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2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
文科数学
1．设集合 ，则 ( )
A． B． C． D ．
2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的
调查数据整理得到如下频率分布直方图：
0.20
0.14
0.10
0.04
0.02
0 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 12.5 13.5 14.5 收入/万元
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A．该地农户家庭年收入低于 万元的农户比率估计为
B．该地农户家庭年收入不低于 万元的农户比率估计为
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 万元至 万元之间
3．己知 ，则 ( )A． B． C． D ．
4．下列函数中是增函数的为( )
A． B． C． D ．
5．点 到双曲线 的一条渐近线的距离为( )
A． B． C． D．
6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和
小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L和小数记录法的数据V满足L＝5＋
lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为
( )
A． B． C． D．
7．在一个正方体中，过顶点 的三条棱的中点分别为 ．该正方体截去三棱锥
后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧
视图是( )
A． B． C. D .8．在 中，已知 ，则 ( )
A．1 B． C． D．3
9．记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
10．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
11．若 ( )
A． B． C． D．
12．设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f－x)．若 ( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若向量 满足| |＝3，| |＝5， ⋅ ＝1，则| |＝_______________．
14．己知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为_______．
15．已知函数 的部分图像如图所示，则 ＝______．
y
2
x
O π 13π
3 12
16．已知 为椭圆 两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床
产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)能否有 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附： ，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
18．记 为 的前 项和，已知 ，且数列 是等差数列．证明：
是等差数列．19 ． 已 知 直 三 棱 柱 中 ， 侧 面 为 正 方 形 ．
分别为 和 的中点， ．
(1)求三棱锥F－EBC的体积；
(2)已知 为棱 上的点，证明： ．
20．设函数 ，其中a>0．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
21．抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且
已知点 ，且 与 相切．
(1)求C， 的方程；(2)设 是C上的三个点，直线 均与⊙M相切．判段直线 与
的位置关系，并说明理由．
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的
极坐标方程为 ．
(1)将 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点 的直角坐标为 为 上的动点，点 满足 ，写出 的轨迹
的参数方程，并判断 与 是否有公共点．23．[选修4－5：不等式选讲]
已知函数 ．
(1)画出 和 的图象；
(2)若 ，求 的取值范围．
