文档内容
2023 年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，第 1 题至第 6 题每个空格填对得 4 分，第 7 题至第 12 题每个空格填对得 5 分，否
则
一律得零分.
1．（4 分）已知集合 A ＝{1 ， 2} ，B ＝{1 ， a}，且 A＝B，则 a = .
2．（4 分）已知向量 ＝（3 ，4）， ＝（1 ， 2），则 ﹣2 = .
3．（4 分）若不等式|x﹣1|≤2，则实数 x 的取值范围为 .
4．（4 分）已知圆 C 的一般方程为 x2+2x+y2 ＝0，则圆 C 的半径为 .
5．（4 分）已知事件 A 发生的概率为 P（A）＝0.5，则它的对立事件 发生的概率 P ( )
.
=
6．（4 分）已知正实数 a、b 满足 a+4b ＝1，则 ab 的最大值为 .
7．（5 分）某校抽取 100 名学生测身高，其中身高最大值为 186cm，最小值为 154cm，根
据
身高数据绘制频率组距分布直方图， 组距为 5，且第一组下限为 153.5，则组数为 .
8．（5 分）设（1﹣2x）4
＝a
+a x+a x2+a x3+a x4
，则 a
+a = .
0 1 2 3 4 0 4
9．（5 分）已知函数 f（x）＝2﹣x+1，且 g（x）＝ ，则方程 g
（x）=
2 的解为 .
10．（5 分）已知有 4 名男生 6 名女生，现从 10 人中任选 3 人，则恰有 1 名男生 2 名女生
的
概率为 .
11．（5 分）设 z ，z ∈C 且 z ＝i• ，满足|z ﹣1| ＝1，则|z ﹣z |的取值范围为
1 2 1 1 1 2
.
12．（5 分）已知空间向量 ， ， 都是单位向量，且 ⊥ , ⊥ , 与
的夹
角为 60°,若 P 为空间任意一点，且| | ＝1，满足| • |≤| • |≤| • |，则 •
的最大值为 .
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第 13 题至第 14 题选对得 4 分，第 15 题至第
16
题选对得 5 分，否则一律得零分 .
13．（4 分）下列函数是偶函数的是( )A．y ＝sinx B．y ＝cosx C．y＝x3 D．y ＝2 x
14．（4 分）根据下图判断，下列选项错误的是（ ）
A． 从 2018 年开始后，图表中最后一年增长率最大
B． 从 2018 年开始后，进出口总额逐年增大
C． 从 2018 年开始后，进口总额逐年增大
D． 从 2018 年开始后，图表中 2020 年的增长率最小
15．（5 分）如图， P 是正方体 ABCD﹣A B C D 边 A C 上的动点，下列哪条边与边 BP
1 1 1 1 1 1
始
终异面（ ）
A．DD B．AC C．AD D ．B C
1
16．（5 分）已知数列{a }的各项均为实数， S 为其前 n 项和，若对任意 k＞2022，都有|
n
n
S |
k
|，则下列说法正确的是（ ）
＞|S
k+1
A． a ， a ，a ， … ， a 为等差数列， a ， a ， a ， … ，a
1 3 5 2n 1 2 4 6 2n
﹣
为等比数列 B． a ， a ， a ， … ， a 为等比数列， a ，a ， a
1 3 5 2n 1 2 4 6
﹣
， … ，a 为等差数列 C． a ， a ， a ， … ， a 为等差数列，
2n 1 2 3 2022
a ， a ， … ， a 为等比数列
2022 2023 n
D． a ， a ，a ， … ， a 为等比数列， a ，a ， … ， a 为等差数列
1 2 3 2022 2022 2023 n
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
17．（14 分）已知三棱锥 P﹣ABC 中， PA⊥平面 ABC，AB⊥AC，PB＝AB ＝3 ，AC ＝4
，M
为 BC 中点，过点 M 分别作平行于平面 PAB 的直线交 AC、PC 于点 E，F.
（1）求直线 PM 与平面 ABC 所成角的大小；
（2）证明： ME∥平面 PAB，并求直线 ME 到平面 PAB 的距离 .
18．（14 分）在△ABC 中，角 A ，B ， C 对应边为 a ， b， c，其中 b ＝2 .
（1）若 A+C＝120°,且 a ＝2c，求边长 c；
.
（2）若 A﹣C＝15°, a ＝ csinA，求△ABC 的面积 S
ABC
△
19．（14 分）为了节能环保，节约材料，定义建筑物的“体形系数”为 S＝ ，其中 F
0
为
为建筑物的体积（单位：立方米） .
建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米） ， V0
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为 R，高度为 H，求该建筑体的 S（用 R，H 表示）；
（2）现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设 A 为底面面积， L 为建筑底面周长． 已
知
f 为正比例系数， L2 与 A 成正比，定义： f＝ ，建筑面积即为每一层的底面面积，总
建 筑面积即为每层建筑面积之和，值为 T． 已知该建筑体推导得出 S＝ + ，n
为层
数，层高为 3 米，其中 f＝18 ， T＝10000，试求当取第几层时，该建筑体 S 最小？
20．（18 分）已知椭圆 Γ： + ＝1（m＞0 ，m≠ ) .
（1）若 m ＝2，求椭圆 Γ 的离心率；
、A 为椭圆 Γ 的左右顶点，若椭圆 Γ 上一点 E 的纵坐标为 1，且 •
（2）设 A
1
2
=
﹣2，求 m 的值；（3）存在过椭圆 Γ 上一点 P、且斜率为 的直线 l，使得直线 l 与双曲线 ﹣ = 1
仅有一个公共点，求 m 的取值范围 .
21．（18 分）设函数 f（x）＝ax3 ﹣（a+1）x2+x ，g（x）＝kx+m，其中 a≥0 ，k、m∈R
，若 对任意 x∈[0 ，1]均有 f（x）≤g（x），则称函数 y＝g（x）是函数 y＝f（x）的“控
制函数”，
且对所有的函数 y＝g（x）取最小值定义为 （x）.
（1）若 a ＝2 ，g（x）＝x，试问 y ＝g（x）是否为 y＝f（x）的“控制函数”；
（2）若 a ＝0，使得直线 y ＝h（x）是曲线 y＝f（x）在 x ＝ 处的切线，求证：函数 y
＝h （x）是为函数 y＝f（x）的“控制函数”，并求 （ ）的值；
（x ∈（0 ， 1））处的切线过点（1 ， 0），且 c∈[x ，
（3）若曲线 y＝f（x）在 x＝x
0 0 0
1]，求
或 c ＝1 时， （c）＝f（c）.
证：当且仅当 c＝x
02023 年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，第 1 题至第 6 题每个空格填对得 4 分，第 7 题至第 12 题每个空格填对得 5 分，否
则
一律得零分.
1 ．【解答】解：集合 A ＝{1 ，2} ，B ＝{1 ， a}，且 A ＝B，
则 a ＝2.
故答案为： 2 .
2 ．【解答】解：因为向量 ＝（3 ，4）， ＝（1， 2），
所以 ﹣2 ＝（3﹣2×1 ，4﹣2×2）＝（1 ， 0）.
故答案为： （1 ， 0）.
3 ．【解答】解：因为|x﹣1|≤2，
所以﹣2≤x﹣1≤2，
所以﹣1≤x≤3，
故答案为： [﹣1 ， 3] .
4 ．【解答】解：根据圆 C 的一般方程为 x +2x+y
＝0，可得圆 C 的标准方程为（x+1）
2 2
+y
2 2
= 1，
故圆 C 的圆心为（0，﹣1），半径为 1，
故答案为： 1 .
5 ．【解答】解：由题意知 P（A）+P（ ）＝1，所以 P（ ）＝1﹣P（A）＝0.5，
故答案为： 0.5 .
6 ．【解答】解：正实数 a、b 满足 a+4b ＝1，则 ab ＝
，当 且仅当 a ＝ ， 时等号成立 .
故答案为： .
7 ．【解答】解：极差为 186﹣154 ＝32，组距为 5，且第一组下限为 153.5，
= 6.4，故组数为 7 组，故答案为： 7 .
8． 【解答】解：根据题意及二项式定理可得：
a +a ＝ ＝17 .
0 4
故答案为： 17 .
9． 【解答】解：当 x≥0 时， g（x）＝2⇔log （x+1）＝2，解得 x ＝3；
2
当 x＜0 时， g（x）＝f(﹣x）＝2 x +1 ＝2，解得 x ＝0 （舍）；
所以 g（x）＝2 的解为： x ＝3 .
故答案为： x ＝3 .
10． 【解答】解：从 10 人中任选 3 人的事件个数为
,
恰有 1 名男生 2 名女生的事件个数为
，
则恰有 1 名男生 2 名女生的概率为 ，
故答案为： 0.5 .
11． 【解答】解：设 z ﹣1 ＝cosθ+isinθ,则 z ＝1+cosθ+isinθ ,
1 1
＝i• ，所以 z ＝sinθ+i（cosθ+1），
因为 z
1 2
所以|z ﹣z | =
1 2
= =
,
显然当 ＝ 时，原式取最小值 0，
当 =﹣ 1 时，原式取最大值 2 ，
﹣z |的取值范围为[0， ] .
故|z
1 2
故答案为： [0， ] .
12． 【解答】解：由题知
, , ,
再设 ,且 x， y， z＞0，
x2+y2+z2
＝
1，
代入已知的不等式得
, z≥y，
,可得
所以
,解得 ，故 ＝y .
故答案为： .
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第 13 题至第 14 题选对得 4 分，第 15 题至第
16
题选对得 5 分，否则一律得零分 .
13 ．【解答】解：对于 A，由正弦函数的性质可知， y ＝sinx 为奇函数；
对于 B，由正弦函数的性质可知， y ＝cosx 为偶函数；
对于 C，由幂函数的性质可知， y＝x3 为奇函数；
对于 D，由指数函数的性质可知， y ＝2 为非奇非偶函数 .
x
故选： B .
14 ．【解答】解：显然 2021 年相对于 2020 年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的
增
长率最大， A 对；
统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故 B 对；
2020 年相对于 2019 的进口总额是减少的，故 C 错；
显然进出口总额 2021 年的增长率最大，而 2020 年相对于 2019 年的增量比 2019 年相
对 于 2018 年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故 2020 年的增长率最小， D
对 .
故选： C.
15 ．【解答】解：对于 A，当 P 是 A C 的中点时， BP 与 DD 是相交直线；
1 1 1
对于 B，根据异面直线的定义知， BP 与 AC 是异面直线；
重合时， BP 与 AD 是平行直线；
对于 C，当点 P 与 C
1
1
重合时， BP 与 B C 是相交直线 .
对于 D，当点 P 与 C1
1
故选： B .
16 ．【解答】解：由对任意正整数 k＞2022，都有|S |＞|S |，可以知道 a ， a ，
k k+1
2022 2033
a ，
2024
不可能为等差数列，
, a
n
因为若 d＝0 ，an ＝0，则|Sk| ＝|Sk+1 |，矛盾；
若 d＝0 ，an＜0，当 n→+∞, Sn → ﹣∞, k 使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；
若 d＝0 ，an＞0，当 n→+∞, Sn →+∞,必有 k 使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；
若 d＞0，当 n →+∞, an →+∞, Sn →+∞必有 k 使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；
若 d＜0，当 n →+∞, an → ﹣∞, Sn → ﹣∞,必有 k 使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；，a ， a ， … ，a 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
所以选项 B 中的 a
2
4 6 2n
， a ，a ， … ， a 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正
选项 D 中的 a2022
2023 2024 n
确；
，a ， a ， … ，a 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正
选项 A 中的 a1
3 5 2n 1
﹣
确； 事实上，只需取
即可．
故选： C．
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤.
17 ．【解答】解：（1）连接 AM，PM，
∵PA⊥平面 ABC，
∴∠PMA 为直线 PM 与平面 ABC 所成的角，
在△PAM 中，∵AB⊥AC，∴BC ＝ ＝5，
∵M 为 BC 中点，∴AM＝ BC＝ ，
∴tan∠PMA ＝ ，即直线 PM 与平面 ABC 所成角为 arctan ；
（2）由 ME∥平面 PAB，MF∥平面 PAB，ME∩MF＝M，
∴平面 MEF∥平面 PAB，∵ME⊂平面 MEF，∴ME∥平面 PAB，
∵PA⊥平面 ABC，AC⊂平面 ABC，
∴PA⊥AC，∵AB⊥AC，PA∩AB＝A ，PA，AB⊂平面 PAB，
∴AC⊥平面 PAB，∴AE 为直线 ME 到平面 PAB 的距离，
∵ME∥平面 PAB，ME⊂平面 ABC，平面 ABC∩平面 PAB＝AB，
∴ME∥AB，∵M 为 BC 中点，∴E 为 AC 中点，∴AE ＝2，
∴直线 ME 到平面 PAB 的距离为 2．18 ．【解答】解：（1）因为 A+C＝120°,且 a ＝2c，
由正弦定理可得 sinA ＝2sinC＝2sin（120°﹣A）＝ cosA+sinA，
所以 cosA ＝0，
由 A 为三角形内角可得 A ＝90°, C＝30°, B ＝60°,
因为 b ＝2，
所以 c = ;
（2）若 A﹣C＝15°, a ＝ csinA，
由正弦定理得 sinA ＝ sinCsinA，
由 A 为三角形内角可得 sinA＞0，
所以 sinC= ,
由题意可得 C 为锐角，
所以 C＝45°, A ＝60°, B ＝75 ° ,
由正弦定理可得， = ,
所以 a ＝ ＝3 ，
所以△ABC 的面积 S ＝ absinC＝ ＝3﹣
ABC .
△
19 ．【解答】解：（1）S= = = ;
（2）由题意，建筑体 3n 米，底面面积 A = ,
＝3n•A ＝3T，
∴体积 V0
由 f＝ ＝18，∴底面周长 L = ,＝L•3n+A ＝ •3n+ ，
∴F
0
∴“体形系数”S＝ ＝ + ＝ + ，n∈N *，
计算可得 n ＝6 时， S 最小．
20．【解答】解：（1）若 m ＝2，则 a2 ＝4 ，b2 ＝3，∴a ＝2 ，c ＝ ＝1，∴e ＝
＝ ；
（m ， 0），A （m ， 0），设 E（p ， 1），
（2）由已知得 A1
2
∴ + ＝1，即 p2 ＝ m2，
∴ ＝（m﹣p，﹣1）， ＝（﹣m﹣p，﹣1），∴ • ＝（m﹣p，﹣1） •（﹣
m﹣p，﹣1）＝p2﹣m2+1＝﹣ 2，
∵p2 ＝ m2 ，代入求得 m ＝3；
（3）设直线 y ＝ x+t，联立椭圆可得 + ＝1，
整理得（3+3m2）x2+2 tm2x+（t2﹣3）m2
＝0，
由△≥0，∴t2 ≤3m2+3，
联立双曲线可得 ﹣ ＝1，整理得（3﹣m2）x2 +2 tx+（t2﹣5m2 ）＝
0，
由 Δ＝0 ， t2 ＝5m2﹣15，
∴5m2﹣15≤3m2+3，
∴﹣3≤m≤3，
又 5m2﹣15≥0，∴m≥ ，∵m≠ ，
综上所述： m∈（ ， 3]．
21 ．【解答】解：（1）f（x）＝2x3﹣3x2+x，设 h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2x3﹣3x2，
h′（x）＝6x2﹣6x ＝6x（x﹣1），当 x∈[0 ， 1]时，易知 h′（x）＝6x（x﹣1）≤0，即 h
（x）单调减，
＝h（0）＝0，即 f（x）﹣g（x）≤0⇒f（x）≤g（x），
∴h（x）
max
∴g（x）是 f（x）的“控制函数“；（2） ，
,
∴
∴f（x）≤h（x），即 y ＝h（x）为函数 y＝f（x）的“控制函数“，
又 ，且 ，∴ ;
证明： （3）f（x）＝ax3 ﹣（a+1） x2+x，f′（x）＝3ax2﹣2（a+1）x+1，
y＝f（x）在 x＝x （x ∈ （0， 1））处的切线为 t（x），
0 0
t（x）＝f′（x ）（x﹣x ） +f（x ）， t（x ）＝f（x ）， t（1）＝0⇒f（1）＝0，
0 0 0 0 0
,
,
) < ≥ >
, 恒成立，
函数 t（x）必是函数 y＝f（x）的“控制函数“，
是函数 y
=f（x）的“控制函数“，
此时“控制函数“g（x）必与 y＝f（x）相切于 x 点， t（x）与 y＝f（x）在 处相切，
且过点（1， 0），
切线下方， 所以
在 之 间 的 点 不 可 能 使 得 y ＝f （x ）
在 或 c ＝1，
（x ∈（0， 1））处的切线过点（1， 0），且 c∈[x ， 1]，
所以曲线 y＝f（x）在 x＝x
0 0 0
或 c ＝1 时， .
当且仅当 c＝x
0
