文档内容
绝密★启用前
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡
上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条
形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
.
1 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让
他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确
率如下图：
则（ ）
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3. 设全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（
）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
5. 函数 在区间 的图象大致为（ ）
A. B.C. D.
6. 当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
7. 在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为 ，则（ ）
A. B. AB与平面 所成的角为
C. D. 与平面 所成的角为
8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，
是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上， ．“会圆术”给出 的弧
长的近似值s的计算公式： ．当 时， （ ）
A. B. C. D.的
9. 甲、乙两个圆锥 母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为
和 ．若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
10. 椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线
的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11. 设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
.
12 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则 _________．
14. 若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 _________．
15. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．16. 已知 中，点D 在边BC上， ．当 取得最小值时，
________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分．
17. 记 为数列 的前n项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 成等比数列，求 的最小值．
18. 在四棱锥 中， 底面 ．
（1）证明： ；
（2）求PD与平面 所成的角的正弦值．
19. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．
三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，
0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
20. 设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD
垂直于x轴时， ．（1）求C的方程；
（2）设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当
取得最大值时，求直线AB的方程．
21. 已知函数 ．
（1）若 ，求a的取值范围；
（2）证明：若 有两个零点 ，则 ．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数），曲线 的参数方程为
（s为参数）．
（1）写出 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，
求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知a，b，c均为正数，且 ，证明：
（1） ；
（2）若 ，则 ．
