文档内容
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
M =2,4,6,8,10,N = x -1< x<6
M N =
1. 集合 ，则 I （ ）
A. {2,4} B. {2,4,6} C. {2,4,6,8} D. {2,4,6,8,10}
2. 设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（ ）
A. a=1,b=-1 B. a=1,b=1 C. a=-1,b=1 D. a=-1,b=-1
r r
r r
3. 已知向量a=(2,1)，b=(-2,4)，则 a-b （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是（ ）
A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C. 甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
第1页 | 共6页D. 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
ìx+ y³2,
ï
5. 若x，y满足约束条件íx+2y£4,则z =2x- y的最大值是（ ）
ï
y³0,
î
A. -2 B. 4 C. 8 D. 12
6. 设F为抛物线C: y2 =4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若 AF = BF ，则 AB =（ ）
A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 3 2
7. 执行下边的程序框图，输出的n=（ ）
A 3 B. 4 C. 5 D. 6
.
8. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是（ ）
第2页 | 共6页-x3 +3x x3-x 2xcosx 2sinx
A. y = B. y = C. y = D. y =
x2 +1 x2 +1 x2 +1 x2 +1
9. 在正方体ABCD-ABCD 中，E，F分别为AB,BC的中点，则（ ）
1 1 1 1
A. 平面BEF ^平面BDD B. 平面BEF ^平面ABD
1 1 1 1
C 平面BEF //平面AAC D. 平面BEF //平面ACD
. 1 1 1 1 1
10. 已知等比数列 a 的前3项和为168，a -a =42，则a =（ ）
n 2 5 6
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
11. 函数 f x=cosx+x+1sinx+1在区间 0,2π 的最小值、最大值分别为（ ）
π π 3π π π π 3π π
A. - ， B. - ， C. - ， +2 D. - ， +2
2 2 2 2 2 2 2 2
12. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积
最大时，其高为（ ）
1 1 3 2
A. B. C. D.
3 2 3 2
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13. 记S 为等差数列 a 的前n项和．若2S =3S +6，则公差d =_______．
n n 3 2
14. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
15. 过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．
1
16. 若 f x=ln a+ +b是奇函数，则a =_____，b=______．
1-x
三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 记
ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsinA-B=sinBsinC-A
．
V
（1）若A=2B，求C；
（2）证明：2a2 =b2 +c2
18. 如图，四面体ABCD中，AD ^CD,AD =CD,ÐADB =ÐBDC，E为AC的中点．
第3页 | 共6页（1）证明：平面BED^平面ACD；
（2）设AB = BD =2,ÐACB =60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F -ABC 的体
积．
19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选
取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
总
样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
和
根部横截面积
007
0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 . 0.06 0.6
x
i
材积量y 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0 . 46 0.42 0.40 3.9
i
10 10 10
并计算得 åx2 =0.038,åy2 =1.6158,åx y =0.2474．
i i i i
i=1 i=1 i=1
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为
186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量
的估计值．
n
å(x -x)(y - y)
i i
附：相关系数r = i=1 , 1.896 »1.377．
n n
å(x -x)2å(y - y)2
i i
i=1 i=1
1
20. 已知函数 f(x)=ax- -(a+1)lnx．
x
（1）当a=0时，求 f(x)的最大值；
第4页 | 共6页（2）若 f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
æ3 ö
21. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A0,-2,B ç ,-1 ÷两点．
è2 ø
（1）求E的方程；
（2）设过点P1,-2
的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满
uuur uuur
足MT =TH ．证明：直线HN过定点．
（二）选考题：共 10分．请考生在第 22、23题中选定一题作答，并用 2B铅笔在答题卡上
将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；
多答按所答第一题评分.
[选修 4—4：坐标系与参数方程]
ìïx= 3cos2t
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为í ，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正
ïîy =2sint
æ pö
半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为rsin
ç
q+
÷
+m=0．
è 3ø
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
[选修 4—5：不等式选讲]
3 3 3
23. 已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
a2 +b2 +c2 =1
1
（1）abc£ ；
9
a b c 1
（2） + + £ ；
b+c a+c a+b 2 abc
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