文档内容
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
（全国甲卷）
理科数学
一、选择题
1.设集合 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
由图知， .
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的
调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（ ）
A.该地农户家庭年收入低于 万元的农户比率估计为
B.该地农户家庭年收入不低于 万元的农户比率估计为
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 万元至 万元之间
答案：
C
解析：
A.低于 万元的比率估计为 ，正确.
B.不低于 万元的比率估计为 ，正确.
C.平均值为
万元，不正确.
D. 万到 万的比率为 ，正确.
3.已知 ，则 （ ）
A.B.
C.
D.
答案：
B
解析：
.
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和
小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 和小数记录法的数据 满足 .
已知某同学视力的五分记录法的数据为 ，则其视力的小数记录法的数据约为（
）（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：代入 ，知 ，故 .
5. 已 知 ， 是 双 曲 线 的 两 个 焦 点 ， 为 上 一 点 ， 且 ，
，则 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
记 ， ，由 及 ，得 ， ，又由余弦定理
知 ，得 ，从而 .
6.在一个正方体中，过顶点 的三条棱的中点分别为 ， ， ，该正方体截去三棱锥
后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）A.
B.
C.D.
答案：
D
解析：
由题可得直观图，如下图.
故选D.
7.等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，设甲： ，乙： 是递增数列，则（
）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：
B
解析：若 ，则 .① ，则 单调递增；② ，则 单调递减，∴甲
乙，又若 单调递增，则 恒成立，∴ 恒成立，∴
， ，∴甲 乙.综上：甲 乙，选B.
8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 （单位: )，
三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有 ，
， 三点，且 ， ， 在同一水平面上的投影 ， ， 满足 ，
.由 点测得 点的仰角为 ， 与 的差为 :由 点测得 点
的仰角为 ,则 ， 两点到水平面 的高度差 约为（ ）（
）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
过C作 的垂线交 于点M，过B作 的垂线交 于点N，
由题意得 ， ， ，即 .
所以
，
所以
. 得 A ， C 两 点 到 水 平 面 的 高 度 差约为
，故选B。
9.若 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
.
∴∴
∴ .
又∵ .如图， .
10.将 个 和 个 随机排成一行，则 个 不相邻的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
把位置依次标为 到 .
总数：先排 个 ，有 种，再排 个 ，有一种，故共有 种.
满足题设的排法：先排 个 ，有 种.其间有 个空，选 个空插入有 种.故
.
满足题设排法的另一种解释： 的位置有 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，共 种.
11.已知 是半径为 的球 的球面上的三个点，且 ， ，则三棱锥 的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
记 为 所在圆面的圆心，则 .
又 ，所以
.
所以 .故选A.
12.设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时，
.若 ，则 （ ）
A.
B.C.
D.
答案：
D
解析：
∵ 为奇函数，∴ 关于 中心对称，∴ .
因 为偶函数，故 关于 轴对称，周期为 .
∴ ， .即 ， .
， .
故
.
故选D.
二、填空题
13.曲线 在点 处的切线方程为 .
答案：
.
解析：
， ， .
切线： .
14.已知向量 ， ， .若 ，则 .
答案：解析：
， .所以 .
15.已知 ， 为椭圆 的两个焦点， ， 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，则四边形 的面积为 .
答案：
解析：
如图，由 及椭圆对称性可知，四边形 为矩形.
设 ， ，则 ， 得 .所以，四边形
面积为 .
16.已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数 为 .
答案：解析：
由图可知， 的最小正周期 ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ ， .
∴ ，∴ ， .
∴ 或 .
结合图像可知，满足 的离 轴最近的正数区间 ，无正数；
的离 轴最近的正数区间为 ，最小正整数 .
三、解答题
（1）必考题
17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产
品的质量，分別用两台机床各生产了 件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附： ，
答案：
见解析
解析：
（1）由表格数据得：
甲机床生产的产品中一级品的频率为 ；
乙机床生产的产品中一级品的频率为 ；
（2）由题意 .
所以有 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
18.已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中选取两个作为
条件，证明另外一个成立.
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列：③ .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分，①，
答案：
见解析
解析：
①， 证明：设等差数列 的公差为 .因为 ，所以 ，
,
则 .所以 ，所以
.所以 是首项为 ，公差为 的等差数列.19.已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别
为 和 的中点， 为棱 上的点， .
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小？
答案：
见解析；
解析:
（1）
连 ，取 中点 连 ， ，
由 为 ， 的中点，则 ，
又 ， ，则 共面，故 面 .
又在侧面 中 ，则
又 ，则 .（2） ，则 .
又 则 .
如图以 为原点建立坐标轴，则 ， ， ， ，
.
设 则 .
则面 法向量为 ，对面 设法向量为 ，则
，
则 .
要求最小正弦值则求最大余弦值.
当 时二面角余弦值最大，则 时二面角正弦值最小.
20.抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点在 轴上，直线 交 于 ， 两点，且
，已知点 ，且 与 相切.（1）求 ， 的方程；
（2）设 ， ， 是 上的三个点，直线 ， 均与 相切，判断直线 ，
与 的位置关系，并说明理由.
答案：
见解析；
解析：
（1） ， .
（2）设 ， ， .
，所以
①.
，所以
②.
所以 ， 是方程 的两根.
又 ，所以
.
所以 ，即直线 与 相切.21.已知 且 ，函数 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求 的取值范围.
答案：
见解析；
解析：
（1） 时， ，
.
当 时， ， 单调递增；当 时， ，
单调递减.
故 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由题知 在 有两个不等根；
.
令 ， 在 单调递增，在 单调递减.
，
又 .
，
，所以 且 .
四、选考题（2选1）
22.在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为 .
（1）将 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 的直角坐标为 ， 为 上的动点，点 满足 ，写出 的
轨迹 的参数方程，并判断 与 是否有公共点.
答案：
见解析
解析：
（1） .
（2）设 ， ，由
.
又 在 上，所以
.
为 为圆心，半径为 的圆，所以
则
所以，两圆为内含关系，所以，圆 与圆 无公共点.23.已知函数 ， .
（1）画出 和 的图象；
（2）若 ，求 的取值范围.
答案：
见解析；
解析：
（1） ；（2）当 时，恒不满足，此时 ；
当 时， 恒成立，必有
.
当 时，
时， ， ，所以 .
时 ， ， ， 令
，所以 .
时， ， .
，所以 .
所以， .
