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2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最
大值为 ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
.
A B. 4 C. D. 2
5. 双曲线 过点 ，且离心率为 ，则该双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.6. 和 是两个等差数列，其中 为常值， ， ， ，则 （
）
A. B. C. D.
7. 函数 ，试判断函数 的奇偶性及最大值（ ）
A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2
C. 奇函数，最大值为 D. 偶函数，最大值为
8. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（ ）来判断降雨程度．其中小雨（ ），中雨（
），大雨（ ），暴雨（ ），小明用一个圆锥形容器接了24小时
的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
9. 已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截得圆 弦长的最小值为2，则 （
）
A. B. C. D.
10. 数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题5小题，每小题5分，共25分．11. 展开式中常数项为__________．
12. 已知抛物线 ，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且 ，则 的横坐标是
_______；作 轴于 ，则 _______．
13. ， ， ，则 _______； _______．
14. 若点 与点 关于 轴对称，写出一个符合题意的 ___．
15. 已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ，则 有两个零点；
② ，使得 有一个零点；
③ ，使得 有三个零点；
④ ，使得 有三个零点．
以上正确结论得序号 是_______．
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知 在中， ， ．
（1）求 的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度．
① ；②周长为 ；③面积为 ；17. 已知正方体 ，点 为 中点，直线 交平面 于点 ．
（1）证明：点 为 的中点；
（2）若点 为棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为
阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已
知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为 ，定义随机变量X为总检测次数，求
检测次数X的分布列和数学期望E(X)；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
19. 已知函数 ．
（1）若 ，求 在 处切线方程；
（2）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间，以及最大值和最小值．
20. 已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直
线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．21. 定义 数列 ：对实数p，满足：① ， ；② ；③
， ．
（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是 数列吗？说明理由；
（2）若 是 数列，求 的值；
（3）是否存在p，使得存在 数列 ，对 ？若存在，求出所有这样的p；若不存在，
说明理由．
