文档内容
7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为（ ）
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜3，x Z}，B＝{x||x|＞1，x Z}，则A∩B＝（ ）
A． B．{﹣3，﹣∈2，2，3} C．{﹣2，∈0，2} D．{﹣2，2}
2．（5∅分）（1﹣i）4＝（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i
3．（5分）如图，将钢琴上的12个键依次记为a ，a ，…，a ．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则
1 2 12
a，a，a 为原位大三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a，a，a 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的
i j k i j k
原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（5分）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E
A．5 B．8 C．10 D．15
两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
4．（5分）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量
A．4 B．8 C．16 D．32
大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压 500份订
10．（5分）设函数f（x）＝x3﹣ ，则f（x）（ ）
单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使
第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名 B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减
5．（5分）已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂直的是（ ） C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增
A． B．2 + C． ﹣2 D．2 ﹣ D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减
11．（5分）已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16 ，
6．（5分）记S 为等比数列{a }的前n项和．若a ﹣a ＝12，a ﹣a ＝24，则 ＝（ ）
n n 5 3 6 4
π
则O到平面ABC的距离为（ ）
A．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1 D．21﹣n﹣1A． B． C．1 D．
12．（5分）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（ ）
A．ln（y﹣x+1）＞0 B．ln（y﹣x+1）＜0
C．ln|x﹣y|＞0 D．ln|x﹣y|＜0
18．（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调
13．（5分）若sinx＝﹣ ，则cos2x＝ ． 查得到样本数据（x
i
，y
i
）（i＝1，2，…，20），其中x
i
和y
i
分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公
14．（5分）记S 为等差数列{a }的前n项和．若a ＝﹣2，a +a ＝2，则S ＝ ．
n n 1 2 6 10
顷）和这种野生动物的数量，并计算得 x＝60， y＝1200， （x﹣ ）2＝80， （y﹣ ）2＝
i i i i
15．（5分）若x，y满足约束条件 则z＝x+2y的最大值是 ．
16．（5分）设有下列四个命题： 9000， （x﹣ ）（y﹣ ）＝800．
i i
p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
1
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均
p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
2
p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 数乘以地块数）；
3
（2）求样本（x，y）（i＝1，2，…，20）的相关系数（精确到0.01）；
p ：若直线l 平面 ，直线m⊥平面 ，则m⊥l． i i
4
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动
则下述命题中⊂所有真α命题的序号是 α ．
p ∧p 物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
1 4
①p
1
∧p
2
②￢p
2
∨p
3 附：相关系数r＝ ， ≈1.414．
③￢p
3
∨￢p
4
三、④解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都
必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2（ +A）+cosA＝ ．
（1）求A；
（2）若b﹣c＝ a，证明：△ABC是直角三角形．19．（12分）已知椭圆C ： + ＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的顶
1 2 1 2
点重合．过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|＝ |AB|．
1 2
（1）求C 的离心率；
1
（2）若C
1
的四个顶点到C
2
的准线距离之和为12，求C
1
与C
2
的标准方程． 21．（12分）已知函数f（x）＝2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a＞0，讨论函数g（x）＝ 的单调性．
20．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣A B C 的底面是正三角形，侧面BB C C是矩形，M，N分别为BC，
1 1 1 1 1
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-
B C 的中点，P为AM上一点．过B C 和P的平面交AB于E，交AC于F．
1 1 1 1
4：坐标系与参数方程]（10分）
（1）证明：AA ∥MN，且平面A AMN⊥平面EB C F；
1 1 1 1
（2）设O为△A B C 的中心．若AO＝AB＝6，AO∥平面EB C F，且∠MPN＝ ，求四棱锥B﹣EB C F的
1 1 1 1 1 1 1
22．（10分）已知曲线C ，C 的参数方程分别为C ： （ 为参数），C ： （t为
1 2 1 2
体积． θ
参数）．
（1）将C ，C 的参数方程化为普通方程；
1 2
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C ，C 的交点为P，求圆心在极轴上，且经过
1 2
极点和P的圆的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若f（x）≥4，求a的取值范围．A．5 B．8 C．10 D．15
【分析】由原位大三和弦、原位小三和弦的定义，运用列举法，即可得到所求和．
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
【解答】解：若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a，a，a 为原位大三和弦，
i j k
参考答案与试题解析 即有i＝1，j＝5，k＝8；i＝2，j＝6，k＝9；i＝3，j＝7，k＝10；i＝4，j＝8，k＝11；i＝5，j＝9，k＝12，共
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
5个；
的。
若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则a，a，a 为原位小三和弦，
i j k
1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜3，x Z}，B＝{x||x|＞1，x Z}，则A∩B＝（ ）
可得i＝1，j＝4，k＝8；i＝2，j＝5，k＝9；i＝3，j＝6，k＝10；i＝4，j＝7，k＝11；i＝5，j＝8，k＝12，共
A． B．{﹣3，﹣∈2，2，3} C．{﹣2，∈0，2} D．{﹣2，2}
5个，
【分∅析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．
总计10个．
【解答】解：集合A＝{x||x|＜3，x Z}＝{x|﹣3＜x＜3，x Z}＝{﹣2，﹣1，1，2}，
故选：C．
B＝{x||x|＞1，x Z}＝{x|x＜﹣1或∈x＞1，x Z}， ∈
【点评】本题是数列在实际问题中的运用，运用列举法是解题的关键，属于基础题．
∴A∩B＝{﹣2，∈2}． ∈
4．（5分）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量
故选：D．
大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压 500份订
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使
2．（5分）（1﹣i）4＝（ ）
第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：（1﹣i）4＝[（1﹣i）2]2＝（﹣2i）2＝﹣4．
【分析】由题意可得至少需要志愿者为 ＝18名．
故选：A．
【解答】解：第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算，
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算，
3．（5分）如图，将钢琴上的12个键依次记为a ，a ，…，a ．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则
1 2 12
因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为 ＝18名，
a，a，a 为原位大三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a，a，a 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的
i j k i j k
故选：B．
原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
【点评】本题考查了等可能事件概率的实际应用，属于基础题．
5．（5分）已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂直的是（ ）
A． B．2 + C． ﹣2 D．2 ﹣
【分析】利用平面向量的数量积为0，即可判断两向量是否垂直．
【解答】解：单位向量| |＝| |＝1， • ＝1×1×cos60°＝ ，
对于A，（ +2 ） ＝ • +2 ＝ +2＝ ，所以（ +2 ）与 不垂直；对于B，（2 + ） ＝2 • + ＝2× +1＝2，所以（2 + ）与 不垂直；
对于C，（ ﹣2 ） ＝ • ﹣2 ＝ ﹣2＝﹣ ，所以（ ﹣2 ）与 不垂直；
对于D，（2 ﹣ ） ＝2 • ﹣ ＝2× ﹣1＝0，所以（2 ﹣ ）与 垂直．
故选：D．
【点评】本题考查了判断两向量是否垂直的应用问题，是基础题．
6．（5分）记S 为等比数列{a }的前n项和．若a ﹣a ＝12，a ﹣a ＝24，则 ＝（ ）
n n 5 3 6 4
A．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1 D．21﹣n﹣1
【分析】根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．
【解答】解：设等比数列的公比为q，
A．2 B．3 C．4 D．5
∵a ﹣a ＝12，
5 3
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a的值并输出相应变量k的值，模拟
∴a ﹣a ＝q（a ﹣a ），
6 4 5 3
程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
∴q＝2，
【解答】解：模拟程序的运行，可得
∴a q4﹣a q2＝12，
1 1
k＝0，a＝0
∴12a ＝12，
1
执行循环体，a＝1，k＝1
∴a ＝1，
1
执行循环体，a＝3，k＝2
∴S ＝ ＝2n﹣1，a ＝2n﹣1，
n n 执行循环体，a＝7，k＝3
执行循环体，a＝15，k＝4
∴ ＝ ＝2﹣21﹣n，
此时，满足判断框内的条件a＞10，退出循环，输出k的值为4．
故选：C．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基
【点评】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
础题．
7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为（ ）
8．（5分）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，（2，1）代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的
距离公式即可．【解答】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0． 【分析】先检验f（﹣x）与f（x）的关系即可判断奇偶性，然后结合幂函数的性质可判断单调性．
故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，再把点（2，1）代入，求得a＝5或1，
【解答】解：因为f（x）＝x3﹣ ，
故要求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．
故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）； 则f（﹣x）＝﹣x3+ ＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，
故圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离d＝ ＝ 或d＝ ＝ ；
根据幂函数的性质可知，y＝x3在（0，+∞）为增函数，故y ＝ 在（0，+∞）为减函数，y ＝﹣ 在
1 2
（0，+∞）为增函数，
故选：B．
【点评】本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属 所以当x＞0时，f（x）＝x3﹣ 单调递增，
于基础题．
故选：A．
9．（5分）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E 【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．
11．（5分）已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16 ，
两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
π
则O到平面ABC的距离为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【分析】根据双曲线的渐近线方程求出点D，E的坐标，根据面积求出ab＝8，再根据基本不等式即可求解． A． B． C．1 D．
【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝± x，
【分析】画出图形，利用已知条件求三角形ABC的外接圆的半径，然后求解OO 即可．
1
分别将x＝a，代入可得y＝±b， 【解答】解：由题意可知图形如图：△ABC是面积为 的等边三角形，可得 ，
即D（a，b），E（a，﹣b），
∴AB＝BC＝AC＝3，
则S△ODE ＝ a×2b＝ab＝8，
可得：AO ＝ ＝ ，
1
∴c2＝a2+b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2 时取等号，
球O的表面积为16 ，
∴C的焦距的最小值为2×4＝8，
外接球的半径为：4πR2＝16，解得R＝2，
故选：B．
所以O到平面ABC的
π
距离为： ＝1．
【点评】本题考查了双曲线的方程和基本不等式，以及渐近线方程，属于基础题．
故选：C．
10．（5分）设函数f（x）＝x3﹣ ，则f（x）（ ）
A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增
B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减
C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增
D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减14．（5分）记S 为等差数列{a }的前n项和．若a ＝﹣2，a +a ＝2，则S ＝ 2 5 ．
n n 1 2 6 10
【分析】由已知结合等差数的性质及求和公式即可直接求解．
【解答】解：因为等差数列{a }中，a ＝﹣2，a +a ＝2a ＝2，
n 1 2 6 4
所以a ＝1，
4
3d＝a ﹣a ＝3，即d＝1，
4 1
则S ＝10a ＝10×（﹣2）+45×1＝25．
10 1
故答案为：25
【点评】本题考查球的内接体问题，求解球的半径，以及三角形的外接圆的半径是解题的关键．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础试题．
12．（5分）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（ ）
A．ln（y﹣x+1）＞0 B．ln（y﹣x+1）＜0
15．（5分）若x，y满足约束条件 则z＝x+2y的最大值是 8 ．
C．ln|x﹣y|＞0 D．ln|x﹣y|＜0
【分析】由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．
（x）＜f（y），结合函数的单调性可得x，y的大小关系，结合选项即可判断．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
【解答】解：由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，
由z＝x+2y得y＝﹣ x+ z，
令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），
所以x＜y，即y﹣x＞0，
平移直线y＝﹣ x+ z由图象可知当直线y＝﹣ x+ z经过点A时，直线y＝﹣ x+ z的截距最大，
由于y﹣x+1＞1，故ln（y﹣x+1）＞ln1＝0，
此时z最大，
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于基础试题． 由 ，解得A（2，3），
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
此时z＝2+2×3＝8，
13．（5分）若sinx＝﹣ ，则cos2x＝ ．
故答案为：8．
【分析】由已知利用二倍角公式化简所求即可计算得解．
【解答】解：∵sinx＝﹣ ，
∴cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×（﹣ ）2＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，难度不大，属
于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都
必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2（ +A）+cosA＝ ．
（1）求A；
（2）若b﹣c＝ a，证明：△ABC是直角三角形．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 【分析】（1）由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得sin2A﹣cosA+ ＝0，解方
16．（5分）设有下列四个命题：
p 1 ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 程得cosA＝ ，结合范围A （0， ），可求A的值；
p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
2 ∈ π
（2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sin（B﹣ ）＝ ，结合范围B﹣ （﹣ ，
p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
3
p ：若直线l 平面 ，直线m⊥平面 ，则m⊥l． ∈
4
则下述命题中⊂所有真α命题的序号是 α ． ），可求B＝ ，即可得证．
p 1 ∧p 4 ①③④
【解答】解：（1）∵cos2（ +A）+cosA＝sin2A+cosA＝1﹣cos2A+cosA═ ，
①p
1
∧p
2
②￢p
2
∨p
3 ∴cos2A﹣cosA+ ＝0，解得cosA＝ ，
③￢p
3
∨￢p
4
∵A （0， ），
④【分析】根据空间中直线与直线，直线与平面的位置关系对四个命题分别判断真假即可得到答案．
∈ π
【解答】解：设有下列四个命题： ∴A＝ ；
p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．根据平面的确定定理可得此命题为真命题，
1
（2）证明：∵b﹣c＝ a，A＝ ，
p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．若三点在一条直线上则有无数平面，此命题为假命题，
2
p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面的情况，此命题为假命题，
3
∴由正弦定理可得sinB﹣sinC＝ sinA＝ ，
p ：若直线l 平面 ，直线m⊥平面 ，则m⊥l．由线面垂直的定义可知，此命题为真命题；
4
由复合命题的⊂真假可α判断 p 1 ∧p 4 为α真命题， p 1 ∧p 2 为假命题， ￢p 2 ∨p 3 为真命题， ￢p 3 ∨￢p 4 为真 ∴sinB﹣sin（ ﹣B）＝sinB﹣ cosB﹣ sinB＝ sinB﹣ cosB＝sin（B﹣ ）＝ ，
命题， ① ② ③ ④
∵B ，B﹣ （﹣ ， ），
故真命题的序号是： ，
∈
故答案为： ，①③④
①③④∴该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12000；
∴B﹣ ＝ ，可得B＝ ，可得△ABC是直角三角形，得证．
（2）∵ ， ， ，
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了方程思
想的应用，属于基础题．
18．（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生
动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调 ∴r＝ ＝ ；
查得到样本数据（x，y）（i＝1，2，…，20），其中x 和y 分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公
i i i i
（3）更合理的抽样方法是分层抽样，根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．
顷）和这种野生动物的数量，并计算得 x i ＝60， y i ＝1200， （x i ﹣ ）2＝80， （y i ﹣ ）2＝ 理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖
面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与
总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．
9000， （x i ﹣ ）（y i ﹣ ）＝800． 【点评】本题考查简单的随机抽样，考查相关系数的求法，考查计算能力，是基础题．
19．（12分）已知椭圆C ： + ＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的顶
1 2 1 2
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均
数乘以地块数）；
（2）求样本（x i ，y i ）（i＝1，2，…，20）的相关系数（精确到0.01）； 点重合．过F且与x轴垂直的直线交C 1 于A，B两点，交C 2 于C，D两点，且|CD|＝ |AB|．
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动
（1）求C 的离心率；
1
物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
（2）若C 的四个顶点到C 的准线距离之和为12，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2
【分析】（1）由题意设抛物线的方程，求出焦点坐标，再由题意求切线弦长|CD|，|AB|的值，再由|CD|＝ |
附：相关系数r＝ ， ≈1.414．
AB|，可得a，b，c的关系，由椭圆中，a，b，c之间的关系求出椭圆的离心率；
（2）由椭圆的方程可得4个顶点的坐标，及抛物线的准线方程，进而求出 4个顶点到准线的距离，再由
【分析】（1）由已知数据求得20个样区野生动物数量的平均数，乘以200得答案；
（1）的结论求出a，c的值，又由椭圆中a，b，c之间的关系求出a，b，c的值，进而求出椭圆及抛物线的
（2）由已知直接利用相关系数公式求解；
方程．
（3）由各地块间植物覆盖面积差异很大可知更合理的抽样方法是分层抽样．
【解答】解：（1）由题意设抛物线C 的方程为：y2＝4cx，焦点坐标F为（c，0），因为AB⊥x轴，将x＝c
2
【解答】解：（1）由已知， ，
代入抛物线的方程可得y2＝4c2，所以|y|＝2c，
所以弦长|CD|＝4c，
∴20个样区野生动物数量的平均数为 ＝60，将x＝c代入椭圆C 的方程可得y2＝b2（1﹣ ）＝ ，所以|y|＝ ，
1
所以弦长|AB|＝ ，
再由|CD|＝ |AB|，可得4c＝ ，即3ac＝2b2＝2（a2﹣c2），
整理可得2c2+3ac﹣2a2＝0，即2e2+3e﹣2＝0，e （0，1），所以解得e＝ ， 【分析】（1）先求出线线平行，可得线线垂直，即可求线面垂直，最后可得面面垂直；
∈ （2）利用体积转化法，可得 ＝ ＝ •MN，再分别求MN， 即可求
所以C 的离心率为 ；
1
结论．
（2）由椭圆的方程可得4个顶点的坐标分别为：（±a，0），（0，±b），
【解答】证明：（1）由题意知AA ∥BB ∥CC ，
1 1 1
而抛物线的准线方程为：x＝﹣c，
又∵侧面BB C C是矩形且M，N分别为BC，B C 的中点，
1 1 1 1
所以由题意可得2c+a+c+a﹣c＝12，即a+c＝6，而由（1）可得 ＝ ，所以解得：a＝4，c＝2，所以b2＝a2
∴MN∥BB ，BB ⊥BC，
1 1
∴MN∥AA ，MN⊥B C ，
﹣c2＝16﹣4＝12， 1 1 1
又底面是正三角形，
所以C 的标准方程为： + ＝1，C 的标准方程为：y2＝8x．
1 2 ∴AM⊥BC，A N ⊥B C ，
1 1 1 1
又∵MN∩AM＝M，
【点评】本题考查求椭圆，抛物线的方程，及直线与椭圆的综合，属于中档题．
∴B C ⊥平面A AMN，
1 1 1
20．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣A B C 的底面是正三角形，侧面BB C C是矩形，M，N分别为BC，
1 1 1 1 1 ∵B C 平面EB C F，
1 1 1 1
B C 的中点，P为AM上一点．过B C 和P的平面交AB于E，交AC于F．
1 1 1 1 ∴平面⊂A
1
AMN⊥平面EB
1
C
1
F；
（1）证明：AA ∥MN，且平面A AMN⊥平面EB C F；
1 1 1 1 解：（2）∵AO∥平面EB C F，AO 平面A AMN，
1 1 1
（2）设O为△A 1 B 1 C 1 的中心．若AO＝AB＝6，AO∥平面EB 1 C 1 F，且∠MPN＝ ，求四棱锥B﹣EB 1 C 1 F的 平面A 1 AMN∩平面EB 1 C 1 F＝NP， ⊂
∴AO∥NP，
体积．
∵NO∥AP，
∴AO＝NP＝6，ON＝AP＝ ，
过M作MH⊥NP，垂足为H，
∵平面A AMN⊥平面EB C F，平面A AMN∩平面EB C F＝NP，MH 平面A AMN，
1 1 1 1 1 1 1
∴MH⊥平面EB 1 C 1 F， ⊂当x （0，1）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∵∠MPN＝ ，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
∴MH＝MPsin ＝3， ∴h（∈x）在x＝1时取得极大值也就是最大值为h（1）＝﹣2，
∴c﹣1≥﹣2，即c≥﹣1．
∴ ＝ （B C +EF）•NP＝ （6+2）×6＝24，
1 1 则c的取值范围为[﹣1，+∞）；
∴ ＝ ＝ •MN＝24．
（2）g（x）＝ ＝ （x＞0，x≠a，a＞0）．
∴g′（x）＝ ＝ ．
令w（x）＝﹣ +2lna+2（x＞0），
则w′（x）＝ ，
令w′（x）＞0，解得0＜x＜a，令w′（x）＜0，解得x＞a，
【点评】本题考查了空间位置关系，线面平行，线面垂直，面面垂直，体积公式，考查了运算能力和空间想 ∴w（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减．
象能力，属于中档题． ∴w（x）≤w（a）＝0，即g′（x）≤0，
21．（12分）已知函数f（x）＝2lnx+1． ∴g（x）在（0，a）和（a，+∞）上单调递减．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围； 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法，考查
逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．
（2）设a＞0，讨论函数g（x）＝ 的单调性．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-
【分析】（1）f（x）≤2x+c等价于2lnx﹣2x≤c﹣1．设h（x）＝2lnx﹣2x，利用导数求其最大值，再由c﹣1
4：坐标系与参数方程]（10分）
大于等于h（x）的最大值，即可求得c的取值范围；
22．（10分）已知曲线C ，C 的参数方程分别为C ： （ 为参数），C ： （t为
1 2 1 2
（2）g（x）＝ ＝ （x＞0，x≠a，a＞0），可得g′（x）＝
θ
参数）．
令w（x）＝﹣ +2lna+2（x＞0），利用导数求得w（x）≤w（a）＝0，即g′（x）≤0，可得g
（1）将C ，C 的参数方程化为普通方程；
1 2
（x）在（0，a）和（a，+∞）上单调递减． （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1 ，C 2 的交点为P，求圆心在极轴上，且经过
【解答】解：（1）f（x）≤2x+c等价于2lnx﹣2x≤c﹣1． 极点和P的圆的极坐标方程．
【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
设h（x）＝2lnx﹣2x，h′（x）＝ （x＞0）．
（2）利用极径的应用和圆的方程的应用求出结果．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方
【解答】解：（1）曲线C ，参数方程为： （ 为参数），转换为直角坐标方程为：x+y﹣4
1
程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
θ
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
＝0，
23．已知函数f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|．
所以C 的普通方程为x+y＝4（0≤x≤4）．
1
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若f（x）≥4，求a的取值范围．
曲线C 的参数方程： （t为参数）．
2
【分析】（1）把a＝2代入函数解析式，写出分段函数，然后对x分类求解不等式，取并集得答案；
（2）利用绝对值不等式的性质可得f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|≥|x﹣a2﹣（x﹣2a+1）|＝|（a﹣1）2|＝（a﹣
所以 2﹣ 2整理得直角坐标方程为 ， 1）2．由f（x）≥4，得（a﹣1）2≥4，求解二次不等式得答案．
① ②
所以C 的普通方程为x2﹣y2＝4． 【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x﹣4|+|x﹣3|＝ ，
2
（2）法一：由 ，得 ，即P的直角坐标为（ ）．
∴当x≤3时，不等式f（x）≥4化为﹣2x+7≥4，即x≤ ，∴x ；
当3＜x＜4时，不等式f（x）≥4化为1≥4，此时x ；
设所求圆的圆心的直角坐标为（x ，0），由题意得x 2＝（x ﹣ ）2+ ，
0 0 0
∈∅
当x≥4时，不等式f（x）≥4化为2x﹣7≥4，即x ，∴x ．
解得x ＝ ，
0
综上，当a＝2时，求不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤ 或x≥ }；
因此，所求圆的极坐标方程为 ＝ cos ．
（2）f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|≥|x﹣a2﹣（x﹣2a+1）|＝|（a﹣1）2|＝（a﹣1）2．
ρ θ
又f（x）≥4，∴（a﹣1）2≥4，
法二：由 ，整理得 ，解得： ，即P（ ）． 得a﹣1≤﹣2或a﹣1≥2，
解得：a≤﹣1或a≥3．
设圆的方程（x﹣a）2+y2＝r2， 综上，若f（x）≥4，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．
由于圆经过点P和原点， 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，考查绝对值不等式的性质，是中档
题．
所以 ，解得 ，
故圆的方程为： ，即x2+y2﹣ x＝0，转换为极坐标方程为 ．
