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绝密★启用前 的
B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元 农户比率估计为10%
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
理科数学 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
注意事项: 3. 已知 ，则 （ ）
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮 .
A B. C. D.
擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．
4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，
1. 设集合 ，则 （ ）
则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
A. B.
5. 已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 ，则C的离心率为（ ）
C. D.
A. B. C. D.
2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入 的调查数据整理得到如下
频率分布直方图： 6. 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥 后，所得多面体的三
视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A. B. C. D.
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% 7. 等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是递增数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
，则 （ ）
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高
A. B. C. D.
程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
满足 ， ．由C点测得B点的仰角为 ， 与 的差为100；由B点测
13. 曲线 在点 处的切线方程为__________．
得A点的仰角为 ，则A，C两点到水平面 的高度差 约为（ ）（ ）
14. 已知向量 ．若 ，则 ________．
15. 已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四
边形 的面积为________．
16. 已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件
A. 346 B. 373 C. 446 D. 473
的最小正整数x为________．
9. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
10. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
11. 已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且 ，则三棱锥 的体积为
三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题
（ ）
考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
A. B. C. D.
17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机
床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
12. 设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若一级品 二级品 合计
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
甲机床 150 50 200
20. 抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两点，且 ．已知点 ，
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400 且 与l相切．
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（1）求C， 的方程；
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并说明理由．
附：
21. 已知 且 ，函数 ．
0.050 0.010 0.001
10.82 （1）当 时，求 的单调区间；
k 3.841 6.635
8
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
18. 已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
成立．
22. 在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
．
的
19. 已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别为 和 中点，D为
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A 的直角坐标为 ，M为C上的动点，点P满足 ，写出Р的轨迹 的参数方程，并判断C
棱 上的点．
与 是否有公共点．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知函数 ．
（1）证明： ；（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求a的取值范围．
