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北京市西城区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人
一、单选题
得分
1．下列各式中是最简二次根式的是（ ）
√1
A．√8 B． C．√0.25 D．√10
2
2．如图，BD是▱ABCD的对角线，如果∠ABC=80°，∠ADB=25°，则∠BDC等于
（ ）
A．65° B．55° C．45° D．25°
3．下列计算，正确的是（ ）
A．√(−2) 2=−2 B．√8+√2=√10
C．3√2−√2=3 D．√(−1)⋅(−1)=1
4．下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
5．在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照
成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明
需要知道这11名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定
△ABC是直角三角形的是（ ）
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A．a2=(c−b)(c+b) B．a=1，b=2，c=3
C．∠A=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
2
7．如图，直线y=k x+b 和直线y=k x+b 相交于点M( ，−2)，则关于x，y的方程
1 1 2 2 3
{y=k x+b
组 1 1，的解为（ ）
y=k x+b
2 2
{ 2 {x=−2，
x= ，
A． 3 B． 2
y=
y=−2 3
{ 2 {x=−2，
x= ，
C． 3 D． 2
y=−
y=2 3
8．点P从某四边形的一个顶点A出发，沿着该四边形的边逆时针匀速运动一周．设点P
运动的时间为x，点P与该四边形对角线交点的距离为y，表示y与x的函数关系的大致
图像如图所示，则该四边形可能是（ ）
A． B．
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C． D．
阅卷人
二、填空题
得分
9．若二次根式 √x+1 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AC=6 ， BC=8，则CD=
．
11．将函数y=2x的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为
．
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点M，N分别为AC，BC的中点，连
接MN．若BC=2，则MN的长度是 ．
13．在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上．若A(−4，0)，
B(0，−3)，则菱形ABCD的面积是 ．
14．射击运动员小东10次射击的成绩（单位：环）：7.5，8，7.5，8.5，9，7，7，10，
8.5，8．这10次成绩的平均数是8.1，方差是0.79，如果小东再射击一次，成绩为10环，
则小东这11次成绩的方差 0.79．（填“大于”、“等于”或“小于”）
15．关于函数y =2x−1和函数y =−x+m(m>0)，有以下结论：
1 2
①当0<x<1时，y 的取值范围是−1<y <1
1 1
②y 随x的增大而增大
2
③函数y 的图像与函数y 的图像的交点一定在第一象限 1 2
1
④若点(a，−2)在函数y 的图像上，点(b， )在函数y 的图像上，则a<b
1 2 2
其中所有正确结论的序号是 ．
16．小明与小亮两人约定周六去博物馆参观学习．两人同时出发，小明乘车从甲地途径
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乙地到博物馆，小亮骑自行车从乙地到博物馆．已知甲地、乙地和博物馆在一条直线上，
右图是两人分别与乙地的距离S（单位：km）与时间t（单位：min）的函数图象，在小
明到达博物馆前，当两人相距1km时，t的值是 ．
阅卷人
三、解答题
得分
17．计算：
（1）√24÷√6×√3；
（2）(√3+1)(√3−1)+√18．
18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．求作：矩形ABCD．
作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O．
②作射线CO．
③以点O为圆心，线段CO长为半径画弧，交射线CO于点D．
④连接AD，BD，则四边形ACBD即为所求作的矩形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA=OB，①=OD
∴四边形ACBD是平行四边形．（ ②
）（填推理的依据）
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBD是矩形．（ ③
）（填推理的依据）
19．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像经过点(3，0)和
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(−3，−2)．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）在所给的坐标系中画出该一次函数图象，并求它的图像与坐标轴围成的三角形
的面积．
20．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）连接BE．若AB=2，∠BAC=60°，求BE的长．
21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−2x+2图像与x轴、y轴分别相交于点A
和点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）点C在x轴上，若△ABC是以边AB为腰的等腰三角形，求点C的横坐标．
22．某校为了解该校七年级和八年级学生线上数学学习的情况，从这两个年级的学生中，
各随机抽取了20名学生进行有关测试，获得了他们的成绩（百分制，且成绩均为整数），
并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．该校抽取的八年级学生测试成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分为4组：
60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）：
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b．该校抽取的八年级学生测试成绩在70≤x<80这一组的数据是：
70 70 74 74 75 75 75 76 77 78
c．该校抽取的七、八年级学生测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
七年级 78 79.5 79
八年级 79 m 75
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）此次测试成绩80分及80分以上为优秀．
①记该校抽取的七年级学生中成绩优秀的人数是n ，抽取的八年级学生中成绩优秀的
1
人数为n ，比较n ，n 的大小，并说明理由；
2 1 2
②若该校七年级有200名学生，八年级有180名学生，假设该校七、八年级学生全部
参加此次测试，估计该校七年级和八年级学生中成绩优秀的人数共有多少人．
23．对于函数y=|x|+b，小明探究了它的图像及部分性质．下面是他的探究过程，请
补充完整：
（1）自变量x的取值范围是 ；
（2）令b分别取0，1和−2，所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表，则
表中m的值是 ，n的值是 ；
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=|x| … 3 2 1 0 1 2 3 …
y=|x|+1 … 4 m 2 1 2 3 4 …
y=|x|−2 … 1 0 n -2 -1 0 1 …
（3）根据表中数据，补全函数y=|x|，y=|x|+1，y=|x|−2的图像：
（4）结合函数y=|x|，y=|x|+1，y=|x|−2的图像，写出函数y=|x|+b的一
条性质： ；
（5）点(x ，y )和点(x ，y )都在函数y=|x|+b的图像上，当x x >0时，若总有
1 1 2 2 1 2
y <y ，结合函数图象，直接写出x 和x 的大小关系．
1 2 1 2
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24．如图，在正方形ABCD中，P为边BC上一点（点P不与点B，C重合），连接
DP，作点A关于直线DP的对称点E，连接AE分别交DP，DC于点G，H．过点C作
CF⊥AE于点F，连接DE．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：CF=EF；
（3）连接FB，FD，用等式表示线段FA，FB，FD之间的数量关系，并证明．
25．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+4(k≠0)与y轴交于点A，点B和点C的
坐标分别是(m，y )和(m+2，y )．
1 2
（1）当y = y =0时，△ABC的面积是 ；
1 2
（2）若点B和点C都在直线l上，当BC≤√5时，k的取值范围是
．
26．对于定点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在两个不同的点M，N，使得
四边形PMQN是平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的衍生点．特别地，当平行
四边形PMQN的面积最大时，称点Q是点P关于图形W的最佳衍生点．在平面直角坐
3
标系xOy中，点A(0，1)，B(1，1)，C(0，2)，D(0，3)，E( ，2)．
2
（1）点C，D，E中，点O关于线段AB的衍生点是 ；
（2）将点O关于线段AB的最佳衍生点记为T，
①直接写出点T的坐标；
②若直线y=−x+b上存在点O关于四边形ABTC的衍生点，求b的取值范围．
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答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】
因为√8=2√2，所以A不符合题意；
√1 √2
因为 = ，所以B不符合题意；
2 2
因为√0.25=0.5，所以C不符合题意；
因为√10不能化简，是最简二次根式，所以D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝80°，
∵∠ADB＝25°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝80°﹣25°＝55°，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝80°，再利用角的运算可得∠BDC
＝∠ADC﹣∠ADB＝80°﹣25°＝55°。
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、√(−2) 2=2，原式计算不符合题意；
B、√8+√2=2√2+√2=3√2，原式计算不符合题意；
C、3√2−√2=2√2，原式计算不符合题意；
D、√(−1)⋅(−1)=√1=1，符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质、二次根式的加减法逐项判断即可。
4．【答案】C
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【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合
题意；
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可。
5．【答案】B
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个
数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故答案为：B．
【分析】将11个不同的成绩按从小到大排序后，可得最中间的数据为这组数据的中位数，
由于按照成绩取前5名进入决赛，根据中位数 的意义即得.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、根据选项a2=(c−b)(c+b)，化简得a2＝c2−b2，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
B、根据选项中a=1，b=2，c=3，可得a2=1，b2=4，c2=9，
∴12＋22≠32，即a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、根据选项∠A＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、根据选项中∠A：∠B：∠C＝3：4：5，设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，则由
三角形内角和定理∠A＋∠B＋∠C＝180°得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，
∴最大角∠C＝5×15°＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
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7．【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
{y=k x+b
【解析】【解答】解：根据题意，可得方程组 1 1，
y=k x+b
2 2
根据函数图象与方程组解的关系可知，函数图象的交点坐标就是联立函数解析式构成的
{ 2
2 x=
方程组的解，则根据直线y=k x+b 和直线y=k x+b 相交于点M( ，−2)得 3 ，
1 1 2 2 3
y=−2
故答案为：A．
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系直接求解即可。
8．【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：记各个选项中四边形逆时针均记为ABCD，
A、从A→B，B→C，y先减小，再增大，不关于转折点对称；从C→D，从D→A，y先
减小，再增大；且两部分走势相同，不符合题意；
B、从A→B，B→C，y先减小，再增大，关于转折点B对称，且每部分关于最低点对称；
从C→D，从D→A，y先减小，再增大；且两部分走势相同，符合题意；
C、从A→B，B→C，y先减小，再增大，关于转折点B对称，但每部分不关于最低点对
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称；从C→D，从D→A，y先减小，再增大；且两部分走势相同，不符合题意；
D、每个转折点前后图像一致，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据动点问题的函数图象的求解方法，注意转折点分析判断即可。
9．【答案】x≥﹣1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：若二次根式 √x+1 在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣
1．
故答案为：x≥﹣1．
【分析】根据二次根式的性质可求出x的取值范围．主要考查了二次根式的意义和性质：
概念：式子 √a （a≥0）叫二次根式；
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．【答案】5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= √AC2+BC2= √62+82=10，
∵点D是斜边AB的中点，
1
∴CD= AB=5．
2
故答案为：5．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=
1
AB=5。
2
11．【答案】y＝2x－3
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：∵将函数y＝2x的图象沿y轴向下平移3个单位长度，
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∴平移后所得图象对应的函数表达式为：y＝2x－3．
故答案为：y＝2x－3．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
12．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB＝2BC＝4，
∵点M，N分别为AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
1
∴MN＝ AB＝2，
2
故答案为：2．
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质可得AB＝2BC＝4，再根据中位线的性质可
1
得MN＝ AB＝2。
2
13．【答案】24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（0，﹣3）．
∴OA＝4，OB＝3．
1
∴S△AOB＝ OA•OB＝6．
2
∵菱形是轴对称图形，且菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上．
∴菱形对角线的交点为坐标原点O．
∴S ABCD＝4S△AOB＝4×6＝24．
菱形
故答案为：24．
1
【分析】先利用三角形的面积公式求出S△AOB＝ OA•OB＝6，再利用菱形的性质可得
2
S ABCD＝4S△AOB＝4×6＝24。
菱形
14．【答案】大于
【知识点】方差
91
【解析】【解答】解：小东这11次成绩的的平均成绩为（8.1×10＋10）÷11＝ ≈8.27，
11
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1
小东这11次成绩的的方差S2＝ ×[2×（7.5−8.27）2＋2×（8−8.27）2＋2×（8.5−8.27）2＋
11
2×（7−8.27）2＋2×（10−8.27）2＋（9−8.27）2]≈1.02，
即1.02＞0.79，
∴小东这11次成绩的方差大于0.79，
故答案为：大于．
【分析】利用方差的性质：方差越大，数据波动越大求解即可。
15．【答案】①④
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：①当x＝0时，y＝−1，当x＝1时，y＝1，而一次函数y＝ 1 1 1
2x−1，y随x的增大而增大，所以−1＜y＜1，所以①符合题意；
1
②一次函数y＝−x＋m（m＞0），y随x的增大而减小，因此②不符合题意；
2
m+1
{ x=
{y=2x−1 3
③联立 ，解得 ，则函数y 的图像与函数y 的图像的交点坐标为（
y=−x+m 2m−1 1 2 y=
3
m+1
{ >0
m+1 2m−1 1 3
， ），当0＜m＜ 时， ，此时交点在第四象限，所以③不符合
3 3 2 2m−1
<0
3
题意；
1 1
④若点（a，−2）在函数y 图像上，(b， )在函数y 图像上，则2a−1＝−2，−b＋m=
1 2 2 2
1 1 1 1 1
，即a=− ，b＝m− ，当m＞0时，m− >0− =− ，即b＞a，因此④符合题意；
2 2 2 2 2
综上所述，正确的结论有①④，
故答案为：①④．
【分析】根据一次函数的图象、性质与系数的关系，一次函数与二元一次方程组的关系
逐项判断即可。
16．【答案】12或18
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
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【解析】【解答】解：由图像可知，甲地距乙地5km，乙地距博物馆5km，
5 1
小明的速度为： = （km/min），
10 2
5 1
小亮的速度为： = （km/min），
30 6
1 1
当小明和小亮相遇前两人相距1km时，由题意得， t+1=5+ t，解得：t＝12；
2 6
1 1
当小明和小亮相遇后两人相距1km时，由题意得： t=5+ t+1，解得：t＝18；
2 6
综上所述，当两人相距1km时t的值为12或18，
故答案为：12或18．
【分析】根据函数图象，再利用路程、时间和速度的关系求解即可。
17．【答案】（1）解：√24÷√6×√3
=√24÷6×√3
=√4×√3
=2√3；
（2）解：(√3+1)(√3−1)+√18
=(√3) 2 −12+3√2
=2+3√2．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘除运算的计算方法求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
18．【答案】（1）解：作图如图所示．
（2）证明∶∵OA=OB， OC=OD，
∴四边形ACBD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
故答案为∶①OC；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的平行
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四边形是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）根据矩形的判定方法求解即可。
19．【答案】（1）解：因为一次函数y=kx+b(k≠0)的图像经过点(3，0)和
{ 3k+b=0，
(−3，−2)，所以
−3k+b=−2.
{ 1
k= ， 1
解得 3 所以一次函数的解析式是y= x−1．
3 b=−1.
（2）解：该一次函数的图象如图所示．令x=0，则y=−1．
该一次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标分别是(3，0)和(0，−1)．
设所求的三角形的面积为S，
1 3
所以S= ×3×1= ．
2 2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；
描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）将点(3，0)和(−3，−2)代入y=kx+b(k≠0)求出k、b的值即
可；
（2）利用描点法作出函数图象，再利用三角形的面积公式求解即可。
20．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
即DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD．
∴四边形OCED是菱形．
（2）解：过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，如图．
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∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=90°，
∵∠BAC=60°，
∴△AOB是等边三角形．
∴OC＝OB＝OA＝AB＝2，∠ABO＝60°，
∴∠ACB=∠DBC=30°．
∴BC=2√3．
∵在菱形OCED中，CE=OD，CE∥OD，
∴CE=OD=OB=2，∠ECF=∠DBC=30°．
在Rt△EFC中，∠EFC=90°，
∴CF=√3，EF=1．
∴BF=3√3．
在Rt△BFE中，∠BFE=90°，
∴BE=√BF2+EF2=2√7．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形OCED是平行四边形，再结合OC=OD，可得四边
形OCED是菱形；
（2）过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，先求出∠ACB=∠DBC=30°，利用
含30°角的直角三角形的性质可得BC=2√3，再结合∠ECF=∠DBC=30°，可得
BF=3√3，最后利用勾股定理求出BE=√BF2+EF2=2√7即可。
21．【答案】（1）解：令x=0，则y=2；令y=0，则x=1，所以A，B两点的坐标分别
是(1，0)和(0，2)．
（2）解：因为点A和点B的坐标分别是(1，0)和(0，2)，所以AB=√5．
因为△ABC是以边AB为腰的等腰三角形，所以BC=AB或AC=AB．
设点C的横坐标为t．当BC=AB时，t=−1．当AC=AB时，可得AC=AB=√5．
①当点C在点A的左侧时，t=−√5+1；
②当点C在点A的右侧时，t=√5+1．
综上，点C的横坐标为−1或−√5+1或√5+1．
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【知识点】等腰三角形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）将x=0和y=0分别代入y=−2x+2求出点A、B的坐标即可；
（2）设点C的横坐标为t，当BC=AB时，t=−1，当AC=AB时，可得AC=AB=√5，
再分两种情况：①当点C在点A的左侧时，②当点C在点A的右侧时，再分别求解即可。
22．【答案】（1）解：八年级抽取了20名学生，从小到大排列第10，11名学生的成绩
76+77
为76分，77分，故中位数m= =76.5（分)，
2
故答案为：76.5；
（2）解：①由七年级成绩的中位数为79.5可得n =10， 1
由题意可得n =6+2=8，
2
∴n >n ；
1 2
10 8
②200× +180× =100+72=172（人)，
20 20
答：估计该校七年级和八年级学生中成绩优秀的人数共有172人．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；分析数据的集中趋势
【解析】【分析】（1）根据中位数的定义及计算方法求解即可；
（2）①根据题意求出n ，n ，再比较大小即可；
1 2
②根据题意列出算式求解即可。
23．【答案】（1）全体实数
（2）3；-1
（3）解：补全函数y=|x|，y=|x|+1，y=|x|−2的图像如下：
（4）图像关于y轴对称；当x>0时，y随x的增大而增大
（5）解：x <x <0或0<x <x ．
2 1 1 2
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】(1)解：函数y=|x|+b中，自变量x可以是全体实数，
故答案为：全体实数；
(2)解：把x=−2代入y=|x|+1，得y=3，
把x=−1代入y=|x|−2，得y=−1，
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∴m=3，n=−1，
故答案为：3，−1；
(4)解：由图知，当x>0时，函数y随x的增大而增大，当x<0时，函数y随x的增大而减小；
故答案为：当x>0时，函数y随x的增大而增大，当x<0时，函数y随x的增大而减小；
(5)∵点（x ，y ）和点（x ，y ）都在函数y=|x|+b的图像上，当x x >0时，
1 1 2 2 1 2
∴点（x ，y ）和点（x ，y ）在y轴的同一侧，
1 1 2 2
观察图像，当x x >0时，若总有y <y ，即x <x <0或0<x <x ．
1 2 1 2 2 1 1 2
【分析】（1）根据自变量的计算方法求解即可；
（2）将x的值分别代入对应的解析式求出m、n的值即可；
（3）利用描点法作出函数图象；
（4）根据函数图象直接写出函数的性质即可；
（5）结合函数图象，利用函数的性质求解即可。
24．【答案】（1）解：补全图形，如图1．
（2）证明：连接CE，如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵CF⊥AE于点F，
∴∠ADC=∠AFC=90°，
∵∠AHD=∠CHF，
∴∠DAH=∠FCH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，
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∵点A与点E关于直线DP对称，
∴DA=DE=DC，∠DAH=∠DEH=∠DCF，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE−∠DCF=∠DEC−∠DEH，
∴∠FCE=∠FEC，
∴△FCE是等腰三角形，
∴CF=EF．
（3）√2FA=FB+FD．
证明：过点B作BM⊥AE于点M，如图3．则∠AMB=∠BMF=90°．
∵点A与点E关于直线DP对称，
∴DP⊥AE，垂足是G，
∴∠AGD=∠DGF=90°，
∴∠AGD=∠AMB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AD=AB，
∴∠AGD＝∠BMA＝90°，
∵∠DAG＋∠BAM＝∠ABM＋∠BAM＝90°，
∴∠DAG=∠ABM，
∴△AGD≌△BMA（AAS），
∴BM=AG，AM=DG，
∵∠ADC=90°，DP⊥AE，
∴∠DAG＋∠ADG＝∠GDH＋∠ADG＝90°，
∴∠DAG=∠GDH，
∵∠DAG=∠≝¿，
∴∠≝=∠GDH，
∵DC=DE，DF=DF，CF=EF，
∴△DFC≌△DFE（SSS）．
∴∠CDF=∠EDF，
∵∠DFG=∠≝+∠EDF，∠GDF=∠GDH+∠CDF，
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1
∴∠DFG=∠GDF= (180°−∠DGF)=45°，
2
√2
∴DG=FG=AM= FD，
2
∴BM=AG=AM+MG=FG+MG=MF，
√2
∴在Rt△BMF中，BM=MF= FB，
2
√2 √2
∵FA=AM+MF＝ FD+ FB，
2 2
∴√2FA=FB+FD．
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）连接CE，通过正方形的性质，角的运算及等量代换可得∠FCE=∠FEC，证出
△FCE是等腰三角形，即可得到CF=EF；
（3）过点B作BM⊥AE于点M，则∠AMB=∠BMF=90°，先利用“SSS”证明
△DFC≌△DFE可得∠CDF=∠EDF，再利用角的运算和等量代换可得
1 √2
∠DFG=∠GDF= (180°−∠DGF)=45°，求出DG=FG=AM= FD，再根据
2 2
√2 √2
FA=AM+MF＝ FD+ FB，即可得到√2FA=FB+FD。
2 2
25．【答案】（1）4
1 1
（2）− ≤k≤ 且k≠0
2 2
【知识点】一次函数的图象；两点间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】(1)解：∵点B和点C的坐标分别是（m，y）和（m+2，y），y＝y 1 2 1 2
＝0，
∴B、C是x轴上的两点，则BC＝2，
∵直线l：y＝kx+4（k≠0）与y轴交于点A，
∴A（0，4），
∴OA＝4，
1 1
∴S△ABC＝ BC·OA= ×2×4=4，
2 2
故答案为：4．
(2)解：∵点B和点C都在直线l上，
∴y＝km+4，y＝k（m+2）+4，
1 2
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∴y﹣y＝2k，
2 1
∵BC≤√5，
∴√(m+2−m) 2+(y −y ) 2≤√5，即√22+(2k) 2≤√5，
2 1
1
∴4+4k2≤5，即k2≤
，
4
∵k≠0，
1 1
解得﹣ ＜k≤ 且k≠0，
2 2
1 1
故答案为：﹣ ≤k≤ 且k≠0，
2 2
【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用点B、C的坐标求出BC的长，最后利用三角
1 1
形的面积公式求出S△ABC＝ BC·OA= ×2×4=4即可；
2 2
1
（2）利用两点之间的距离公式及BC≤√5可得4+4k2≤5，即k2≤ ，再求出k的取值范围
4
即可。
26．【答案】（1）E
（2）解：①T(1，2)；
②将直线y=−x+b上存在的点O关于四边形ABTC的衍生点记为点H．
因为点A，B，T，C的坐标分别为(0，1)，(1，1)，(1，2)，(0，2)，
所以四边形ABTC是正方形．
考虑正方形ABTC及其内部的任意点K（除顶点A，B，T，C外）总能够在正方形
ABTC上找到两点M，N，使点K作为点M，N的中点．
因为四边形OMHN是平行四边形，
所以由平行四边形的性质可知，点O，H的中点也为点K．
所以可得所有的点H是正方形CB C D 及其内部（边CD 上的点和顶点C ，B 除外），
1 1 1 1 1 1
如图所示，将它记为图形G．
21 / 26…
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依题意，只需直线y=−x+b与图形G有公共点即可．
当直线y=−x+b过点C (2，4)时，b=6；
1
当直线y=−x+b过点C(0，2)时，b=2，所以2<b<6．
【知识点】一次函数-动态几何问题；定义新运算
【解析】【解答】(1)如图1，点C，D，E中，点O关于线段AB的衍生点是E；
故答案为：E
(2)①如图2，点O关于线段AB的最佳衍生点记为T，即四边形OABT的面积最大，
∴T(1，2)；
【分析】（1）根据“衍生点”的定义求解即可；
（2）①根据“衍生点”的定义求解即可；
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②根据“衍生点”的定义，结合图象分情况求出b的最大值和最小值即可得到b的取值
范围。
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试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：121分
客观题（占比） 16.0(13.2%)
分值分布
主观题（占比） 105.0(86.8%)
客观题（占比） 8(30.8%)
题量分布
主观题（占比） 18(69.2%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 8(30.8%) 8.0(6.6%)
解答题 10(38.5%) 97.0(80.2%)
单选题 8(30.8%) 16.0(13.2%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (76.9%)
2 容易 (15.4%)
3 困难 (7.7%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 常用统计量的选择 2.0(1.7%) 5
2 三角形全等的判定 15.0(12.4%) 24
3 含30°角的直角三角形 1.0(0.8%) 12
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4 三角形的中位线定理 1.0(0.8%) 12
5 菱形的性质 1.0(0.8%) 13
6 菱形的判定与性质 10.0(8.3%) 20
7 用样本估计总体 10.0(8.3%) 22
8 矩形的性质 10.0(8.3%) 20
9 三角形内角和定理 2.0(1.7%) 6
10 一次函数图象与几何变换 1.0(0.8%) 11
11 等腰三角形的性质 10.0(8.3%) 21
12 二次根式有意义的条件 1.0(0.8%) 9
一次函数与二元一次方程（组）的
13 2.0(1.7%) 7
综合应用
14 定义新运算 6.0(5.0%) 26
15 频数（率）分布直方图 10.0(8.3%) 22
16 最简二次根式 2.0(1.7%) 1
17 方差 1.0(0.8%) 14
18 一次函数的图象 2.0(1.7%) 25
19 通过函数图象获取信息并解决问题 15.0(12.4%) 16,23
20 待定系数法求一次函数解析式 10.0(8.3%) 19
21 平行四边形的性质 2.0(1.7%) 2
22 两一次函数图象相交或平行问题 1.0(0.8%) 15
23 四边形的综合 15.0(12.4%) 24
24 动点问题的函数图象 2.0(1.7%) 8
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25 一次函数图象与坐标轴交点问题 20.0(16.5%) 19,21
26 矩形的判定 10.0(8.3%) 18
27 二次根式的性质与化简 2.0(1.7%) 3
28 描点法画函数图象 24.0(19.8%) 19,23
29 勾股定理 11.0(9.1%) 10,20
30 一次函数图象、性质与系数的关系 1.0(0.8%) 15
31 用图象表示变量间的关系 2.0(1.7%) 8
32 二次根式的混合运算 10.0(8.3%) 17
33 平行四边形的判定 2.0(1.7%) 4
34 正方形的性质 15.0(12.4%) 24
35 三角形的面积 12.0(9.9%) 19,25
36 直角三角形斜边上的中线 1.0(0.8%) 10
37 分析数据的集中趋势 10.0(8.3%) 22
38 一次函数-动态几何问题 6.0(5.0%) 26
39 二次根式的乘除法 10.0(8.3%) 17
40 一次函数的实际应用 1.0(0.8%) 16
41 两点间的距离 2.0(1.7%) 25
42 二次根式的加减法 2.0(1.7%) 3
43 勾股定理的逆定理 2.0(1.7%) 6
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