文档内容
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
（全国甲卷）
理科数学
一、选择题
1.设集合 ， ，则 （ ）
A. B.
D.
C.
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的
调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（ ）
A.该地农户家庭年收入低于 万元的农户比率估计为
B.该地农户家庭年收入不低于 万元的农户比率估计为
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 万元至 万元之间3.已知 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和
小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 和小数记录法的数据 满足 .
已知某同学视力的五分记录法的数据为 ，则其视力的小数记录法的数据约为（
）（ ）
A. B.
C. D.
5. 已 知 ， 是 双 曲 线 的 两 个 焦 点 ， 为 上 一 点 ， 且 ，
，则 的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
6.在一个正方体中，过顶点 的三条棱的中点分别为 ， ， ，该正方体截去三棱锥
后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）A. B.
C. D.
7.等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，设甲： ，乙： 是递增数列，则（
）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 （单位: )，
三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有 ，
， 三点，且 ， ， 在同一水平面上的投影 ， ， 满足 ，
.由 点测得 点的仰角为 ， 与 的差为 :由 点测得 点
的仰角为 ,则 ， 两点到水平面 的高度差 约为（ ）（）
A.
B.
C.
D.
9.若 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
10.将 个 和 个 随机排成一行，则 个 不相邻的概率为（ ）
A. B.
C. D.
11.已知 是半径为 的球 的球面上的三个点，且 ， ，则
三棱锥 的体积为（ ）
A. B.
C. D.12.设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时，
.若 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
13.曲线 在点 处的切线方程为 .
14.已知向量 ， ， .若 ，则 .
15.已知 ， 为椭圆 的两个焦点， ， 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，则四边形 的面积为 .
16.已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数 为 .
三、解答题
（1）必考题17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产
品的质量，分別用两台机床各生产了 件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附： ，
18.已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中选取两个作为
条件，证明另外一个成立.
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列：③ .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分，①，19.已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别
为 和 的中点， 为棱 上的点， .
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小？
20.抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点在 轴上，直线 交 于 ， 两点，且
，已知点 ，且 与 相切.
（1）求 ， 的方程；
（2）设 ， ， 是 上的三个点，直线 ， 均与 相切，判断直线 ，
与 的位置关系，并说明理由.21.已知 且 ，函数 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求 的取值范围.
四、选考题（2选1）
22.在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为 .
（1）将 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 的直角坐标为 ， 为 上的动点，点 满足 ，写出 的
轨迹 的参数方程，并判断 与 是否有公共点.23.已知函数 ， .
（1）画出 和 的图象；
（2）若 ，求 的取值范围.
