文档内容
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】由题意可得： ，即 .
故选：B.
2. 在复平面内，复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得： .
故选：D.
3. 已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最
大值为 ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数 在 上单调递增，则 在 上的最大值为 ，
若 在 上的最大值为 ，
比如 ，
但 在 为减函数，在 为增函数，
故 在 上的最大值为 推不出 在 上单调递增，
故“函数 在 上单调递增”是“ 在 上的最大值为 ”的充分不必要条件，
故选：A.
4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.
【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥 ，
其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，
由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，
故其表面积为 ，故选：A.
5. 双曲线 过点 ，且离心率为 ，则该双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可得 ，再将点 代入双曲线的方程，求出 的值，即可得出双曲线的标准方
程.
【详解】 ，则 ， ，则双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ，
因此，双曲线的方程为 .
故选：A.
6. 和 是两个等差数列，其中 为常值， ， ， ，则 （
）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件求出 的值，利用等差中项的性质可求得 的值.
【详解】由已知条件可得 ，则 ，因此， .
故选：B.
7. 函数 ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2
C. 奇函数，最大值为 D. 偶函数，最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可
判断最大值.
【详解】由题意， ，所以该函数为偶函数，
又 ，
所以当 时， 取最大值 .
故选：D.
8. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（ ）来判断降雨程度．其中小雨（ ），中雨（
），大雨（ ），暴雨（ ），小明用一个圆锥形容器接了24小时
的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
【答案】B
【解析】
【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.
【 详 解 】 由 题 意 ， 一 个 半 径 为 的 圆 面 内 的 降 雨 充 满 一 个 底 面 半 径 为
，高为 的圆锥，
.
所以积水厚度 ，属于中雨
故选：B.
9. 已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截得圆 弦长的最小值为2，则 （
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为 ，半径为2，则圆心到直线的距离 ，
则弦长为 ，
则当 时，弦长取得最小值为 ，解得 .
故选：C.
10. 数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.
【详解】若要使n尽可能的大，则 ，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列 是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为 ，
则 ， ， ，
所以n的最大值为11.
故选：C.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题5小题，每小题5分，共25分．
11. 展开式中常数项为__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析： 的展开式的通项 令 得常数
项为 .
考点：二项式定理.12. 已知抛物线 ，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且 ，则 的横坐标是
_______；作 轴于 ，则 _______．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】根据焦半径公式可求 的横坐标，求出纵坐标后可求 .
【详解】因为抛物线的方程为 ，故 且 .
因为 ， ，解得 ，故 ，
所以 ，
故答案为：5， .
13. ， ， ，则 _______； _______．
【答案】 ①. 0 ②. 3
【解析】
【分析】根据坐标求出 ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】 ，
， ，
.
故答案为：0；3.
14. 若点 与点 关于 轴对称，写出一个符合题意的 ___．
【答案】 （满足 即可）
【解析】【分析】根据 在单位圆上，可得 关于 轴对称，得出 求解.
【详解】 与 关于 轴对称，
即 关于 轴对称，
，
则 ，
当 时，可取 的一个值为 .
故答案为： （满足 即可）.
15. 已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ，则 有两个零点；
② ，使得 有一个零点；
③ ，使得 有三个零点；
④ ，使得 有三个零点．
以上正确结论得序号是_______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右支分别相切
的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知在 中， ， ．
（1）求 的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上 的中线的长度．
① ；②周长为 ；③面积为 ；
【答案】（1） ；（2）答案不唯一，具体见解析．
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1） ，则由正弦定理可得 ，
， ， ， ，
，解得 ；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ，
与 矛盾，故这样的 不存在；
若选择②：由（1）可得 ，
设 的外接圆半径为 ，
则由正弦定理可得 ，
，
则周长 ，
解得 ，则 ，
由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得 ，即 ，
则 ，解得 ，则由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
.
17. 已知正方体 ，点 为 中点，直线 交平面 于点 ．
（1）证明：点 为 的中点；
（2）若点 为棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】(1)首先将平面 进行扩展，然后结合所得的平面与直线 的交点即可证得题中的结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数 的值.
【详解】(1)如图所示，取 的中点 ，连结 ，
由于 为正方体， 为中点，故 ，
从而 四点共面，即平面CDE即平面 ，
据此可得：直线 交平面 于点 ，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 与点 重合，即点 为 中点.
(2)以点 为坐标原点， 方向分别为 轴， 轴， 轴正方形，建立空间直角坐标系 ，
不妨设正方体的棱长为2，设 ，
则： ，
从而： ，
设平面 的法向量为： ，则：
，
令 可得： ，
设平面 的法向量为： ，则：，
令 可得： ，
从而： ，
则： ，
整理可得： ，故 （ 舍去）.
【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推
理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的
夹角公式求解.
18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为
阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已
知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者 在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为 ，定义随机变量X为总检测次数，求
检测次数X的分布列和数学期望E(X)；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
【答案】（1）① 次；②分布列见解析；期望为 ；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出 ，分类即可得解.
【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；②由题意， 可以取20，30，
， ，
则 的分布列:
所以 ；
（2）由题意， 可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p，
， ，
则 ，
若 时， ；
若 时， ；
若 时， .
19. 已知函数 ．
（1）若 ，求 在 处切线方程；
（2）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间，以及最大值和最小值．
【答案】（1） ；（2）函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 ，
最大值为 ，最小值为 .【解析】
【分析】（1）求出 、 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由 可求得实数 的值，然后利用导数分析函数 的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ， ，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .
20. 已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直
线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求 ，从而可求椭圆的标准方程.
（2）设 ，求出直线 的方程后可得 的横坐标，从而可得 ，
联立直线 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简 ，从而可求 的范围，注意判别式的
要求.
【详解】（1）因为椭圆过 ，故 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）
设 ，
因为直线 的斜率存在，故 ，
故直线 ，令 ，则 ，同理 .直线 ，由 可得 ，
故 ，解得 或 .
又 ，故 ，所以
又
故 即 ，
.
综上， 或
21. 定义 数列 ：对实数p，满足：① ， ；② ；③
， ．
（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是 数列吗？说明理由；
（2）若 是 数列，求 的值；
（3）是否存在p，使得存在 数列 ，对 ？若存在，求出所有这样的p；若不存在，
说明理由．
【答案】（1）不可以是 数列；理由见解析；（2） ；（3）存在； ．
【解析】
【分析】(1)由题意考查 的值即可说明数列不是 数列；
(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定 的值；
(3)构造数列 ，易知数列 是 的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值.
【详解】(1)由性质③结合题意可知 ，
矛盾，故前4项 的数列，不可能是 数列.
(2)性质① ，
由性质③ ，因此 或 ， 或 ，
若 ，由性质②可知 ，即 或 ，矛盾；
若 ，由 有 ，矛盾.
因此只能是 .
又因为 或 ，所以 或 .
若 ，则 ，
不满足 ，舍去.
当 ，则 前四项为:0，0，0，1，
下面用纳法证明 ：
当 时，经验证命题成立，假设当 时命题成立，
当 时：
若 ，则 ，利用性质③：
，此时可得： ；
否则，若 ，取 可得： ，
而由性质②可得： ，与 矛盾.同理可得：
，有 ；
，有 ；
，又因为 ，有
即当 时命题成立，证毕.
综上可得： ， .
(3)令 ，由性质③可知：
，
由于 ，
因此数列 为 数列.
由（2）可知:
若 ；
， ，
因此 ，此时 ， ，满足题意.
【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、
新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新
定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，
掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
