文档内容
绝密★本科目考试启用前
2022 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在
试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项．
1. 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知： 或 ，即 ，
故选：D．
2. 若复数z满足 ，则 （ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数四则运算，先求出 ，再计算复数的模．
【详解】由题意有 ，故 ．
故选：B．
3. 若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即
，解得 ．
故选：A．4. 己知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】 ，故A错误，C正确；
，不 常数，故BD
是
错误；
故选：C．
5. 已知函数 ，则（ ）
A. 在 上单调递减 B. 在 上单调递增
C. 在 上单调递减 D. 在 上单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】化简得出 ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为 .
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，
A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；
对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错.
故选：C.6. 设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当
时， ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、
必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增
数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
7. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，
为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关
系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）A. 当 ， 时，二氧化碳处于液态
B. 当 ， 时，二氧化碳处于气态
C. 当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】
【分析】根据 与 的关系图可得正确的选项.
【详解】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面， 时对应的是非超临界状态，故C错误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
8. 若 ，则 （ ）
A. 40 B. 41 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用赋值法可求 的值.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.9. 已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集合．设集
合 ，则T表示的区域的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出以 为球心，5为半径的球与底面 的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】
设顶点 在底面上的投影为 ，连接 ，则 为三角形 的中心，
且 ，故 .
因为 ，故 ，
故 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
而三角形 内切圆的圆心为 ，半径为 ，
故 的轨迹圆在三角形 内部，故其面积为
故选：B
10. 在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积
的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数 的定义域是_________．
【答案】
【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；
故答案为：
12. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】首先可得 ，即可得到双曲线的标准方程，从而得到 、 ，再跟渐近线方
程得到方程，解得即可；
【详解】解：对于双曲线 ，所以 ，即双曲线的标准方程为 ，
则 ， ，又双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，即 ，解得 ；
故答案为：
13. 若函数 的一个零点为 ，则 ________；
________．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为 ，代入自变量
，计算即可.
【详解】∵ ，∴
∴故答案为：1，
14. 设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为________；a
的最大值为___________．
【答案】 ①. 0（答案不唯一） ②. 1
【解析】
【分析】根据分段函数中的函数 的单调性进行分类讨论，可知， 符合条件，
不符合条件， 时函数 没有最小值，故 的最小值只能取
的最小值，根据定义域讨论可知 或 ， 解得
.
【详解】解：若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故
没有最小值，不符合题目要求；
若 时，
当 时， 单调递减， ，
当 时，
∴ 或 ，
解得 ，
综上可得 ；
故答案为：0（答案不唯一），1
15. 己知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给出下列四
个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论 序的号是__________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】推导出 ，求出 、 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.
【详解】由题意可知， ， ，
当 时， ，可得 ；
当 时，由 可得 ，两式作差可得 ，
所以， ，则 ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，①对；
假设数列 为等比数列，设其公比为 ，则 ，即 ，
所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，
故数列 不是等比数列，②错；
当 时， ，可得 ，所以，数列 为递减
数列，③对；
假设对任意的 ， ，则 ，
所以， ，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证
法来进行推导.
三、解答题共6小愿，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在 中， ．
（1）求 ；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得 的值，结合角 的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得 的值，由余弦定理可求得 的值，即可求得 的
周长.
【小问1详解】
解：因为 ，则 ，由已知可得 ，
可得 ，因此， .
【小问2详解】
解：由三角形的面积公式可得 ，解得 .
由余弦定理可得 ， ，
所以， 的周长为 .
17. 如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面
， ，M，N分别为 ，AC的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成
角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）取 的中点为 ，连接 ，可证平面 平面 ，从而可证 平面 .
（2）选①②均可证明 平面 ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空
间向量可求线面角的正弦值.
【小问1详解】
取 的中点为 ，连接 ，
由三棱柱 可得四边形 为平行四边形，
而 ，则 ，
而 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
而 ，则 ，同理可得 平面 ，
而 平面 ，
故平面 平面 ，而 平面 ，故 平面 ，
【小问2详解】
因为侧面 为正方形，故 ，
而 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，故 平面 ，
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故 ，
若选①，则 ，而 ， ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
所以 ，而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，从而 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
.
若选②，因 为，故 平面 ，而 平面 ，故 ，而 ，故 ，
而 ， ，故 ，
所以 ，故 ，
而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，从而 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
.
18. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 以上
（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、
丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证
明）
【答案】（1）0.4 （2）
（3）丙
【解析】
【分析】(1) 由频率估计概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.
(3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估
计值最大.
【小问1详解】
由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
【小问2详解】
设甲获得优秀为事件A,乙获得优秀为事件A，丙获得优秀为事件A
1 2 3
，
，
，
.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴
【小问3详解】
丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为 ，甲获得9.80
的概率为 ，乙获得9.78的概率为 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数
越多，对丙越有利.
19. 已知椭圆： 的一个顶点为 ，焦距为 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与
x轴交于点M，N，当 时，求k的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得 ，即可求出 ，从而求出椭圆方程；
（2）首先表示出直线方程，设 、 ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦
达定理，由直线 、 的方程，表示出 、 ，根据 得到方程，
解得即可；
【小问1详解】
解：依题意可得 ， ，又 ，
所以 ，所以椭圆方程为 ；
【小问2详解】
解：依题意过点 的直线为 ，设 、 ，不妨令
，
由 ，消去 整理得 ，
所以 ，解得 ，所以 ， ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
所以
，
所以 ，
即
即
即
整理得 ，解得
20. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，讨论函数 在 上的单调性；
（3）证明：对任意的 ，有 ．
【答案】（1）
（2） 在 上单调递增.（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（3）令 ， ，即证 ，由第二问结论可知
在[0,+∞）上单调递增，即得证.
【小问1详解】
解：因为 ，所以 ，
即切点坐标为 ，
又 ，
∴切线斜率
∴切线方程为：
【小问2详解】
解：因为 ，
所以 ，
令 ，
则 ，
∴ 在 上单调递增，
∴
∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增.
【小问3详解】
解：原不等式等价于 ，
令 ， ，
即证 ，
∵ ，
，由（2）知 在 上单调递增，
∴ ，
∴
∴ 在 上单调递增，又因为 ，
∴ ，所以命题得证.
21. 已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的 ，
在Q中存在 ，使得 ，则称Q为
连续可表数列．
（1）判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
（2）若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（3）若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
【答案】（1）是 连续可表数列；不是 连续可表数列．
（2）证明见解析． （3）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）直接利用定义验证即可；
（2）先考虑 不符合，再列举一个 合题即可；
（3） 时，根据和的个数易得显然不行，再讨论 时，由 可
知里面必然有负数，再确定负数只能是 ，然后分类讨论验证不行即可．
【小问1详解】
， ， ， ， ，所以 是 连续可表数列；易知，
不存在 使得 ，所以 不是 连续可表数列．
【小问2详解】
若 ,设为 ,则至多 ，6个数字，没有 个，矛盾；
当 时,数列 ，满足 ， ， ， ， ，
， ， ， ．
【小问3详解】
，若 最多有 种，若 ，最多有 种，所以最多有
种，若 ，则 至多可表 个数，矛盾,
从而若 ,则 ， 至多可表 个数，
而 ，所以其中有负的，从而 可表1~20及那个负数
（恰 21个），这表明 中仅一个负的，没有0，且这个负的在 中绝对值最小，同
时 中没有两数相同,设那个负数为 ，
则所有数之和 ， ，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足 个，
（仅一种方式），
与2相邻，
若 不在两端,则 形式，
若 ，则 （有2种结果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故 在一端，不妨为 形式，
若 ,则 （有2种结果相同，矛盾）， 同理不行，
，则 （有2种结果相同，矛盾），从而 ，
由于 ,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能 ，①或 ，②
这2种情形，
对①： ，矛盾，
对②： ，也矛盾，综上
．
【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为 可表数列核心就是是否存在连续的几项（可
以是一项）之和能表示从 到 中间的任意一个值．本题第二问 时，通过和值可能个
数否定 ；第三问先通过和值的可能个数否定 ，再验证 时，数列中的几项如
果符合必然是 的一个排序，可验证这组数不合题．
