文档内容
2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
数学（文科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号
填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及
科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，
将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取 10
位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10位社区居民在
讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3．若 ．则 （ ）
A． B． C． D．
4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体
的体积为（ ）A．8 B．12 C．16 D．20
5．将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C
关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6，从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片
上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．函数 在区间 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
9．在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为
，则（ ）
A． B．AB与平面 所成的角为
C． D． 与平面 所成的角为
10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和，体积分别为 和 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右顶点，B
为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
12．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量 ．若 ，则 ______________．
14．设点 M 在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为
______________．
15．记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线 与C
无公共点”的e的一个值______________．
16．已知 中，点D在边BC上， ．当 取得
最小值时， ______________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求
作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行
情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附： ，
0.100 0.050 0.0102.706 3.841 6.635
18．（12分）
记 为数列 的前n项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 成等比数列，求 的最小值．
19．（12分）
小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 是
边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，且它
们所在的平面都与平面 垂直．
（1）证明： 平面 ；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
20．（12分）
已知函数 ，曲线 在点 处的切线也是曲线
的切线．
（1）若 ，求a：
（2）求a的取值范围．
21．（12分）
设抛物线 的焦点为F，点 ，过 的直线交C于M，N两点．
当直线MD垂直于x轴时， ．
（1）求C的方程：
（2）设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为
．当 取得最大值时，求直线AB的方程．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数），曲线 的参数方程为 （s为参数）．
（1）写出 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
，求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知 均为正数，且 ，证明：
（1）
（2）若 ，则 ．
