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绝密★本科目考试启用前
2022 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在
试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项．
1. 已知全集 ，集合 ，则∁ A=（ ）
∪
A. B. C. D.
2. 若复数z满足 ，则 （ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 25
3. 若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
.
4 己知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A. B.
C. D.
.
5 已知函数 ，则（ ）
A. 在 上单调递减 B. 在 上单调递增
C. 在 上单调递减 D. 在 上单调递增
6. 设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当
时， ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，
为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）
A. 当 ， 时，二氧化碳处于液态
B. 当 ， 时，二氧化碳处于气态
C. 当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
8. 若 ，则 （ ）
A. 40 B. 41 C. D.
9. 已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集合．设集
合 ，则T表示的区域的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数 的定义域是_________．
12. 已知双曲线 渐近线方程为 ，则 __________．
的
13. 若函数 的一个零点为 ，则 ________；
________．14. 设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为________；a
的最大值为___________．
15. 己知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给出下列四
个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题共6小愿，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在 中， ．
（1）求 ；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
17. 如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面
， ，M，N分别为 ，AC的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成
角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 以上
（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、
丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
.
丙：985，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E
（X）；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证
明）
19. 已知椭圆： 的一个顶点为 ，焦距为 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与
x轴交于点M，N，当 时，求k的值．
20. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，讨论函数 在 上 的单调性；
（3）证明：对任意的 ，有 ．
21. 已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的 ，
在Q中存在 ，使得 ，则称Q为
连续可表数列．
（1）判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
（2）若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（3）若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
