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2023 年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，第 1 题至第 6 题每个空格填对得 4 分，第 7 题至第 12 题每个空格填对得 5 分，否则
一律得零分.
1．（4 分）已知集合 A＝{1，2}，B＝{1，a}，且 A＝B，则 a＝ ．
2．（4 分）已知向量 ＝（3，4）， ＝（1，2），则 ﹣2 ＝ ．
3．（4 分）若不等式|x﹣1|≤2，则实数 x 的取值范围为 ．
4．（4 分）已知圆 C 的一般方程为 x2+2x+y2＝0，则圆 C 的半径为 ．
5．（4 分）已知事件 A 发生的概率为 P（A）＝0.5，则它的对立事件 发生的概率 P（ ）
＝ ．
6．（4 分）已知正实数 a、b 满足 a+4b＝1，则 ab 的最大值为 ．
7．（5 分）某校抽取 100 名学生测身高，其中身高最大值为 186cm，最小值为 154cm，根据
身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为 5，且第一组下限为 153.5，则组数为 ．
8．（5 分）设（1﹣2x）4＝a +a x+a x2+a x3+a x4，则 a +a ＝ ．
0 1 2 3 4 0 4
9．（5 分）已知函数 f（x）＝2﹣x+1，且 g（x）＝ ，则方程 g（x）＝
2 的解为 ．
10．（5 分）已知有 4 名男生 6 名女生，现从 10 人中任选 3 人，则恰有 1 名男生 2 名女生的
概率为 ．
11．（5 分）设 z ，z ∈C 且 z ＝i• ，满足|z ﹣1|＝1，则|z ﹣z |的取值范围为 ．
1 2 1 1 1 2
12．（5 分）已知空间向量 ， ， 都是单位向量，且 ⊥ ， ⊥ ， 与 的夹
角为 60°，若P 为空间任意一点，且| |＝1，满足| • |≤| • |≤| • |，则 •
的最大值为 ．
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第 13 题至第 14 题选对得 4 分，第15 题至第 16
题选对得 5 分，否则一律得零分．
13．（4 分）下列函数是偶函数的是（ ）A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝x3 D．y＝2x
14．（4 分）根据下图判断，下列选项错误的是（ ）
A．从 2018 年开始后，图表中最后一年增长率最大
B．从 2018 年开始后，进出口总额逐年增大
C．从 2018 年开始后，进口总额逐年增大
D．从 2018 年开始后，图表中 2020 年的增长率最小
15．（5 分）如图，P 是正方体 ABCD﹣A B C D 边 A C 上的动点，下列哪条边与边 BP 始
1 1 1 1 1 1
终异面（ ）
A．DD B．AC C．AD D．B C
1 1 1
16．（5 分）已知数列{a }的各项均为实数，S 为其前 n 项和，若对任意 k＞2022，都有|S |
n n k
＞|S |，则下列说法正确的是（ ）
k+1
A．a ，a ，a ，…，a 为等差数列，a ，a ，a ，…，a 为等比数列
1 3 5 2n 1 2 4 6 2n
﹣
B．a ，a ，a ，…，a 为等比数列，a ，a ，a ，…，a 为等差数列
1 3 5 2n 1 2 4 6 2n
﹣
C．a ，a ，a ，…，a 为等差数列，a ，a ，…，a 为等比数列
1 2 3 2022 2022 2023 n
D．a ，a ，a ，…，a 为等比数列，a ，a ，…，a 为等差数列
1 2 3 2022 2022 2023 n
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．（14 分）已知三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥AC，PB＝AB＝3，AC＝4，M
为 BC 中点，过点 M 分别作平行于平面 PAB的直线交 AC、PC 于点 E，F．
（1）求直线 PM 与平面 ABC 所成角的大小；
（2）证明：ME∥平面 PAB，并求直线 ME 到平面 PAB的距离．
18．（14 分）在△ABC 中，角 A，B，C 对应边为 a，b，c，其中 b＝2．
（1）若 A+C＝120°，且 a＝2c，求边长 c；
（2）若 A﹣C＝15°，a＝ csinA，求△ABC 的面积 S ．
ABC
△
19．（14 分）为了节能环保，节约材料，定义建筑物的“体形系数”为 S＝ ，其中 F 为
0
建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V 为建筑物的体积（单位：立方米）．
0
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为 R，高度为H，求该建筑体的 S（用 R，H 表示）；
（2）现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设 A 为底面面积，L 为建筑底面周长．已知
f 为正比例系数，L2与 A 成正比，定义：f＝ ，建筑面积即为每一层的底面面积，总建
筑面积即为每层建筑面积之和，值为 T．已知该建筑体推导得出 S＝ + ，n 为层
数，层高为 3 米，其中 f＝18，T＝10000，试求当取第几层时，该建筑体 S 最小？
20．（18 分）已知椭圆Γ： + ＝1（m＞0，m≠ ）．
（1）若 m＝2，求椭圆Γ的离心率；
（2）设 A 、A 为椭圆Γ的左右顶点，若椭圆Γ上一点 E 的纵坐标为 1，且 • ＝
1 2
﹣2，求 m 的值；（3）存在过椭圆Γ上一点P、且斜率为 的直线 l，使得直线l 与双曲线 ﹣ ＝1
仅有一个公共点，求 m 的取值范围．
21．（18 分）设函数 f（x）＝ax3﹣（a+1）x2+x，g（x）＝kx+m，其中 a≥0，k、m∈R ，若
对任意 x∈[0，1]均有 f（x）≤g（x），则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“控制函数”，
且对所有的函数 y＝g（x）取最小值定义为 （x）．
（1）若 a＝2，g（x）＝x，试问 y＝g（x）是否为 y＝f（x）的“控制函数”；
（2）若 a＝0，使得直线 y＝h（x）是曲线 y＝f（x）在 x＝ 处的切线，求证：函数 y＝h
（x）是为函数 y＝f（x）的“控制函数”，并求 （ ）的值；
（3）若曲线 y＝f（x）在 x＝x （x ∈（0，1））处的切线过点（1，0），且 c∈[x ，1]，求
0 0 0
证：当且仅当 c＝x 或 c＝1 时， （c）＝f（c）．
02023 年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，第 1 题至第 6 题每个空格填对得 4 分，第 7 题至第 12 题每个空格填对得 5 分，否则
一律得零分.
1．【解答】解：集合 A＝{1，2}，B＝{1，a}，且 A＝B，
则 a＝2．
故答案为：2．
2．【解答】解：因为向量 ＝（3，4）， ＝（1，2），
所以 ﹣2 ＝（3﹣2×1，4﹣2×2）＝（1，0）．
故答案为：（1，0）．
3．【解答】解：因为|x﹣1|≤2，
所以﹣2≤x﹣1≤2，
所以﹣1≤x≤3，
故答案为：[﹣1，3]．
4．【解答】解：根据圆 C 的一般方程为 x2+2x+y2＝0，可得圆 C 的标准方程为（x+1）2+y2
＝1，
故圆 C 的圆心为（0，﹣1），半径为 1，
故答案为：1．
5．【解答】解：由题意知 P（A）+P（ ）＝1，所以 P（ ）＝1﹣P（A）＝0.5，
故答案为：0.5．
6．【解答】解：正实数 a、b 满足 a+4b＝1，则 ab＝ ，当
且仅当 a＝ ， 时等号成立．
故答案为： ．
7．【解答】解：极差为 186﹣154＝32，组距为 5，且第一组下限为 153.5，
＝6.4，故组数为 7 组，故答案为：7．
8．【解答】解：根据题意及二项式定理可得：
a +a ＝ ＝17．
0 4
故答案为：17．
9．【解答】解：当 x≥0 时，g（x）＝2⇔log （x+1）＝2，解得 x＝3；
2
当 x＜0 时，g（x）＝f（﹣x）＝2x+1＝2，解得 x＝0（舍）；
所以 g（x）＝2 的解为：x＝3．
故答案为：x＝3．
10．【解答】解：从 10 人中任选 3 人的事件个数为 ，
恰有 1 名男生 2 名女生的事件个数为 ，
则恰有 1 名男生 2 名女生的概率为 ，
故答案为：0.5．
11．【解答】解：设 z ﹣1＝cosθ+isinθ，则 z ＝1+cosθ+isinθ，
1 1
因为 z ＝i• ，所以 z ＝sinθ+i（cosθ+1），
1 2
所以|z ﹣z |＝
1 2
＝ ＝ ，
显然当 ＝ 时，原式取最小值 0，
当 ＝﹣1 时，原式取最大值 2 ，
故|z ﹣z |的取值范围为[0， ]．
1 2
故答案为：[0， ]．
12．【解答】解：由题知 ， ， ，
再设 ，且 x，y，z＞0，x2+y2+z2＝1，
代入已知的不等式得 ，可得 ，z≥y，
所以 ，解得 ，故 ＝y ．
故答案为： ．
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第 13 题至第 14 题选对得 4 分，第15 题至第 16
题选对得 5 分，否则一律得零分．
13．【解答】解：对于 A，由正弦函数的性质可知，y＝sinx 为奇函数；
对于 B，由正弦函数的性质可知，y＝cosx 为偶函数；
对于 C，由幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数；
对于 D，由指数函数的性质可知，y＝2x为非奇非偶函数．
故选：B．
14．【解答】解：显然 2021 年相对于 2020 年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增
长率最大，A 对；
统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故 B 对；
2020 年相对于 2019 的进口总额是减少的，故 C 错；
显然进出口总额 2021 年的增长率最大，而 2020 年相对于 2019 年的增量比 2019 年相对
于 2018 年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故 2020 年的增长率最小，D 对．
故选：C．
15．【解答】解：对于 A，当 P 是 A C 的中点时，BP 与 DD 是相交直线；
1 1 1
对于 B，根据异面直线的定义知，BP 与 AC 是异面直线；
对于 C，当点 P 与 C 重合时，BP 与 AD 是平行直线；
1 1
对于 D，当点 P 与 C 重合时，BP 与 B C 是相交直线．
1 1
故选：B．
16．【解答】解：由对任意正整数 k＞2022，都有|S |＞|S |，可以知道 a ，a ，a ，
k k+1 2022 2033 2024
，a 不可能为等差数列，
n
因为若 d＝0，a ＝0，则|S |＝|S |，矛盾；
n k k+1
若 d＝0，a ＜0，当 n→+∞，S →﹣∞，k 使得|S |＞|S |，矛盾；
n n k+1 k
若 d＝0，a ＞0，当 n→+∞，S →+∞，必有 k 使得|S |＞|S |，矛盾；
n n k+1 k
若 d＞0，当 n→+∞，a →+∞，S →+∞必有 k 使得|S |＞|S |，矛盾；
n n k+1 k
若 d＜0，当 n→+∞，a →﹣∞，S →﹣∞，必有 k 使得|S |＞|S |，矛盾；
n n k+1 k所以选项 B 中的 a ，a ，a ，⋯，a 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
2 4 6 2n
选项 D 中的 a ，a ，a ，⋯，a 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
2022 2023 2024 n
选项 A 中的 a ，a ，a ，⋯，a 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
1 3 5 2n 1
﹣
事实上，只需取 即可．
故选：C．
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤.
17．【解答】解：（1）连接 AM，PM，
∵PA⊥平面 ABC，
∴∠PMA 为直线 PM 与平面 ABC 所成的角，
在△PAM中，∵AB⊥AC，∴BC＝ ＝5，
∵M 为 BC 中点，∴AM＝ BC＝ ，
∴tan∠PMA＝ ，即直线 PM 与平面 ABC 所成角为 arctan ；
（2）由 ME∥平面 PAB，MF∥平面 PAB，ME∩MF＝M，
∴平面 MEF∥平面 PAB，∵ME⊂平面 MEF，∴ME∥平面 PAB，
∵PA⊥平面 ABC，AC⊂平面 ABC，
∴PA⊥AC，∵AB⊥AC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面 PAB，
∴AC⊥平面 PAB，∴AE 为直线 ME 到平面 PAB的距离，
∵ME∥平面 PAB，ME⊂平面 ABC，平面 ABC∩平面 PAB＝AB，
∴ME∥AB，∵M 为 BC 中点，∴E 为 AC 中点，∴AE＝2，
∴直线 ME 到平面 PAB的距离为 2．18．【解答】解：（1）因为 A+C＝120°，且 a＝2c，
由正弦定理可得 sinA＝2sinC＝2sin（120°﹣A）＝ cosA+sinA，
所以 cosA＝0，
由 A 为三角形内角可得 A＝90°，C＝30°，B＝60°，
因为 b＝2，
所以 c＝ ；
（2）若 A﹣C＝15°，a＝ csinA，
由正弦定理得 sinA＝ sinCsinA，
由 A 为三角形内角可得 sinA＞0，
所以 sinC＝ ，
由题意可得 C 为锐角，
所以 C＝45°，A＝60°，B＝75°，
由正弦定理可得， ＝ ，
所以 a＝ ＝3 ，
所以△ABC 的面积 S ＝ absinC＝ ＝3﹣ ．
ABC
△
19．【解答】解：（1）S＝ ＝ ＝ ；
（2）由题意，建筑体 3n 米，底面面积 A＝ ，
∴体积 V ＝3n•A＝3T，
0
由 f＝ ＝18，∴底面周长 L＝ ，∴F ＝L•3n+A＝ •3n+ ，
0
∴“体形系数”S＝ ＝ + ＝ + ，n∈N *，
计算可得 n＝6 时，S 最小．
20．【解答】解：（1）若 m＝2，则 a2＝4，b2＝3，∴a＝2，c＝ ＝1，∴e＝ ＝ ；
（2）由已知得 A （m，0），A （m，0），设 E（p，1），
1 2
∴ + ＝1，即 p2＝ m2，
∴ ＝（m﹣p，﹣1）， ＝（﹣m﹣p，﹣1），∴ • ＝（m﹣p，﹣1）•（﹣
m﹣p，﹣1）＝p2﹣m2+1＝﹣2，
∵p2＝ m2，代入求得 m＝3；
（3）设直线 y＝ x+t，联立椭圆可得 + ＝1，
整理得（3+3m2）x2+2 tm2x+（t2﹣3）m2＝0，
由△≥0，∴t2≤3m2+3，
联立双曲线可得 ﹣ ＝1，整理得（3﹣m2）x2+2 tx+（t2﹣5m2）＝0，
由Δ＝0，t2＝5m2﹣15，
∴5m2﹣15≤3m2+3，
∴﹣3≤m≤3，
又 5m2﹣15≥0，∴m≥ ，∵m≠ ，
综上所述：m∈（ ，3]．
21．【解答】解：（1）f（x）＝2x3﹣3x2+x，设 h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2x3﹣3x2，
h′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），当 x∈[0，1]时，易知 h′（x）＝6x（x﹣1）≤0，即 h
（x）单调减，
∴h（x） ＝h（0）＝0，即 f（x）﹣g（x）≤0⇒f（x）≤g（x），
max
∴g（x）是 f（x）的“控制函数“；（2） ，
∴ ，
∴f（x）≤h（x），即 y＝h（x）为函数 y＝f（x）的“控制函数“，
又 ，且 ，∴ ；
证明：（3）f（x）＝ax3﹣（a+1）x2+x，f′（x）＝3ax2﹣2（a+1）x+1，
y＝f（x）在 x＝x （x ∈（0，1））处的切线为 t（x），
0 0
t（x）＝f′（x ）（x﹣x ）+f（x ），t（x ）＝f（x ），t（1）＝0⇒f（1）＝0，
0 0 0 0 0
，
，
，
恒成立，
函数 t（x）必是函数 y＝f（x）的“控制函数“，
是函数 y
＝f（x）的“控制函数“，
此时“控制函数“g（x）必与 y＝f（x）相切于 x 点，t（x）与 y＝f（x）在 处相切，
且过点（1，0），
在 之 间 的 点 不 可 能 使 得 y ＝ f （ x ） 在 切 线 下 方 ， 所 以
或 c＝1，
所以曲线 y＝f（x）在 x＝x （x ∈（0，1））处的切线过点（1，0），且 c∈[x ，1]，
0 0 0
当且仅当 c＝x 或 c＝1 时， ．
0
