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北京市西城区 2022—2023 学年度第二学期期末试卷
七年级数学 2023.7
1．本试卷共8页，共两部分，四道大题，26道小题。其中第一大题至第三大题为必做题，
满分100分。第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分，考试
时间100分钟。
注意事项 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。
3．试题答案一律填涂成书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，请将考试材料一并交回。
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．实数3.1415， ， ， 中，无理数是（ ）
A．3.1415 B． C． D．
2．若 ，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线AB，CD相交于点O， ，垂足为O， ， 的大小是（ ）
A．53° B．143° C．117° D．127°
4．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．如果两个角相等，那么它们是对顶角
B．同旁内角互补，两直线平行
C．如果 ， ，那么
D．负数没有平方根
5．在平面直角坐标系中，点 ， ，若直线AB与y轴垂直，则m的值为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．7
6．以下抽样调查中，选取的样本具有代表性的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．了解某公园的平均日客流量，选择在周末进行调查
B．了解某校七年级学生的身高，对该校七年级某班男生进行调查
C．了解某小区居民坚持进行垃圾分类的情况，对小区活动中心的老年人进行调查
D．了解某校学生每天体育锻炼的时长，从该校所有班级中各随机选取5人进行调查
7．以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门 A和景点B的坐标分别是（6，0）和（4，4）．如图
1，甲的游览路线是：O→B→A，其折线段的路程总长记为 ．如图2，景点C和D分别在线段OB，BA上，
乙的游览路线是：O→C→D→A，其折线段的路程总长记为 ．如图3，景点E和G分别在线段OB，BA上，
景点F在线段OA上，丙的游览路线是：O→E→F→G→A，其折线段的路程总长记为 ．下列 ， ， 的
大小关系正确的是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
8．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形 ABCD
中，根据图中标出的数据，1张小长方形卡片的面积是（ ）
A．72 B．68 C．64 D．60
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若 是方程 的解，则a的值为______．
10．在平面直角坐标系中，已知点P在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，写出一个符合条件的点P
的坐标：______．
学科网（北京）股份有限公司11．若一个数的平方等于 ，则这个数是______．
12．如图，在三角形ABC中， ，点B到直线AC的距离是线段______的长， 的依据是
______．
13．点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数 ，这个点是______．
14．解方程组 小红的思路是：用①×5－②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消
去未知数y的思路：用______消去未知数y．
15．如图，四边形纸片ABCD， ．折叠纸片ABCD，使点D落在AB上的点 处，点C落在点
处，折痕为EF．若 ，则 ______°．
16．小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑 1km软
件会在运动轨迹上标注相应的路程，前5km的记录如图所示．已知该环形跑道一圈的周长大于1km．
（1）小明恰好跑3圈时，路程是否超过了5km？答：______（填“是”或“否”）；
（2）小明共跑了14km且恰好回到起点，那么他共跑了______圈．
三、解答题（共68分，第17题6分，第18题14分，第19题7分，第20题9分，第21-24题，
每题8分）
学科网（北京）股份有限公司解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算： ．
18．（1）解方程组
（2）解不等式组 并写出它的所有整数解．
19．如图，点 E，F 分别在 BA，DC 的延长线上，直线 EF 分别交 AD，BC 于点 G，H， ，
．
求证：
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵ ，
∴______ ______．
∴ ______．（ ）（填推理的依据）
∵ ，
∴ ______．
∴______ ______．（ ）（填推理的依据）
∴ ．
∵ ，（ ）（填推理的依据）
∴ ．
20．为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，学校计划购进一批科技类和
文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买 2本科技类图书和3本文学类图书需131
元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需237元．
（1）科技类图书和文学类图书每本各多少元？
（2）经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用
于购买奖品的资金不超过8000元，那么科技类图书最多能买多少本？
学科网（北京）股份有限公司21．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是 ， ， ．
将三角形ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到三角形DEF，其中点D，E，F分
别为点A，B，C的对应点．
（1）在图中画出三角形DEF；
（2）求三角形ABC的面积；
（3）若三角形ABC内一点P经过上述平移后的对应点为 ，直接写出点P的坐标（用含m，n的式子
表示）．
22．《北京市节水条例》自2023年3月1日起实施．学校组织了“珍惜水资源，节水从我做起”的活动，号
召大家节约用水．为了解所居住小区家庭用水的情况，小芸从该小区的住户中随机抽取了部分家庭，获得了
这些家庭4月份用水量（单位：t）的数据，并对这些数据进行整理和描述．数据分成5组： ，
， ， ， ．下面给出了部分信息：
a．4月份用水量的数据的扇形图、频数分布直方图分别如图1，图2所示．
b．4月份用水量的数据在 这一组的是：
12 12.512.513 13 14 15.515.5
学科网（北京）股份有限公司根据以上信息，回答下列问题：
（1）小芸共抽取了______户家庭进行调查；
（2）扇形图中， 这一组所对应的扇形的圆心角的度数为______°， ______%；
（3）补全频数分布直方图；
（4）请你根据小芸的调查结果，估计该小区480户家庭中有多少户家庭年用水量超过180t．
23 ． 将 三 角 形 ABC 和 三 角 形 DEF 按 图 1 所 示 的 方 式 摆 放 ， 其 中 ，
， ， ，点D，A，F，B在同一条直线上．
（1）将图1中的三角形ABC绕点B及逆时针旋转，且点A在直线DF的下方．
①如图2，当 时，求证： ；
②当 时，直接写出 的度数；
（2）将图1中的三角形DEF绕点E逆时针旋转，如图3，当点D首次落在边BC上时，过点E作 ，
作射线DM平分 ，作射线EN平分 交DM的反向延长线于点N，依题意补全图形并求
的度数．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知点 ，对于点 ，将点 称为点P关于点M
的关联点．
（1）点 关于点 的关联点Q的坐标是______；
（2）点 ， ，以 AB 为边在直线 AB 的下方作正方形 ABCD．点 ， ，
关于点 的关联点分别是点 ， ， ．若三角形 与正方形ABCD有公共点，直接
写出a的取值范围；
学科网（北京）股份有限公司（3）点 ， 关于点 的关联点分别是点 ， ，且点 在x轴上，点O为原点，
三角形 的面积为3，求点 的坐标．
四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）
25．在边长为1的正方形网格中，网格线交点称为格点，顶点都在格点上的多边形称为格点多边形．将格点
多边形边上（含顶点）的格点个数记为 M，内部的格点个数记为 N，其面积记为 S，它们满足公式
．小东忘记了公式中a，b的值，他想到可以借助两个特殊格点多边形求出a，b的值．小东
画出一个格点四边形ABCD（如图1），它所对应的 ， ， ．
（1）请在图2中画出一个格点三角形EFG，并直接写出它所对应的M，N，S的值；
（2）求a，b的值．
26 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 点 ， ， 给 出 如 下 定 义 ：
．
（1）已知点 ．
①若点Q与点P重合，则 ______；
②若点 ，则 ______；
（2）正方形四个顶点的坐标分别是 ， ， ， ，其中 ，在正方形OABC内
部有一点 ，动点Q在正方形OABC的边上及其内部运动．若 ，求所有满足条件的
点Q组成的图形的面积（用含a，b，t的式子表示）；
（3）若点 ， ， ，且 为奇数，直接写出k的取值范围．
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七年级数学答案及评分参考2023.7
一、选择题（共16分，每题2分）
1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A C D D B
二、填空题（共16分，每题2分）
9．4． 10．答案不唯一，如： 11． 或 12．BC，垂线段最短．
13．点P． 14．答案不唯一，如：①×3＋②×2． 15．24． 16．（1）否；（2）10．
三、解答题（共68分，第17题6分，第18题14分，第19题7分，第20题9分，第21-24题，
每题8分）
17．解： ．
18．（1）解： ______
②－①．得 ， ．
把 代入①，得 ． ．
所以这个方程组的解
（2）解：
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
所以不等式组的解集为 ．
它的所有整数解为0，1，2，3．
19．证明：∵ ，
∴ ．
∴ ．（两直线平行，内错角相等）
∵ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∴ ．（同位角相等，两直线平行）
∴ ．
∵ ，（对顶角相等）
∴ ．
20．解：（1）设科技类图书每本x元，文学类图书每本y元．
依题意，得
①×2－②，得 ．
把 代入①，得 ．
所以这个方程组的解为
符：科技类图书每本28元，文学类图书每本25元．
（2）设购买科技类图书a本．
依题意，得 ．
解得 ．
所以满足条件的最大整数为166．
答：科技类图书最多能买166本．
21．解：（1）如图1所示：
学科网（北京）股份有限公司（2）如图2，作点 ，构造图中的四边形PEFO．
．
（3） ．
22．解：（1）40；
（2）144，12.5；
（3）如图所示；
（4） ，
被调查的40户家庭中有4户家庭4月份的用水量超过15t，
（户）．
答：估计该小区480户家庭中约有48户家庭年用水位超过180t．
23．解：（1）①证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴
∴ ．
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
②105°；
（2）补全图形，如图．
过点N作 ，设 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵DM平分 ，EN平分 ，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
24．解：（1） ；
学科网（北京）股份有限公司（2） 或 ；
（3）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
∵点 在x轴上，
∴ ，即 ．
∵ ，即 ．
∴ 或 ．
∴ 或 ．
∴点 的坐标为（4，3）或（1，－3）
四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）
25．解：（1）答案不唯一，如图所示．
， ， ；
（2）依题意，得
解得
26．解：（1）①1；②0；
（2）设点Q的坐标为 ，
则 ．
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ 且
∴所有满足条件的点Q组成的图形是如图所示的阴影区域，其面积为 ．
（3） 或 ，5．
学科网（北京）股份有限公司
