文档内容
绝密★启用前
2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
数学（文科）
参考答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号
填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及
科目，在规定的位置贴好条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将
答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1. A 2. B 3. D 4. B 5.C 6. C 7.A 8.B 9. D 10. C 11. B 12.A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ##
14.
15. 2（满足 皆可）
16. ##
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题
为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作
答.
（一）必考题：共60分.
17. （1）A，B两家公司长途客车准点的概率分别为 ，
（2）有
18. （1）证明见解析；
（2） ．
19. （1）如图所示： ，
分别取 的中点 ，连接 ，因为 为全等的正三角形，所以
， ，又平面 平面 ，平面 平面
， 平面 ，所以 平面 ，同理可得 平面
，根据线面垂直的性质定理可知 ，而 ，所以四边形
为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以
平面 ．
（2） ．
20. （1）3 （2）
21. （1） ；
（2） .
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按
所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. （1） ；
（2） 的交点坐标为 ， ， 的交点坐标为 ， ．
[选修4-5：不等式选讲]
23.（1）证明：由柯西不等式有 ，
所以 ，
当且仅当 时，取等号，所以 ；
（2）证明：因为 ， ， ， ，由（1）得 ，
即 ，所以 ，
由权方和不等式知 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 .
