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2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲
卷）
理科数学
一、选择题
根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（ ）
A.该地农户家庭年收入低于 万元的农户比率估计为
1.设集合 ， ，则 （ ）
B.该地农户家庭年收入不低于 万元的农户比率估计为
A.
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 万元
B. D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 万元至 万元之间
C. 答案：
C
D.
解析：
A.低于 万元的比率估计为 ，正确.
答案：
B
B.不低于 万元的比率估计为 ，正确.
解析：
C.平均值为
由图知， .
万元，不正确.
D. 万到 万的比率为 ，正确.
3.已知 ，则 （ ）
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如
下频率分布直方图：
A.5.已知 ， 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ， ，则 的离心率为
B.
（ ）
C.
A.
D.
B.
答案：
C.
B
解析：
D.
答案：
.
A
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力
解析：
数据，五分记录法的数据 和小数记录法的数据 满足 .已知某同学视力的五分记录法的数据为 记 ， ， 由 及 ， 得 ， ， 又 由 余 弦 定 理 知
，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（ ）
，得 ，从而 .
A.
6.在一个正方体中，过顶点 的三条棱的中点分别为 ， ， ，该正方体截去三棱锥 后，所得多
B.
面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
C.
D.
答案：
C
解析：
代入 ，知 ，故 .由题可得直观图，如下图.
A.
故选D.
7.等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，设甲： ，乙： 是递增数列，则（ ）
B.
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：
B
C.
解析：
若 ，则 .① ，则 单调递增；② ，则 单调递减，∴甲 乙，又若 单调
递增，则 恒成立，∴ 恒成立，∴ ， ，∴甲 乙.综上：甲 乙，选
B.
8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 （单位: )，三角高程测量法是珠
D.
峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有 ， ， 三点，且 ， ， 在同一水
平面上的投影 ， ， 满足 ， .由 点测得 点的仰角为 ， 与
答案：
的差为 :由 点测得 点的仰角为 ,则 ， 两点到水平面 的高度差 约为（ ）（
D
）
解析：A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
过C作 的垂线交 于点M，过B作 的垂线交 于点N，
由题意得 ， ， ，即 .
9.若 ， ，则 （ ）
所以
A.
，
所以
B.
. 得 A ， C 两 点 到 水 平 面 的 高 度 差 约 为 C.
，故选B。
D.
答案：
A
解析：
.
∴积为（ ）
∴
A.
∴ .
B.
又∵ .如图， .
C.
D.
10.将 个 和 个 随机排成一行，则 个 不相邻的概率为（ ） 答案：
A
解析：
A.
记 为 所在圆面的圆心，则 .
B.
C.
又 ，所以
D.
答案：
.
C
解析：
把位置依次标为 到 .
所以 .故选A.
总数：先排 个 ，有 种，再排 个 ，有一种，故共有 种.
12.设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， .若
满足题设的排法：先排 个 ，有 种.其间有 个空，选 个空插入有 种.故 .
满足题设排法的另一种解释： 的位置有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，则 （ ）
， ，共 种.
A.
11.已知 是半径为 的球 的球面上的三个点，且 ， ，则三棱锥 的体14.已知向量 ， ， .若 ，则 .
B.
答案：
C.
解析：
D.
， .所以 .
答案：
D
解析： 15.已知 ， 为椭圆 的两个焦点， ， 为 上关于坐标原点对称的两点，且 ，则
∵ 为奇函数，∴ 关于 中心对称，∴ .
四边形 的面积为 .
因 为偶函数，故 关于 轴对称，周期为 .
答案：
∴ ， .即 ， .
解析：
， . 如图，由 及椭圆对称性可知，四边形 为矩形.
故
. 设 ， ，则 ， 得 .所以，四边形 面积为 .
故选D.
二、填空题
13.曲线 在点 处的切线方程为 .
答案：
.
解析：
16.已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件 的最小正整
， ， . 数 为 .
切线： .答案：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
解析：
（2）能否有 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
由图可知， 的最小正周期 ，∴ .
附： ，
∵ ，∴ ，∴ ， .
∴ ，∴ ， .
∴ 或 .
答案：
见解析
结合图像可知，满足 的离 轴最近的正数区间 ，无正数；
解析：
（1）由表格数据得：
的离 轴最近的正数区间为 ，最小正整数 .
甲机床生产的产品中一级品的频率为 ；
乙机床生产的产品中一级品的频率为 ；
（2）由题意 .
所以有 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
三、解答题
18.已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个
（1）必考题
17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分別用两
成立.
台机床各生产了 件产品，产品的质量情况统计如下表：
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列：③ .注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分，①， 又在侧面 中 ，则
答案：
见解析
解析： 又 ，则 .
①， 证明：设等差数列 的公差为 .因为 ，所以 ，
,
则 .所以 ，所以
.所以 是首项为 ，公差为 的等差数列.
19.已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别为 和 的中点，
为棱 上的点， .
（2） ，则 .
（1）证明： ；
又 则 .
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小？
如图以 为原点建立坐标轴，则 ， ， ， ， .
答案：
见解析；
解析:
（1）
连 ，取 中点 连 ， ，
设 则 .
由 为 ， 的中点，则 ，
又 ， ，则 共面，故 面 . 则面 法向量为 ，对面 设法向量为 ，则，所以
，
则 . ②.
要求最小正弦值则求最大余弦值.
所以 ， 是方程 的两根.
当 时二面角余弦值最大，则 时二面角正弦值最小.
又 ，所以
20.抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点在 轴上，直线 交 于 ， 两点，且 ，已知点
，且 与 相切.
.
（1）求 ， 的方程；
所以 ，即直线 与 相切.
（2）设 ， ， 是 上的三个点，直线 ， 均与 相切，判断直线 ，与 的位置关系，
并说明理由. 21.已知 且 ，函数 .
答案：
（1）当 时，求 的单调区间；
见解析；
解析： （2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求 的取值范围.
（1） ， . 答案：
见解析；
（2）设 ， ， .
解析：
，所以
（1） 时， ，
①.
.（1） .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
（2）设 ， ，由
故 在 上单调递增，在 上单调递减.
.
（2）由题知 在 有两个不等根；
又 在 上，所以
.
.
令 ， 在 单调递增，在 单调递减. 为 为圆心，半径为 的圆，所以
，
则
所以，两圆为内含关系，所以，圆 与圆 无公共点.
又 .
，
，
所以 且 .
四、选考题（2选1）
22.在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
23.已知函数 ， .
. （1）画出 和 的图象；
（1）将 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若 ，求 的取值范围.
（2）设点 的直角坐标为 ， 为 上的动点，点 满足 ，写出 的轨迹 的参数方程，
并判断 与 是否有公共点.
答案：
见解析
解析：（2）当 时，恒不满足，此时 ；
当 时， 恒成立，必有
.
当 时，
时， ， ，所以 .
时 ， ， ， 令 ， 所 以
答案：
见解析； .
解析：
时， ， .
，所以 .
（1） ；
所以， .
