2017年江西高考文数真题及解析_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_江西高考数学90-23

2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 【试卷点评】 【命题特点】 2017年全国1高考数学与2016全国1高考数学难度方面相对持平，在选择题和填空题及解答题方面难 度有所降低．在保持稳定的基础上，进行适度创新，尤其是选择填空压轴题．试卷内容上体现新课程理念， 贴近中学数学教学，坚持对基础性的考查，同时加大了综合性、应用性和创新性的考查，如第 2、4、9、 12、19题． 1.体现新课标理念，重视对传统核心考点考查的同时，增加了对数学文化的考查，如理科第 2题，文 科第4题以中国古代的太极图为背景，考查几何概型． 2.关注通性通法．试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托， 以能力考查为目的的命题要求． 3.考查了数学思想、数学能力、数学的科学与人文价值，体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的 精神．如第5、12、13、16题对数形结合思想的考查；第9题对函数与方程思想的考查． 4.体现了创新性，如第19题立意新、情景新、设问新，增强了学生数学应用意识和创新能力． 【命题趋势】 1.函数与导数知识：以函数性质为基础，考查函数与不等式综合知识，如第 9题；对函数图像的考查， 如第8题；对含参单调性以及零点问题的考查，如21题，比较常规． 2.三角函数与解三角形知识：对三角恒等变换的考查，如第 15题；对解三角形问题的考查，如第 11 题．重视对基础知识与运算能力的考查． 3.数列知识：对数列通项公式的考查，如17题．整体考查比较平稳，没有出现偏、怪的数列相关考点． 4.立体几何知识：对立体几何图形的认识与考查，如文科第6题，理科第7题，试题难度不大，比较 常规；第16题，简单几何体的外接球问题，难度一般．立体几何解答题的考查较常规． 5.解析几何知识：对圆锥曲线简单性质的考查，如文科第 5题，文科第10题；对圆锥曲线综合知识的 考查，如第12题，难度偏大；解答题考查较为常规，考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度中等，重视对 学生运算能力的考查． 6.选做题知识：极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程 的互化，直线与曲线的位置关系，考查较为稳定；不等式选讲仍然考查关于绝对值不等式的应用，解不等 式，求参数范围问题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． x|x2 x|32x0 1．已知集合A= ，B= ，则  3 x|x  A．AB= 2 B．AB  3 x|x  C．AB  2 D．AB=R 【答案】A 2．为评估一种农作物的种植效果，选了 n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x ， 1 x，…，x，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 2 n A．x，x，…，x 的平均数 B．x，x，…，x 的标准差 1 2 n 1 2 n C．x，x，…，x 的最大值 D．x，x，…，x 的中位数 1 2 n 1 2 n 【答案】B 【解析】 试题分析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B 【考点】样本特征数 【名师点睛】众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平； 中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平； 平均数：反应一组数据的平均水平； 方差：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它 叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定． 标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度． 3．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A．i(1+i)2 B．i2(1-i) C．(1+i)2 D．i(1+i) 【答案】C4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于 正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 1 π 1 π A． B． C． D． 4 8 2 4 【答案】B 【解析】 试题分析：不妨设正方形边长为a，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面积 1 a ( )2 的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为 2 2 ，选B．  a2 8 【考点】几何概型 【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化， 也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将实验的每一结果一一 对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量的区域；另外，从几何概型的定义可知，在几何 概型中，“等可能”一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量 成正比，而与该区域的位置、形状无关．y2 x2  1 5．已知F是双曲线C： 3 的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)， 则△APF的面积为 1 1 2 3 A． B． C． D． 3 2 3 2 【答案】D 6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方 体中，直接AB与平面MNQ不平行的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 试题分析：由 B，AB∥MQ，则直线 AB∥平面 MNQ；由 C，AB∥MQ，则直线 AB∥平面 MNQ；由 D， AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故A不满足，选A．【考点】空间位置关系判断 【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法： ①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利 用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平 行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． x3y3,   x y1, 7．设x，y满足约束条件 则z=x+y的最大值为   y0, A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D sin2x y  8．函数 1cosx 的部分图像大致为A． B． C． D． 【答案】C f(x)lnxln(2x) 9．已知函数 ，则 f(x) f(x) A． 在（0，2）单调递增 B． 在（0，2）单调递减 f(x) f(x) C．y= 的图像关于直线x=1对称 D．y= 的图像关于点（1，0）对称 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意知， f(2x)ln(2x)lnx f(x)，所以 f(x)的图象关于直线x1对称，C正确， D错误；又 1 1 2(1x) （ ），在 上单调递增，在 上单调递减，A，B f '(x)   0 x2 (0,1) [1,2) x 2x x(2x)错误，故选C． 【考点】函数性质 【名师点睛】如果函数 f(x)，xD，满足xD，恒有 f(ax) f(bx)，那么函数的图象有对 称轴 ab ；如果函数 ， ，满足 ，恒有 ，那么函数 x f(x) xD xD f(ax)f(bx) f(x) 2 的图象有对称中心 ab ． ( ,0) 2 3n 2n 1000 10．如图是为了求出满足 的最小偶数n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入 A．A>1000和n=n+1 B．A>1000和n=n+2 C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2 【答案】DsinBsin A(sinCcosC)0 2 11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知 ，a=2，c= ，则C= π π π π A．12 B．6 C． 4 D． 3 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意sin(AC)sin A(sinCcosC)0得 sin AcosCcosAsinCsin AsinCsin AcosC 0，  3 即sinC(sin AcosA) 2sinCsin(A )0，所以A ． 4 4 2 2 由正弦定理 a c 得  ，即 1 ，得 ，故选B．  3 sinC sinC  C  sinA sinC sin 2 6 4 【考点】解三角形 【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓 住能够利用某个定理的信息．一般地，学科*网如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦 定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两 个定理都有可能用到． x2 y2  1 12．设A、B是椭圆C： 3 m 长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范 围是 (0,1] [9,) (0, 3] [9,) A．  B．  (0,1] [4,) (0, 3] [4,) C．  D．  【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________． 【答案】7 【解析】 试题分析：由题得  ，因为    ，所以 ，解得 ab(m1,3) (ab)a 0 (m1)230 m7 【考点】平面向量的坐标运算 ，垂直向量 【名师点睛】如果a＝(x，y)，b＝(x，y)(b≠0)，则ab的充要条件是xx+yy＝0． 1 1 2 2 1 2 1 2 1 y  x2  14．曲线 x 在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】y  x1π π 15．已知a(0，)，tan α=2，则cos( )=__________． 2 4 【答案】3 10 10 【解析】 试题分析：由tan2得sin2cos 又sin2cos21 1 所以cos2 5  因为(0, ) 2 所以 5 2 5 cos ,sin 5 5    因为cos( )coscos sinsin 4 4 4 所以  5 2 2 5 2 3 10 cos( )     4 5 2 5 2 10 【考点】三角函数求值 【名师点睛】三角函数求值的三种类型 （1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的． （3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 16．已知三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球 O的球面上，SC是球O的直径．若平面 SCA⊥平面SCB， SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________． 【答案】36 形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离 相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶 点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例： 三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生 都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17．（12分） a  记S 为等比数列 n 的前n项和，已知S=2，S=-6． n 2 3a  （1）求 n 的通项公式； （2）求S，并判断S ，S，S 是否成等差数列 n n+1 n n+2 ． 【答案】（1） ；（2） 2 2n1 ，证明见解析． a (2)n S  (1)n  n n 3 3 解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法． 18．（12分） BAP CDP 90 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且 ． （1）证明：平面PAB⊥平面PAD；8 （2）若PA=PD=AB=DC，APD90，且四棱锥P-ABCD的体积为3，求该四棱锥的侧面积． 【答案】（1）证明见解析； （2） ． 62 319．（12分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并 测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 10． 10． 10． 9．95 9．96 9．96 9．92 9．98 12 01 04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10． 10． 10． 10． 10． 9．91 9．22 9．95 26 13 02 04 05 1 16 1 16 1 16 x  x 9.97 s  (x x)2  (x2 16x2) 0.212 经计算得 16 i ， 16 i 16 i ， i1 i1 i1 16 16 (i8.5)2 18.439 (x x)(i8.5)2.78 ， i ，其中 x 为抽取的第 个零件的尺寸， i i1 i1 i i 1,2,,16 ． (x,i) (i 1,2,,16) （1）求 i 的相关系数 r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过 |r|0.25 程的进行而系统地变大或变小（若 ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大 或变小）． (x 3s,x 3s) （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天 的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，学．科网是否需对当天的生产过程进行检查？(x 3s,x 3s) （ⅱ）在 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺 寸的均值与标准差．（精确到0．01） n (x x)(y  y) i i r  i1 附：样本 的相关系数 n n ， ． (x x)2 (y  y)2 (x,y ) (i 1,2,,n) i i 0.008 0.09 i i i1 i1 【答案】（1）r  0.18，可以；（2）（ⅰ）需要；（ⅱ）均值与标准差估计值分别为10．02，0．09． 1 （ii）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为 (169.979.22)10.02，这条生产线当天 15 生产的零件尺寸的均值的估计值为10．02． 16 x2 160.2122 169.972 1591.134 ， i i1 1 剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为 (1591.1349.222 1510.022)0.008， 15 这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为 ． 0.008 0.09 【考点】相关系数，方差均值计算 【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想， 以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点 和生长点．20．（12分） x2 设A，B为曲线C：y= 4 上两点，A与B的横坐标之和为4． （1）求直线AB的斜率；  （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM BM，求直线AB的方程． 【答案】（1）1； （2）yx7． 【解析】 21．（12分）f(x) 已知函数 =ex(ex﹣a)﹣a2x． f(x) （1）讨论 的单调性； f(x)0 （2）若 ，求a的取值范围． 【答案】（1）当 ， 在 单调递增；当 ， 在 单调递减，在 a0 f(x) (,) a0 f(x) (,lna) a a (lna,)单调递增；当 a0， f(x)在(,ln( ))单调递减，在(ln( ),)单调递增；（2） 2 2 3 ． [2e4,1] 【解析】 试题分析：（1）分 ， ， 分别讨论函数 的单调性；（2）分 ， ， a0 a0 a0 f(x) a0 a0 a0 分别解 ，从而确定a的取值范围． f(x)0 试题解析：（1）函数 的定义域为 ， ， f(x) (,) f(x)2e2x aex a2 (2ex a)(ex a) ①若 ，则 ，在 单调递增． a0 f(x)e2x (,) ②若a0，则由 f(x)0得xlna． 当x(,lna)时， f(x)0；当x(lna,)时， f(x)0，所以 f(x)在(,lna)单调递减，在 (lna,)单调递增． a ③若a0，则由 f(x)0得xln( )． 2 a a a 当x(,ln( ))时， f(x)0；当x(ln( ),)时， f(x)0，故 f(x)在(,ln( ))单调 2 2 2 a 递减，在(ln( ),)单调递增． 2（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x3cos,（θ为参数），直线l的参数方程为  ysin, xa4t, ．  （t为参数） y1t, （1）若a  1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l的距离的最大值为 17，求a． 21 24 【答案】（1）(3,0)，( , )；（2）a 8或a 16． 25 25（2）直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为 |3cos4sina4| ． d  17 a9 a9 当 时， 的最大值为 ．由题设得 ，所以 ； a4 d  17 a 8 17 17 a1 a1 当 时， 的最大值为 ．由题设得 ，所以 ． a4 d  17 a 16 17 17 综上，a 8或a 16． 【考点】参数方程 【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标， 利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表达椭 圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a的值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数 ， ． f(x)x2 ax4 g(x)|x1||x1| （1）当 时，求不等式 的解集； a 1 f(x) g(x) （2）若不等式 的解集包含[–1，1]，求 的取值范围． f(x) g(x) a【答案】（1） 1 17 ；（2） ． {x|1 x } [1,1] 2 (2)图像法：作出函数 和 的图像，结合图像求解． y |xa||xb| y c 1 2