 调 递 减 区 间 为
.（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明
【解析】
【分析】(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数 的单调区间；
(Ⅱ)构造函数 ，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数 的最小值即
可证得题中的结论；
(Ⅲ)令 ，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的
结果.
【详解】(Ⅰ)由已知，有 .
当 时，有 ，得 ，则 单调递减;
当 时，有 ，得 ，则 单调递增.
所以， 的单调递增区间为 ，
的单调递减区间为 .
(Ⅱ)记 .依题意及(Ⅰ)有： ，
从而 .当 时， ，故
.
因此， 在区间 上单调递减，进而 .
所以，当 时， .(Ⅲ)依题意， ，即 .
记 ，则 .
且 .
由 及(Ⅰ)得 .
由(Ⅱ)知，当 时， ，所以 在 上为减函数，
因此 .
又由(Ⅱ)知 ，故：
.
所以 .
【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思
想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.
