文档内容
2025 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第1
卷1至3页第Ⅱ卷4至6页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置
粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回.在天津考生获取更多学习资料祝各位考生考试顺利！
第I卷（选择题）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
·如果事件 互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)
·如果事件 相互独立，那么P(AB)=P(A) P(B)
1
·棱柱的体积公式V = Sℎ，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．
3
1
·圆锥的体积公式V = Sℎ，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．
3
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,5}，则∁ (A∪B)=（ ）
U
A. {1,2,3,4} B. {2,3,4} C. {2,4} D. {4}
【答案】D
【解析】
由集合的并集、补集的运算即可求解.
由A={1,3},B={2,3,5}，则A∪B={1,2,3,5}，
集合U={1,2,3,4,5}，
故故选：D.
2. 设x∈R，则“x=0”是“sin2x=0”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
.
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.
由x=0⇒sin2x=sin0=0，则“x=0”是“sin2x=0”的充分条件；
又当x=π时，sin2x=sin2π=0，可知sin2x=0⇒´ x=0，
故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件，
综上可知，“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知函数y=f (x)的图象如下，则f (x)的解析式可能为（ ）
|x| |x|
A. B. C.
f(x)=
D.
f(x)=
1−x2 x2−1
【答案】D
【解析】
先由函数奇偶性排除AB，再由x∈(0,1)时函数值正负情况可得解.
x x
由图可知函数为偶函数，而函数f (x)= 和函数f (x)= 为奇函数，故排除选项AB；
1−|x| |x|−1
|x| |x|
又当x∈(0,1)时1−x2>0,x2−1<0，此时f (x)= >0,f (x)= <0，
1−x2 x2−1
由图可知当x∈(0,1)时，f (x)<0，故C不符合，D符合.
故选：D
4. 若m为直线， 为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若m//α,n⊂α，则m//n B. 若m⊥α,m⊥β，则α⊥βC. 若m//α,m⊥β，则α⊥β D. 若m⊂α,α⊥β，则m⊥β
【答案】C
【解析】
根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误.
【详解】对于A，若m//α,n⊂α，则m,n可平行或异面，故A错误；
对于B，若m⊥α,m⊥β，则α//β，故B错误；
对于C，两条平行线有一条垂直于一个平面，则另一个必定垂直这个平面，
现m//a,m⊥β，故a⊥β，故C正确；
对于D，m⊂α,α⊥β，则m与 可平行或相交或m⊂β，故D错误；
故选：C.
5. 下列说法中错误的是（ ）
A. 若X∼N(μ,σ2)，则
B. 若X∼N(1,22)，Y∼N(2,22)，则
C. |r|越接近1，相关性越强
D. |r|越接近0，相关性越弱
【答案】B
【解析】
根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可.
对于A，根据正态分布对称性可知，P(X≤μ−σ)=P(X≥μ+σ)，A说法正确；
对于B，根据正态分布对称性可知， ，B说法错误；
对于C和D，相关系数|r|越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确.
故选：B
6. S =−n2+8n，则数列{|a |}的前12项和为（ ）
n n
A. 112 B. 48 C. 80 D. 64
【答案】C
【解析】
先由题设结合 求出数列{a } 的 通项公式，再结合数列{a }各项正负情况即可求解.
n n因为S =−n2+8n，
n
所以当n=1时，a =S =−12+8×1=7，
1 1
当n≥2时，a =S −S =(−n2+8n)−[−(n−1) 2+8(n−1)]=−2n+9，
n n n−1
经检验，a =7满足上式，
1
所以a =−2n+9(n∈N∗)，令a =−2n+9≥0⇒n≤4，a =−2n+9≤0⇒n≥5，
n n n
设数列{|a |}的前n项和为T ，
n n
则数列{|a |}的前4项和为
n
数列{|a |}的前12项和为
n
.
故选：C
7. 函数f(x)=0.3x−√x的零点所在区间是（ ）
A. (0,0.3) B. (0.3,0.5) C. (0.5,1) D. (1,2)
【答案】B
【解析】
利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
由指数函数、幂函数的单调性可知：y=0.3x在R上单调递减，y=√x在0,+∞)单调递增，
所以f (x)=0.3x−√x在定义域上单调递减，
显然f (0)=1>0,f (0.3)=0.30.3−0.30.5>0,f (0.5)=0.30.5−0.50.5<0，
所以根据零点存在性定理可知f (x)的零点位于(0.3,0.5).
故选：B
[ 5π π ] π
8. f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,−π<φ<π)，在 − , 上单调递增，且x= 为它的一条对称轴，
12 12 12(π ) [ π]
,0 是它的一个对称中心，当x∈ 0, 时， 的最小值为（ ）
3 2
1
A. B. − C. 1 D. 0
2
【答案】A
【解析】
利用正弦函数的对称性得出ω=4n+2，根据单调性得出0<ω≤2，从而确定ω，结合对称轴与对称中心再
求出 ，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解.
π π
{& ω+φ= +2kπ
12 2
设f (x)的最小正周期为T，根据题意有 ，(m,k∈Z)，
π
& ω+φ=mπ
3
π π (2n+1)T
由正弦函数的对称性可知 − = (n∈Z)，
3 12 4
π 2nπ+π
即 = ,∴ω=4n+2，
4 2ω
又f (x)在 [ − 5π , π ] 上单调递增，则 T ≥ π − ( − 5π ) ,∴ π ≥ π ⇒0<ω≤2，
12 12 2 12 12 ω 2
π
{&φ= +2kπ
3
∴ ，则 ，
2π
&φ=mπ−
3
π ( π)
∵φ∈(−π,π)，∴k=0,m=1时，φ= ，∴f (x)=sin 2x+ ，
3 3
[ π] π [π 4π]
当x∈ 0, 时，2x+ ∈ , ，
2 3 3 3
4π √3
由正弦函数的单调性可知f (x)sin .
3 2
min
故选：A
x2 y2
9. 双曲线 − =1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为 F ,F ，以右焦点 为焦点的抛物线
a2 b2 1 2y2=2px(p>0)与双曲线交于另一象限点为P，若 ，则双曲线的离心率e=（ ）
√2+1 √5+1
A. 2 B. 5 C. D.
2 2
【答案】A
【解析】
{&|PF |=3c+a
1
利用抛物线与双曲线的定义与性质得出 ，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用
&|PF |=3c−a=|PA|
2
点在双曲线上构造齐次方程计算即可.
(p )
根据题意可设F ,0 ，双曲线的半焦距为c，P(x ,y )，则p=2c，
2 2 0 0
过 作x轴的垂线l，过P作l的垂线，垂足为A，显然直线AF 为抛物线的准线，
1
则|PA|=|PF |，
2
{&|PF |−|PF |=2a {&|PF |=3c+a
1 2 1
由双曲线的定义及已知条件可知 ，则 ，
&|PF |+|PF |=6c &|PF |=3c−a=|PA|
1 2 2
由勾股定理可知|AF | 2= y2=|PF | 2 −|PA| 2=12ac，
1 0 1
x2 y2 9a2 12ac
易知y2=4cx ,∴x =3a，即 0− 0= − =1，
0 0 0 a2 b2 a2 c2−a2
整理得2c2−3ac−2a2=0=(2c+a)(c−2a)，∴c=2a，即离心率为2.
故选：
第Ⅱ卷（非选择题）
注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
|3+i|
=
10. 已知i是虚数单位，则 ________．
i
【答案】√10
【解析】
3+i
先由复数除法运算化简 ，再由复数模长公式即可计算求解.
i
先由题得 ，所以 .
故答案为：√10
的
11. 在(x−1) 6 展开式中，x3项的系数为________．
【答案】−20
【解析】
根据二项式定理相关知识直接计算即可.
(x−1) 6展开式的通项公式为T =Crx6−r ⋅(−1) r ，
r+1 6
当r=3时， ，
即(x−1) 6展开式中x3的系数为−20.
故答案为：−20
12. l :x−y+6=0，与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与(x+1) 2+(y−3) 2=r2交于 C、D 两点，
1
|AB|=3|CD|，则r=_________．
【答案】2
【解析】
的
先根据两点间距离公式得出 |AB|=6√2，再计算出圆心到直线 距离d，根据弦长公式
|CD|=2√r2−d2列等式求解即可.
因为直线l :x−y+6=0与x轴交于A(−6,0)，与y轴交于B(0,6)，所以|AB|=√62+62=6√2，所以
1|CD|=2√2，
|−1−3+6|
圆(x+1) 2+(y−3) 2=r2的半径为 ，圆心 到直线l :x−y+6=0的距离为d= =√2，
1 √2
故|CD|=2√r2−d2=2√r2−(√2) 2=2√2，解得r=2；
故答案为：2.
13. 小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则
第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈
的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记
合格周数为X，则期望E(x)= _______
【答案】 ①. 0.6 ②. 3.2
【解析】
先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解.
设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件B，设第二次跑5圈为事件C，
则P(A)=P(B)P(C¯|B)+P(B¯)P(C|B¯)=0.5×0.6+0.5×0.6=0.6；
若至少跑11圈为运动量达标为事件D，P(D)=P(A)+P(B¯)P(C¯|B¯)=0.6+0.5×0.4=0.8，
所以X∼B(4,0.8)，E(X)=4×0.8=3.2；
故答案为：0.6；3.2
1
14. △ABC中，D 为 AB 边中点，⃗CE= ⃗CD,⃗AB=⃗a,⃗AC=⃗b，则⃗AE=______（用 ， 表示），若
3
|⃗AE|=5，AE⊥CB，则⃗AE⋅⃗CD=_______
1 2
【答案】 ①. ⃗a+ ⃗b； ②. −15
6 3
【解析】
根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
如图，1 1 1 2
因为⃗CE= ⃗CD，所以⃗AE−⃗AC= (⃗AD−⃗AC)，所以⃗AE= ⃗AD+ ⃗AC．
3 3 3 3
1 2 1 2
因为D为线段AB的中点，所以⃗AE= ⃗AB+ ⃗AC= ⃗a+ ⃗b；
6 3 6 3
又因为|⃗AE|=5,AE⊥CB，所以⃗AE2= (1 ⃗a+ 2 ⃗b ) 2 = 1 ⃗a2+ 2 ⃗a⋅⃗b+ 4 ⃗b2=25，
6 3 36 9 9
⃗AE⋅⃗CB= (1 ⃗a+ 2 ⃗b ) ⋅(⃗a−⃗b)= 1 ⃗a2+ 1 ⃗a⋅⃗b− 2 ⃗b2=0，所以⃗a2+3⃗a⋅⃗b=4⃗b2
6 3 6 2 3
所以⃗a2+4⃗a⋅⃗b=180，
所以⃗AE⋅⃗CD= (1 ⃗a+ 2 ⃗b ) ⋅ ( −⃗b+ 1 ⃗a ) = 1 ⃗a2+ 1 ⃗a⋅⃗b− 2 ⃗b2= 1 (⃗a2+2⃗a⋅⃗b−8⃗b2)
6 3 2 12 6 3 12
1 1
= (⃗a2+2⃗a⋅⃗b−2⃗a2−6⃗a⋅⃗b2)= (−⃗a2−4⃗a⋅⃗b2)=−15．
12 12
1 2
故答案为： ⃗a+ ⃗b；−15.
6 3
15. 若a,b∈R，对∀x∈[−2,2]，均有(2a+b)x2+bx−a−1≤0恒成立，则2a+b的最小值为_______
【答案】−4
【解析】
1
先设t=2a+b，根据不等式的形式，为了消a可以取x=− ，得到t≥−4，验证t=−4时，a,b是否可以取
2
到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
设t=2a+b，原题转化为求t的最小值，
原不等式可化为对任意的−2≤x≤2， ，
1
不妨代入x=− ，得 ，得t≥−4，
2当t=−4时，原不等式可化为 ，
即 ，
1
观察可知，当a=0时， 对−2≤x≤2一定成立，当且仅当x=− 取等号，
2
此时，a=0,b=−4，说明t=−4时，a,b均可取到，满足题意，
故t=2a+b的最小值为−4.
故答案为：−4
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知asinB=√3bcosA，c−2b=1，a=√7．
（1）求A的值；
（2）求c的值；
（3）求sin(A+2B)的值．
π
【答案】（1）
3
（2）3
4√3
（3）
7
【解析】
（1）由正弦定理化边为角再化简可求；
（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于b的方程，求解可得b，进而求得c；
（3）利用正弦定理先求B，再由二倍角公式分别求sin2B,cos2B，由两角和的正弦可得.
【小问1详解】
a b
已知asinB=√3bcosA，由正弦定理 = ，
sin A sinB
得asinB=bsin A=√3bcosA，显然cosA≠0，
得tan A=√3，由0b>0)的左焦点为F，右顶点为A，P为x=a上一点，且直线 的斜率为 ，
a2 b2 3
3 1
△PFA的面积为 ，离心率为 .
2 2
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分∠AFB.
x2 y2
【答案】（1） + =1
4 3
（2）证明见解析
【解析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率得到a=2c，再由直线 的斜率得到m=c，从而利用三角形的面积
公式得到关于c的方程，解之即可得解；
（2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得k，进而得到直线PB的方程与点B的坐标，法一：利用向
量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法
四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证.
【小问1详解】
依题意，设椭圆 的半焦距为c，
c 1
则左焦点F(−c,0)，右顶点 ，离心率e= = ，即a=2c，
a 2
因为P为x=a上一点，设P(a,m)，
1
又直线 的斜率为 ，则 ，即 ，
3
所以 ，解得m=c，则P(a,c)，即 ，
3
因为△PFA的面积为 ， ，高为 ，
2
1 1 3
所以S = |AF||m|= ×3c×c= ，解得c=1，
△PFA 2 2 2
则a=2c=2，b2=a2−c2=3，
x2 y2
所以椭圆的方程为 + =1.
4 3
.
【小问2详解】
由（1）可知P(2,1)，F(−1,0)，A(2,0)，
易知直线PB的斜率存在，设其方程为y=kx+m，则 ，即 ，{y=kx+m
联立 x2 y2 ，消去y得，(3+4k2 )x2+8kmx+4m2−12=0，
+ =1
4 3
因为直线与椭圆有唯一交点，所以Δ=(8k⋅m) 2−4(3+4k2 )⋅(4m2−12)=0，
1
即4k2−m2+3=0，则4k2−(1−2k) 2+3=0，解得k=− ，则m=2，
2
1
所以直线PB的方程为y=− x+2，
2
1
{y=− x+2 {x=1
2 3
联立 ，解得 3，则B(1, )，
x2 y2 y= 2
+ =1 2
4 3
以下分别用四种方法证明结论：
法一：则⃗FB= ( 2, 3) ,⃗FP=(3,1),⃗FA=(3,0)，
2
3
2×3+ ×1
⃗FB⋅⃗FP 2 3√10
cos∠BFP= = =
所以 ，
|⃗FB|⋅|⃗FP| √
22+
(3) 2
⋅√32+12
10
2
⃗FA⋅⃗FP 3×3+1×0 3√10
cos∠PFA= = =
，
|⃗FA|⋅|⃗FP| 3√32+12 10
π
则cos∠BFP=cos∠PFA，又∠BFP,∠PFA∈(0, )，
2
所以∠BFP=∠PFA，即 平分∠AFB.
法二：所以 ， ， ，
| 3 1 |
− |1 |
4 3 1 −0
由两直线夹角公式，得tan∠BFP= = ， 3 1，
1 3 3 tan∠PFA= =
1+ × 1+0 3
3 4
π
则tan∠BFP=tan∠PFA，又∠BFP,∠PFA∈(0, )，
2所以∠BFP=∠PFA，即 平分∠AFB.
1 3
法三：则tan∠PFA=k = ，tan∠BFP=k = ，
PF 3 FB 4
故 ，
π
又∠BFP,∠PFA∈(0, )，
2
所以∠BFP=∠PFA，即 平分∠AFB.
法四：则 ，
3
所以直线FB的方程为y= (x+1)，即3x−4 y+3=0，
4
|3×2−4×1+3|
则点P到直线FB的距离为d= =1，
√32+(−4) 2
又点P到直线FA的距离也为1，
所以 平分∠AFB.
19. 已知数列{a }是等差数列，{b }是等比数列，a =b =2,a =b +1,a =b ．
n n 1 1 2 2 3 3
（1）求{a }，{b }的通项公式；
n n
（2）∀n∈N∗，I∈{0,1}，有
，
（i）求证：对任意实数t∈T ，均有t0，
2lnx
则f' (x)=1− ，则f' (1)=1，且f(1)=1，
x
则切点(1,1)，且切线的斜率为1，
故函数 在点(1,f(1))处的切线方程为y=x；
【小问2详解】
（i）令f(x)=ax−(lnx) 2=0，x>0，
(lnx) 2
得a= ，
x
(lnx) 2
设g(x)= ,x>0，
x
2lnx
⋅x−(lnx) 2
则 g' (x)= x = lnx(2−lnx)，
x2 x2
4
由 解得x=1或 ，其中g(1)=0，g(e2 )= ；
e2
当00， 在(1,e2 )上单调递增；
当x>e2时，g' (x)<0， 在(e2,+∞)上单调递减；
且当x→0时， ； 当 时，g(x)→0；
如图作出函数 的图象，要使函数 有3个零点，
则方程a=g(x)在 内有3个根，即直线y=a与函数 的图象有3个交点.
4
结合图象可知，0√t t ，
lnt −lnt 2 3
3 2
4e
则t t <4，故要证(lnx −lnx )⋅lnx < ，
2 3 2 1 3 e−1
4e 4e
即证t t −t t < ，只需证4−t t ≤ ，
2 3 1 3 e−1 1 3 e−1
4
即证−t t ≤ ，又因为t <0,t2=aet 12 2 2
设函数 t ，则φ' (t)= = ，
e2 et t
e2当 时，φ' (t)>0，则 在 上单调递增；
当t>4时，φ' (t)<0，则 在(4,+∞)上单调递减；
16 16
故 φ(t) ，即φ(t)≤ .
e2 e2
max
而由4e2−16e+16=4(e−2) 2>0，
16 4
<
可知 成立，故命题得证.
e2 e−1
