2020北京西城初一（下）期末数学（教师版）(1)_北京初中期末题_C605-京七八九_B京市数学七八九_北京7下数学_2019-2020_2020北京西城初一（下）期末数学（教师版）

2020 北京西城初一（下）期末 数 学 一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．（3分）−8的立方根是( ) A．−4 B．−2 C．4 D．2 2．（3分）将不等式的解集x6表示在数轴上，下列图形中正确的是( ) A． B． C． D． 3．（3分）点A(−5,4)在第几象限( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（3分）下列各数中的无理数是( )  2 A． B． 9 C． D．−6 2 3 5．（3分）已知mn，下列结论中正确的是( ) m n A．m+2n+2 B．m−2n−2 C．−2m−2n D．  2 2 6．（3分）下列各图中，线段CD是ABC 的高的是( ) A． B． C． D． 7．（3分）如图，分别将木条a，b与木条c钉在一起，若1=50，2=80，要使木条a与b平行，则木条a需 要顺时针转动的最小度数为( ) A．30 B．50 C．80 D．130 8．（3分）下列命题中正确的是( ) A．如果两个角相等，那么这两个角一定是对顶角 B．如果两个角互为补角，那么这两个角一定是邻补角 C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角相等 1 / 229．（3分）党的十八大以来，我国实施精准扶贫精准脱贫，全面打响了脱贫攻坚战，扶贫工作取得了决定性进 展．如图的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口 的百分比． 根据统计图提供的信息，下列推断中不合理的是( ) A．与2018年相比，2019年年末全国农村贫困人口减少了1109万人 B．2015~2019年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000万 C．2015~2019年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降 D．2015~2019年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率下降均不少于1.2% 10．（3分）已知关于x的不等式2x−m1−x的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是( ) A．3m 4 B．3 m4 C．8m 11 D．8 m11 二、填空题（本题共18分，第13，18题每小题2分，其余每小题2分） 11．（2分）| 2− 3|= ． 12．（2分）小芸为了解同学们最感兴趣的在线学习方式，设计了如下的调查问题（选项不完整）: 你最感兴趣的一种在线学习方式是( )（单选） A．B．C．D．其他 她准备从“①在线听课，②在线讨论，③在线学习2~3小时，④用手机在线学习，⑤在线阅读”中选取三个作为该 问题的备选答案，合理的选取是 ．（填序号） 13．（3分）将一把直尺与一块含30角的三角板按如图方式摆放．若1=25，则 2=______，3= ． 14．（2分）已知点A(m−1,2m+3)在y轴上，则点A的坐标为 ． 15．（2分）一个正多边形的每一个内角都是140，则这个正多边形的边数是 ． 16．（2分）用一组a、b、c的值说明命题“若ab，则acbc”错误的，这组值可以是a= ，b= ， c= ． 2 / 2217．（2分）如图，AD是ABC 的中线，E是AD的中点，连接EB，EC，CF ⊥BE 于点F ．若BE =9， CF =8，则ACE 的面积为 ． 18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别为(0,3)，(3,3)，(3,0)．正方形OABC 从 图中的位置出发，以每秒旋转90的速度，绕点O沿顺时针方向旋转．同时，点P从点O出发，以每秒移动1个 单位长度的速度，沿正方形的边，按照O→ A→B→C→O→ A的路线循环运动．第1秒时点P的坐标为 (1,0)，第2秒时点P的坐标为 ，第2020秒时点P的坐标为 ． 三、解答题（本题共52分，第19～22题每小题6分，第23～26题每小题6分） 3x+4 x+6  19．（6分）解不等式组：x−1 2x+5．    5 3 20．（6分）小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如x2 =a(a为常数）的这类方程． （1）小天先尝试解了下面两个方程： ①x2 =1，解得x=1或x=−1； ②x2 =−1，此方程无实数解． 方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数； 方程②无实数解的依据是： ； （2）小天进一步探究了解方程③和④： ③3x2 =21； 解：x2 =7． x= 7或x=− 7． ④(x+2)2 =9． 3 / 22解：x+2=3或x+2=−3． x=1或x=−5． 请你参考小天的方法，解下列两个方程： ⑤2x2 −72=0； ⑥(x−1)2 =5． 21．（6分）如图，在ABC 中，点D，E在AB边上，点F 在AC 边上，EF //DC，点H 在BC边上，且 1+2=180．求证：A=BDH ． 请将下面的证明过程补充完整： 证明： EF //DC， 2+ =180．（理由： ) 1+2=180， 1= ．  // ．（理由： ) A=BDH ． 22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)，B(4,2)，C(2,−2)． （1）在网格中画出这个平面直角坐标系； （2）连接CB，平移线段CB，使点C移动到点A，得到线段AD． ①画出线段AD，并写出点D的坐标； ②连接AC ，DB，四边形ACBD的面积是 ． 4 / 2223．（7分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承传统文化，阅读经典名著”活动，并举行了经典名著知识竞赛．为 了解七年级学生（七年级有8个班，共320名学生）的阅读效果，综合实践调查小组开展了一次调查研究． 收集数据 （1）调查小组计划选取40名学生的竞赛成绩（百分制）作为样本，下面的抽样方法中，合理的是 ；（填字 母） A．抽取七年级1班、2班各20名学生的竞赛成绩组成样本 B．抽取各班竞赛成绩较好的共40名学生的竞赛成绩组成样本 C．从年级中按学号随机选取40名学生的竞赛成绩组成样本 整理、描述数据 抽样方法确定后，调查小组收集到了40名学生的竞赛成绩，其中竞赛成绩x在80 x 100范围的具体成绩如下： 90，92，81，82，95，86，88，89，86，93，97，100，80， 81，86，89，82，85，98，90，97，100，84，87，92，96． 整理数据，得到如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）: 成绩 频数 60 x70 4 70 x80 80 x90 90 x 100 （2）请补全以上频数分布表和频数分布直方图； 应用数据 （3）若竞赛成绩不低于90分的记为“优秀”，请你估计参加这次知识竞赛的全年级320名学生中，竞赛成绩为“优 秀”的约有多少人？ 24．（7分）某公园为了方便游客游览，设置了观光接驳车．公园设计的其中一条观光路线上设有A，B，C，D 四个站点（如图所示），相邻两个站点的距离都是5千米，游客只能在站点上、下车．一辆接驳车在A，D之间往 返行驶，一名游客在距离A站点x千米(5x10)的M 处徒步游览时，临时有事要赶回站点A，此时他正好遇到 开往站点D的接驳车，他决定走到站点B等待刚才那辆车从站点D开回．已知接驳车行驶的平均速度为30千米/ 时，该游客步行的平均速度为6千米/时，游客上下车的时间忽略不计． （1）接驳车在A，D之间往返行驶一次所需时间为 小时； （2）该游客从M 处走到站点B所需时间为 小时；（用含x的式子表示） （3）如果该游客不晚于接驳车到达了站点B，那么当时他离站点A的距离x最多有多远？ 5 / 2225．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P(x,y)，给出如下定义：记a= x+ y，b=−y，将点M(a,b) 与N(b,a)称为点P的一对“相伴点”． 例如：点P(2,3)的一对“相伴点”是点(5,−3)与(−3,5)． （1）点Q(4,−1)的一对“相伴点”的坐标是 与 ； （2）若点A(8,y)的一对“相伴点”重合，则y的值为 ； （3）若点B的一个“相伴点”的坐标为(−1,7)，求点B的坐标； （4）如图，直线l经过点(0,−3)且平行于x轴．若点C是直线l上的一个动点，点M 与N是点C的一对“相伴 点”，在图中画出所有符合条件的点M ，N组成的图形． 26．（7分）已知ABC ，过点B作DE ⊥BC于点B，过点C作FH //DE． （1）BC与FH 的位置关系是 ； 1 1 （2）如图1，点M 在直线DE和FH 之间，连接BM ，CM ．若ABM = ABD，ACM = ACF ， 4 4 BAC =72，求BMC的度数； （3）若ABE 和ACH 的平分线交于点N，在图2中补全图形，用等式表示BNC 与BAC的数量关系，并证 明． 6 / 22一、解答题（本题共13分，第1题6分，第2题7分） 27．已知一个三角形的三条边的长分别为n+2，n+6，3n． （1）n+2 n+6；（填“”，“ =”或“” ) （2）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长； （3）若这个三角形的三条边都不相等，且n为正整数，直接写出n的最大值． 28．在ABC 中，BD是ABC 的角平分线，点E在射线DC上，EF ⊥BC于点F ，EM 平分AEF 交直线AB于 点M ． （1）如图1，点E在线段DC上，若A=90，M =． ①AEF = ；（用含的式子表示） ②求证：BD//ME ； （2）如图2，点E在DC的延长线上，EM 交BD的延长线于点N，用等式表示BNE与BAC的数量关系，并 证明． 二、阅读探究题（本题7分） 29．在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．给出如下定义：对于任意两个整点M(x ， 1 y )，N(x ，y )，M 与N的“直角距离”记为d ，d =|x −x |+|y −y |． 1 2 2 MN MN 1 2 1 2 例如，点M(1,5)与N(7,2)的“直角距离” d =|1−7|+|5−2|=9． MN （1）已知点A(4,−1)． ①点A与点B(1,3)的“直角距离” d = ； AB ②若点A与整点C(−2,m)的“直角距离” d =8，则m的值为 ； AC （2）小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平行的相邻 两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格．小明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图（如 图所示）．为了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站P，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距 离”之和最小．目前该社区内有两个火警高危点，分别是D(−2,−1)和E(2,2)． ①若对于火警高危点D和E，消防站P不仅要满足上述条件，还需要消防站P到D，E两个点的“直角距离”之差 的绝对值最小，则满足条件的消防站P的坐标可以是 （写出一个即可），所有满足条件的消防站P的位置共有 个； 7 / 22②在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点F(4,−2)，那么满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小的 消防站P的坐标为 ． 8 / 222020 北京西城初一（下）期末数学 参考答案 一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．【分析】依据立方根的定义解答即可． 【解答】解：−8的立方根是−2． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是立方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 2．【分析】根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”表示即可得． 【解答】解：将x6表示在数轴上如下： 故选：C． 【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集 为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 3．【分析】根据−50，40，即可判断出点A(−5,4)所在象限． 【解答】解： −50，40， 点A在第二象限． 故选：B． 【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号． 4．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分 数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．  【解答】解：A. 是无理数； 2 B. 9 =3，是整数，属于有理数； 2 C. 是分数，属于有理数； 3 D．−6是整数，属于有理数； 故选：A． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数． 5．【分析】根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号 9 / 22的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以 （或除以）同一个负数，不等号的方向改变．即可进行判断． 【解答】解：A．因为mn， 所以m+2n+2， 故A选项错误； B．因为mn， 所以m−2n−2， 故B选项错误； C．因为mn， 所以−2m−2n， 故C选项错误； D．因为mn， m n 所以  ， 2 2 故D选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质． 6．【分析】根据三角形的高的定义即可求解． 【解答】解：线段CD是ABC 的高的是 ． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的高的定义，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的 高． 7．【分析】根据内错角相等两直线平行，求出旋转后1的内错角的度数，然后用2减去即可得到木条a旋转的 度数． 【解答】解：如图． AOB=1=50时，OA//b， 要使木条a与b平行，木条a需要顺时针转动的最小度数为80−50=30． 故选：A． 10 / 22【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据内错角相等两直线平行求出旋转后1的内错角的度数是解 题的关键． 8．【分析】根据对顶角的定义对A进行判断；根据邻补角的定义对B进行判断；根据平行线的传递性对C进行判 断；根据平行线的性质对D进行判断． 【解答】解：A、如果两个角相等，那么这两个角一定是对顶角，这个命题为假命题； B、如果两个角互为补角，那么这两个角一定是邻补角，这个命题为假命题； C、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这个命题为真命题； D、如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角相等，这个命题为假命题． 故选：C． 【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题 的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 9．【分析】用2018年年末全国农村贫困人口数减去2019年年末全国农村贫困人口数，即可判断A； 根据2015~2019年年末全国农村贫困人口统计图，可得2015~2019年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的 减少量，即可判断B； 根据2015~2019年年末全国农村贫困发生率统计图，可得2015~2019年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生 率，即可判断C； 根据2015~2019年年末全国农村贫困发生率统计图，可得2015~2019年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生 率的下降百分比，即可判断D． 【解答】解：A、1660−551=1109，故本选项推断合理，不合题意； B、5575−4335=12401000，4335−3046=12891000，3046−1660=13861000，1660−551=11091000， 故本选项推断合理，不合题意； C、5.74.53.11.70.6，故本选项推断合理，不合题意； D、5.7−4.5=1.2，4.5−3.1=1.4，3.1−1.7=1.4，1.7−0.6=1.11.2，故本选项推断不合理，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是 解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况． m+1 10．【分析】解关于x的不等式求得x ，根据不等式的正整数解的情况列出关于m的不等式组，解之即可求 3 解． 【解答】解：2x−m1−x， 移项得2x+xm+1， m+1 系数化为1，得：x ， 3 11 / 22不等式的正整数解为1，2，3， m+1 3 4， 3 解得：8m 11． 故选：C． 【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据正整数解的情况得出关于m的不等式组是解题的关键． 二、填空题（本题共18分，第13，18题每小题2分，其余每小题2分） 11．【分析】根据差的绝对值是大数减小数， 可得答案 ． 【解答】解：| 2− 3|= 3− 2， 故答案为： 3− 2 ． 【点评】本题考查了实数的性质， 差的绝对值是大数减小数 ． 12．【分析】根据题意可得“①在线听课，②在线讨论，⑤在线阅读”合理． 【解答】解：根据题意可知： ①在线听课，②在线讨论，⑤在线阅读， 作为该问题的备选答案合理， 故答案为：①②⑤． 【点评】本题考查了调查收集数据的过程与方法，解决本题的关键是掌握收集数据的过程与方法． 13．【分析】先根据三角形外角的性质可求2，再根据平行线的性质可求4，最后根据邻补角的定义即可得出 3． 【解答】解：2=1+30=55， AB//CD， 4=2=55， 3=180−4=125． 故答案为：55；125． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等． 14．【分析】在y轴上，那么横坐标为0，就能求得m的值，求得m的值后即可求得点A的坐标． 【解答】解： 点A(m−1,2m+3)在y轴上， 点的横坐标是0， 12 / 22m−1=0，解得m=1， 2m+3=5，点A的纵坐标为5， 点A的坐标是(0,5)． 故答案为：(0,5)． 【点评】本题考查了坐标轴上的点的坐标的特征，解决本题的关键是记住y轴上点的特点为横坐标为0． 15．【分析】由多边形的每一个内角都是140先求得它的每一个外角是40，然后根据正多边形的每个内角的度数 边数=360求解即可． 【解答】解：180−140=40， 36040=9． 故答案为：九． 【点评】本题主要考查的是多边形的内角与外角，明确正多边形的每个内角的度数边数=360是解题的关键． 16．【分析】根据题意选择a、b、c的值即可． 【解答】解：当a=1，b=−1，c=0时，1−1，而10=0(−1)， 命题“若ab，则acbc”是错误的， 故答案为：1；−1，0．（答案不唯一） 【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题， 只需举出一个反例即可． 17．【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可． 【解答】解： CF ⊥BE于点F ．BE =9，CF =8， 1 1 S = BE CF = 98=36， BCE 2 2 AD是ABC 的中线， BD=CD， 1 S =S = S =18， EBD ECD 2 EBC 点E是AD的中点， S =S =18， ACE ECD 故答案为18． 【点评】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， 此题难度不大． 18．【分析】探究规律，利用规律解决问题即可． 【解答】解：第2秒时，点P在OA上，OP=2，此时OA在y轴的负半轴上，P(0,−2)， 正方形每4秒一个循环，20204=505， 13 / 222020秒时，点B在第一象限， 202012=1684 点P在AB上，P(1,3)， 故答案为(0,−2)，(1,3)． 【点评】本题考查坐标与图形的变化−旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题 型． 三、解答题（本题共52分，第19～22题每小题6分，第23～26题每小题6分） 19．【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集． 3x+4 x+6①  【解答】解：x−1 2x+5 ，  ②   5 3 解不等式①得：x 1， 解不等式②得：x−4， 不等式组的解集为：−4x 1． 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确计算出两个不等式的解集． 20．【分析】（1）根据平方根的性质可求解； （2）⑤先移项，再除以2，最后开方即可求解； ⑥直接开平方法计算可求解． 【解答】解：（1） 负数没有平方根； x2 =−1，此方程无实数解； 故答案为负数没有平方根； （2）⑤2x2 −72=0， x2 =36， 解得x=6； ⑥x−1 5， x=1 5， 即x =1+ 5,x =1− 5． 1 1 【点评】本题主要考查平方根，利用直接开平方法解方程式解题的关键． 21．【分析】根据平行线的性质得出2+FCD=180，求出1=FCD，根据平行线的判定得出DH //AC，根 据平行线的性质得出即可． 【解答】证明： EF //DC， 2+FCD=180（两直线平行，同旁内角互补）， 14 / 221+2=180， 1=FCD， DH //AC（内错角相等，两直线平行）， A=BDH ， 故答案为：FCD，两直线平行，同旁内角互补，FCD，DH ，AC ，内错角相等，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． 22．【分析】（1）根据A，B，C 坐标确定平面直角坐标系即可． （2）①利用平移的性质解决问题即可． ②利用分割法求四边形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，平面直角坐标系如图所示： （2）①如图，线段AD即为所求．D(2,5)． 1 1 1 1 ②S =47− 23− 24− 23− 24=14． 四边形ACBD 2 2 2 2 故答案为14． 【点评】本题考查作图−平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题 型． 23．【分析】（1）根据题意，可以选出最合理的抽查方式； （2）根据直方图中的数据和题目给出的数据，可以将频数分布表中的空补充完整，然后再将直方图补充完整即可 解答本题； （3）根据频数分布表中的数据，可以计算出竞赛成绩为“优秀”的约有多少人． 【解答】解：（1）由题意可得，从年级中按学号随机选取40名学生的竞赛成绩组成样本比较合理， 故选：C； （2）由频数分布直方图可得，70 x80的频数为10， 由题目中给出的80 x 100的数据可得，80 x90的频数为14，90 x 100的频数为12， 故答案为：10，14，12； 15 / 22补全的频数分布表和频数分布直方图如下图所示； 成绩 频数 60 x70 4 70 x80 10 80 x90 14 90 x 100 12 12 （3）320 =96（人)， 40 答：竞赛成绩为“优秀”的约有96人． 【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合 的思想解答． 24．【分析】（1）利用时间=路程速度，即可求出结论； （2）利用时间=路程速度，即可用含x的代数式表示出该游客从M 处走到站点B所需时间； （3）根据该游客走到站点B所需时间不多于接驳车到达站点B所需时间，即可得出关于x的一元一次不等式，解 之取其最大值即可得出结论． 【解答】解：（1）53230=1（小时）． 故答案为：1． x−5 （2）该游客从M 处走到站点B所需时间为 小时． 6 x−5 故答案为： ． 6 x−5 53−x+52 （3）依题意，得： ， 6 30 25 解得：x ． 3 25 答：该游客离站点A的距离最远为 千米． 3 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量关系，列式计算； （2）利用时间=路程速度，用含x的代数式表示出该游客从M 处走到站点B所需时间；（3）根据各数量之间的 关系，正确列出一元一次不等式． 25．【分析】（1）根据新定义求出a，b，即可得出结论； （2）根据新定义，求出点A的一对“相伴点”，进而得出结论； （3）设处点B的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论； （4）设出点C的坐标，进而表示出点C的一对“相伴点”的坐标，即可得出结论． 【解答】解：（1） Q(4,−1)， 16 / 22a=4+(−1)=3，b−(−1)=1， 点Q(4,−1)的一对“相伴点”的坐标是(1,3)与(3,1)， 故答案为：(1,3)，(3,1)； （2） 点A(8,y)， a=8+ y，b=−y， 点A(8,y)的一对“相伴点”的坐标是(8+ y,−y)和(−y,8+ y)， 点A(8,y)的一对“相伴点”重合， 8+ y=−y， y=−4， 故答案为：−4； （3）设点B(x,y)， 点B的一个“相伴点”的坐标为(−1,7)， x+ y=−1 −y=−1  或 ， −y=7 x+ y=7 x=6 x=6  或 ， y=−7 y=1 B(6,−7)或(6,1)； （4）设点C(m,−3)， a=m−3，b=3， 点C的一对“相伴点”的坐标是M(m−3,3)与N(3,m−3)， 当点C的一个“相伴点”的坐标是M(m−3,3)， 点M 在直线m:y=3上， 当点C的一个“相伴点”的坐标是N(3,m−3)， 点N在直线n:x=3上， 即点M ，N组成的图形是两条互相垂直的直线m与直线n，如图所示， 17 / 22【点评】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键． 26．【分析】（1）根据平行线的性质和垂直的定义即可求解； （2）根据三角形内角和定理可求ABC+ACB=108，根据平行线的性质可求ABD+ACF =72，再根据已 知条件可求ABM +ACM =18，再根据三角形内角和定理可求BMC； （3）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：（1） DE ⊥BC， DBC =90， FH //DE， BCF =180−90=90， BC ⊥FH ； 故答案为：BC ⊥FH ． （2） BAC =72， ABC+ACB=108， FH //DE， ABD+ACF =72， 1 1 ABM = ABD，ACM = ACF ， 4 4 ABM +ACM =18， BMC =180−108−18=54； （3）2BNC+BAC =360． 如图，ABE =ABC+90，ACH =ACB+90， ABE和ACH 的平分线交于点N， ABN+ACN = 1 ABE+ 1 ACH = 1 (ABC+ACB+180)= 1 (180−BAC+180)=180− 1 BAC， 2 2 2 2 2 ABN +ACN =ABC+NBC+ACB+NCB=180−BAC+180−BNC， 1 180− BAC =180−BAC+180−BNC， 2 2BNC+BAC=360． 【点评】考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义和三角形内角和定理，综合性较强，有一定的难 18 / 22度． 一、解答题（本题共13分，第1题6分，第2题7分） 27．【分析】（1）根据不等式的性质即可求解； （2）根据等腰三角形的性质，分两种情况求出n，再根据三角形三边关系即可求解； （3）根据三角形三边关系可求n的最大值． 【解答】解：（1）n+2n+6；（填“”，“ =”或“” ) （2）①n+2=3n， 解得n=1， 三角形三边的长为3，3，7，不符合三角形三边关系； ②n+6=3n， 解得n=3， 三角形三边的长为5，9，9． 综上所述，三角形三边的长为5，9，9； （3）依题意有(n+6)−(n+2)3n(n+6)+(n+2)， 4 解得 n8， 3 n为正整数， n的最大值为7． 故答案为：． 【点评】考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系． 28．【分析】（1）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； 1 ②根据垂直的定义得到EFC =90，求得ABC =2，根据角平分线的定义得到ABD= ABC =，求得 2 ABD=M ，于是得到结论； （2）设ABD=x，AEM = y，根据角平分线的定义得到ABC =2x，AEF =2y，求得 x−y=END−BAD，得到2x−2y=EFC−BAC，于是得到结论． 【解答】解：（1）① A=90，M =， AEM =180−90−=90−， EM 平分AEF ， AEF =2AEM =180−2， 故答案为：180−2； ②证明： EF ⊥BC ， EFC =90， 19 / 22A=90， C+ABC =90， CEF =ABC， AEF =180−2， CEF =2， ABC =2， BD是ABC 的角平分线， 1 ABD= ABC=， 2 ABD=M ， BD//ME； （2）2BNE=90+BAC ， 证明： BD平分ABC，EM 平分AEF ， 设ABD=x，AEM = y， ABC =2x，AEF =2y， ABD+BAD=180−ADB， NED+END=180−NDE， ADB=NDE， ABD+BAD=NED+END， x+BAD= y+END， x−y=END−BAD， 同理，ABC+BAC =FEC+EFC ， 2x+BAC=2y+EFC， 2x−2y=EFC−BAC， EF ⊥BC ， EFC =90， 2(x−y)=90−BAC， 2(END−BAD)=90−BAC， 即2(BNE−BAC)=90−BAC， 2BNE =90+BAC． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键． 二、阅读探究题（本题7分） 29．【分析】（1）①根据直角距离的定义直接解答即可； 20 / 22②根据直角距离的定义直接解答即可； （2）①先根据直角距离的定义求出直角距离DE，PD和PE 的长，根据它们之差的绝对值最小求出点P的坐标， 确定点P的个数； ②首先求出满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为10，再求出消防站P点的坐标即可． 【解答】解：（1）① A(4,−1)，B(1,3)， 直角距离d =|4−1|+|−1−3|=7； AB ②根据题意可得d =|4+2|+|−1−m|=8，即|1+m|=2， AC 1+m=2或−2， 解得：m=1或−3； 故答案为：7；1或−3； （2）① D(−2,−1)，E(2,2)， 直角距离d =|−2−2|+|−1−2|=4+3=7， DE 点P到D，E两个点的“直角距离”之和最小值为7， 点P到D，E两个点的“直角距离”之差的绝对值最小， d =3 d =4  PD ，或 PD ， d =4 d =3 PE PE 点P的坐标可以是(0,0)或(0,1)或(−1,1)， 满足条件的消防站P点的位置如图所示， 满足条件的消防站P点的位置共有8个； 故答案为(−1,1)；8； ②如图， 21 / 22D(−2,−1)，E(2,2)，F(4,−2)， |4−(−2)|=6，|2−(−2)|=4， 满足到这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为6+4=10， 消防站P的坐标为(2,−1)， 故答案为：(2,−1)． 【点评】此题主要考查了坐标与图形，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键． 22 / 22